В.В. Петкевич - Теоретическая механика (1119857), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Бертран [21 рассмотрел обратную задачу, в которой требуется определить центральное силовое поле при условии, что сила, приложенная к точке, зависит только от расстояния точки до силового центра, а траекторией точки при любых начальных условиях является коническое сечение — эллипс, парабола или гипербола. Решение этой задачи показало, что возможны лишь два вида силовых полей, удовлетворяющих поставленным условиям: 'х 1) поле с потенциалом П = Ф,'г~ 2 Г 2) поле с потенциалом П = ~а 4- Первый случай отвечает пространственному осциллятору. В этом случае, как мы видели выше, траекториями будут эллипсы, цент- У' ры которых совпадут с силовым центром.
Во втором случае при П = = +дарг тРаектоРиЯми бУДУт конические сечения, внутренний фокус которых совпадает с силовым центром, и финитные движения происходят по замкнутым траекториям (эллипсы). Если же П = — йа(г, то при любых начальных условиях траекторией будет гипербола, внешний фокус которой совпадает с силовым центром.
Потенциал + йа/г отвечает ньютоновскому полю тяготения либо полю притягивающих кулоновских сил. Поле отталкивающих кулоновских сил определяется потенциалом ГЛ. !!. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ й 5. Динамика несвободной материальной точки Пусть материальная точка движется по поверхности некоторого тела, или по некоторой материальной кривой, относительно которых предположим, что они либо неподвижны, либо движутся по заданному закону. Рассматриваемая точка может быть связана с телом нерастяжимой нитью, невесомым жестким стержнем и т. п.
*). Такого рода тела, или материальные кривые, препятствующие свободному перемещению точки, называются связями. Координаты несвободной точки должны, кроме уравнений движения, удовлетворять дополнительным уравнениям — уравнениям связей. Если в уравнение связи явно входит время, то такая связь называется зависящей от времени (нестационарной). В противном случае связь будем называть неаавииицей от времени (стационарной). Взаимодействие материальной точки и связи приводит к возникновению сил. Сила, с которой связь действует на материальную точку, называется реакцией связи, или, в отличие от силы ет (активной силы),— пассивной силой и является неизвестной функцией координат точки, ее скорости и, может быть, времени.
Заранее, до интегрирования уравнений движения, известно лишь место приложения этой силы. Рассмотрим движение материальной точки М по поверхности, уравнение которой имеет вид )(х, у, г, !)=О. (2.53) Обозначая реакцию связи через тс, запишем уравнение движения точки: т — „, =то+я, (2.54) где ео, как обычно, есть обозначение активной силы.
Допустим, что ставится задача об исследовании движения точки М, если известны сила гт и уравнение связи (2.53). Прежде всего подсчитаем число неизвестных функций и число уравнений. Неизвестными функциями времени, число которых здесь равно шести, будут координаты точки М и проекции реакции связи на оси координат.
Уравнений же, из которых эти функции могут быть найдены, всего четыре: три уравнения движения и одно уравнение связи. Следовательно, задачу о движении точки по поверхности, если задано только уравнение поверхности, ставить нельзя. Необходимы дополнительные сведения о физических свойствах самой поверхности.
") Мн предполагаем, что несвободная ыатернальная !очка не влнят на состояние движения связи, З 3. ДИНАМИКА НЕСВОБОДНОЙ МАТЕРИАЛЬНОП ТОЧКИ 91 Реакцию связи представим в виде суммы двух сил, Я„и Я„ из которых сила Я„направлена по нормали к поверхности, а сила Я„возникающая за счет трения, лежит в касательной плоскости. Силу Я„можно, очевидно, представить в виде вектора, пропорционального градиенту функции 1(х, у, г, (): Я„= А афтаб 1, (2.55) где А — скалярная функция, которая может зависеть от координат точки, проекций ее скорости и времени. Для вычисления силы трения необходимо привлечь закон трения — например, закон Кулона, по которому сила трения пропорциональна величине нормальной реакции и направлена противоположно скорости точки: Я,= — й — (Я„~. (2.56) Коэффициент трения й находится экспериментально.
Существенно, что сила трения не может быть определена только на основании законов механики. В случаях, когда силой трения можно пренебречь и, идеализируя, читать поверхность абсолютно гладкой, проекции уравнения (2.54) на оси координат можно записать в виде "+ д' д~ у+ д Р+ д' д2д т— дм (2.57) 6Р2 гп— дп (2.58) н уравнение кинетической энергии Р = (А пг)+(Я "г). (2.59) Присоединяя к системе (2.57) уравнение связи (2.53), получим четыре уравнения для четырех неизвестных функций х, у, г и ).
Если пренебрежение силой трения заметно исказит характер движения точки, то в правые части уравнений (2.57) нужно ввести проекции вектора Я,. Система уравнений замыкается с помощью закона трения (2.56). При решении конкретных задач удобными могут быть уравнение момента импульса и уравнение кинетической энергии. Тем же способом, как н в механике свободной точки, из уравнения (2 54) получим уравнение момента импульса д="(гтп')=~гг )+(.гЯ), ГЛ.
П. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЪНОЯ ТОЧКИ тогда ) х дГ ~ у Р) дГ р др р др дг' где Очевидно, что Мою„Я„) = — — — — — =О. ку д) ух д) '>~ " рдр р др Рассмотрим выражение элементарной работы реакции абсолютно гладкой нестационарной связи, полагая )Т,=Лйгай). Элементарная работа будет равна (И„дг) = Л ( — йх+ — йу+ — дг) = Л(ф — — й), но в силу уравнения связи о) = О, поэтому () „а )= — лдг,((. Следовательно, для получения интеграла энергии несвободной точки помимо консервативности силового поля необходимо, чтобы связь была абсолютно гладкой и стационарной. Перейдем к задаче о движении точки по кривой. Теоретически, для подсчета числа неизвестных функций и числа уравнений, кривую удобно рассматривать как пересечение двух поверхностей, которые можно выбирать различными способами.
В этом случае будут два уравнения связи и соответственно два множителя, Л, и Л,. Нормальная реакция связи будет равна геометрической сумме двух векторов, Я„, и Рми ортогональных к поверхностям, пересечение которых образует заданную кривую. Однако при решении задач о движении материальной точки по заданной кривой удобнее воспользоваться естественными координатами, поскольку геометрия кривой известна.
Предполагая, что кривая абсолютно гладкая, запишем уравнение (2.54) в пр оекциях на естественные оси: т — =г,+)т„ Р 0=к,+ Юр. проекция на касательную (2.60) на главную нормаль на направление бинормали Отметим, что если точка движется по неподвижной абсолютно гладкой поверхности вращения, то момент реакции связи относительно оси вращения поверхности равен нулю.
В самом деле, пусть уравнение поверхности имеет вид ) ( 'х'+у', г)=0, й В. СФЕРИЧЕСКИЙ МАЯТНИК Если силой трения пренебречь нельзя, то, используя формулу (2.56) и замечая, что проекция силы трения на направления нормалей будет равна нулю, запишем уравнения движения материальной точки вдоль шероховатой кривой: тф ~о — й и ! йв! т™вЂ” =Ее+В ° О=Ей+Ма (26)) Заметим что — *= + 1 в зависимости от направления дви> ) ~ ° жения точки. Кроме того, 1а !=)~уча' Естественные координаты удобны, в частности, тем, что в случае движения материальной точки по гладкой кривой реакция связи не входит в первое уравнение.
Если же кривая шероховатая, то сила трения не входит но второе и третье уравнения. Нетрудно проверить, что число неизвестных функций и число уравнений совпадают. й 6. Сферический маятник. Качественное исследование движения Рассмотрим материальную точку, которая движется без трения в однородном поле тяжести по сфере радиуса г; запишем уравнение связи 1(х, у, г) =ха+уз+ге — ге=О и уравнение движения в векторной форме дв т —, = ту+ Хйгад1. т (2.63) о ( — ) = — тйЙг, (2.64) н, во-вторых, уравнения момента импульса относительно центра сферы „— [г таз] = [г тя]. и (2.65) Положение точки на сфере определяется двумя координатами — здесь удобны сферические (рис.
2.5). Следовательно, мы ') В задаче о движении маятника реакция связи будет лишней нензвестной функцией, Если требуется исследовать только движение маятника, то нужно выбирать такие формы уравнений движения, которые исключают реакцию связи *). Такими уравнениями, очевидно, будут, во-первых, уравнения кинетической энергии ГЛ. Н, ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОН ТОЧКИ должны составить два уравнения для двух неизвестных функций времени, ср(!) и Р (!). Из (2.64) получим интеграл энергии И1СЬ 2 +туг Ео~ или тсь — — туг соз 1р = Е .
2 0' (2.66) или, в сферических координатах, йе и!и ср — = с. й (2. 67) Здесь Е„и с — постоянные, определяемые начальными условиями. г у Рис. 2.5. В (2.66) подставим выражение скорости в сферических коорди. ~19 натах. Исключая „— с помощью (2.67), получим ()= ~йр'Л 2а сь 2Еь — ! =й+ — соз р — —, и= — '. с!ь) г 51ИЬ 1Р ИЬГЬ Положим созср=ьс', тогда © — (! щи) ~~, ! В~) ь (2.68) Проектируя (2.66) на ось Ог, найдем, кроме того, интеграл момента импульса т (ху — ух) = тг'с. Сокращая на т, будем иметь интеграл площадей для проекции точки на плоскость ху: ху — ух = г'с, ь к сФегическии мАятник Разделяя переменные и интегрируя, найдем (2.69) где Р (св) =(1 — га') (й+ —,и) — с', знак перед радикалами выбирается в соответствии с начальными условиями.
Так как решение свелось к вычислению эллиптического интеграла (2.69). применим метод качественного исследования (см. Э 3). График функции Р(в) есть кубическая парабола (рис. 2.6), точки пересечения которой с осью ю определяют корни уравнения г' (и) = О, причем са, есть собязательный» вещественный корень кубического уравнения. Корни в, и ю, могут быть вещественные различные, или совпадающие, либо комплексные сопряженные. Можно показать, что действительному движению отвечают лишь вещественные корни. Заметим, что график на рис. 2.6 построен формально, без учета неравенства ~ в(1. Через вс обозначено начальное значение переменной са. Если са,(сас(саи то са(() есть периодическая функция времени, меняющаяся в пределах в„ ВА С ПЕРИОДОМ т=2 ) (2.70) Следовательно, угол ф меняется периодически, колеблясь в пределах рт и ф,: ф ~ р(1) ~ рс.
Период изменения угла ~р вычисляется по формуле (2.70). На рис. 2.6 изображены две отвечающие углам ~р, и у, параллели, которых по очереди касается траектория маятника. Если величина т соизмерима с 2и, то траектория будет замкнутой, если же т и 2и несоизмеримы, то с течением времени точки траекто- 96 ГЛ. Н. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ рии всюду плотно заполнят область между параллелями. Движение сферического маятника есть условно-периодическое: оно будет периодическим в пространстве при условии соизмеримости периодов изменения 1р и б. Случай, когда корни еое и еое равны между собой и равны 1о„ отвечает коническому движению маятника. Нетрудно показать, что нижняя параллель, отвечающая углу ф,, не может быть выше экватора. Для этого вычислим производную от функции Р(ео) по ш.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
