В.В. Петкевич - Теоретическая механика (1119857), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Описание движения не зависит от того, в каком месте оси расположен этот вектор (глава 1, Я 6, 8, 1О). Приложенный вектор — это, например, скорость или ускорение изолированной точки. Приложенным вектором следует считать и радиус-вектор точки. Лля того, чтобы рассмотреть различные виды координат какого-либо вектора )т, введем косоугольную декартову систему координат с началом в точке О, обозначив оси через х„х„х,. Координатные (базисиые) векторы обозначим через е„е„аам Заметим, что если в качестве координатных векторов выбраны три некомплана рных вектора е~ произвольной длины, то в этом случае система декартовых координат называется обобщенной.
Вектор Я может быть представлен а виде геометрической суммы з э )т= ~ Р;= ~ Х~еь (1.103) Е 4 1= ! где К, — составляющие вектора )г, направленные по осям хо Х; — координаты вектора. Составляющие вектора Л и его координаты связаны соотношениями вида Х;= — '. (1.!04) (а~1 Очевидно, что в данной системе координат величины Хс полностью определяют вектор )(.
Вектор )г можно определить иным способом, обобщая выражение координат вектора в прямоугольной системе декартовых координат. С этой целью положим Ху = (ЕЯ) =, а~ ) ! Д1 сох (ЕЯ). (1.105) Очевидно, что Хг=~е,(пр, Ю, где пр„ )с есть ортогональная проекция вектора Ю на ось Ох,. Ю з !в. вяктооы Отметим, что если декартовы оси ортогональны, то величины Х! и Х! совпадают, Предположим, что от выбранной системы координат мы переходим к другой косоугольной обобщенной декартовой системе, сохраняя начало координат. Обозначим оси новой системы через у/, а координатные (базисные) векторы через ь!.
Пусть координаты вектоРов ~! относительно исходной системы бУдУт а// (ау ~ ан). Тогда ь/= Я а,/е/, (1.106) где ! ао ам а!з ~ а„а,, а!э~ ~0, аи аи аз! Рассмотрим теперь преобразование координат Х!. Обозначая новые координаты через г",, найдем у/а = (Ь/)т) = ~Ч~~ ат (Е//т). / ! Следовательно, 1'7 = ~ч а//Х,*. (1.107) Сравнивая полученную формулу с формулой (1.106), замечаем, что координаты Х; преобразуются по такому же закону, что и базисные векторы, Поэтому координаты Х*; называются ковариантными (сопреобразуюшимися).
Обратимся к преобразованию координат Х!. Исходя из равенства Л )с= Я е/Х/= ~Ч', Ь!У„ и применяя формулу (1.!06), получим з Х,= У', аоУь (1.108) != ! Преобразование координат Х/ч выражаемое формулой (1.108), обратно преобразованию базисных векторов (и преобразованию 1.107)). Поэтому координаты Х/ называются контровариантными координатами вектора Ю.
Нетрудно найти зависимость между ковариантными и контра- вариантными координатами вектора Я. Введем скалярные произведения а„, = (е,е,). гл. !. кннамсстика Используя формулу )с ~', Хеь с ! находим искомую зависимость в следующем виде! Х;:=(ессч)= ~ лссХс.
(1.109) с ! Очевидно, что в прямоугольных декартовых координатах будет Х~=Хс в силу того, что Ксс=йсм=йаз=(, К!а=де! йс!с=0. Нетрудно убедиться в том, что координаты геометрической з суммы векторов Р ~ , 'е,Х„с равны алгебраическим суммам с 1 координат слагаемых и не зависят от нх порядка. Обозначая сумму векторов через Д, найдем Д =* ~ Яа,У,','Я е,Хы )" е; 'Я Хас. а=! а=!с-! С=! а=! Мы видим, что координатами вектора )т являются суммы координат векторов )с„, т. е. п Хс -,')", Х .
а ! (1.110) где — =ас предатавляют собой базисные векторы, направленные дг д$с по касательным к соответствующим координатным линиям (в общем случае (ас(Ф1). Перейдем к другой сопутствующей сиетеме криволинейных координат, положив (1.111) Чс гр(йм 1з 4а). Выше мы рассматривали косоугольные декартовы координаты-координатная сетка состояла из прямых линий.
Обратимся теперь к криволинейным координатам, которые мы ввели в й 3 (рис. 1.11). Полагая, что вектор г есть функция параметров $„ найдем малое приращение бгч! $14. МОМЕНТ ВЕКТОРА Приращение вектора г найдем по формуле 3 бг= ~ — бт(4. (1.112) Очевидно, что з дг %1 дЕ1 В4= — — ~ Э,—. дп1 ~4 дп,' 1-1 (1.113) $ 14. Момент вектора относительно точки и относительно оси Для изучения свойств ряда физических объектов, математи.
ческими образами которых являются векторы, удобно и полезно применять так называемые моменты этих векторов. С моментами некоторых векторов мы уже встретились в кинематике. Понятие момента вектора очень важно для построения динамики матеГзиальиых систем. 3 В. В.
Петиееии Определителем преобразования будет здесь якобиан д (1„1„14) (1.1! 4) д(пт, Че, Че) ' значение которого зависит от координат точки. Величины, которые преобразуются по закону (1.113), будем называть, как н в случае декартовых косоугольных координат, ковариантнзши, т. е. преобразующимися аналогично базисным векторам. Ковариантными величинами являются, например, составляющие градиента некоторой скалярной функции Е'($„ $„ $~), т.
е. дР частные производные —. Переходя к координатам т)4 по форд14 ' муле (1.111), мы получим з дР 'Д дР д11 дп4 ф д11 дпт Величины, для которых при переходе от координат $1 к координатам т)1 справедлив закон обратного преобразования, будем называть контравариантиыми. Покажем, что контравариантными величинами являются вариации (или дифференциалы) координат. В самом деле, записывая выражение вариаций новых координат через вариации старых, находим бт~4 =,и — бает. %'т дт!/ 1 1=1 Здесь коэффициентами являются элементы якобиана обратного преобразования. 66 ГЛ. Ь КИНЕМАТИКА Рассмотрим вектор АВ=р, изображающий какую-либо физическую величину, и будем определять его положение относительно системы координат х, у, г.
Проекпии вектора 1о на оси координат равны р„р„, р,. Мо»1ентом вектора р относительно точки С будем называть вектор йй? (рнс. 1.27), определяя его следующим образом: 1) вектор ««1? приложен в точке С перпендикулярно к плоскости треугольника САВ; 2) величина вектора»«1? равна удвоенной площади треугольника САВ (равна произведению модуля вектора р на «плечо»вЂ” длину перпендикуляра ~ С~Э~, опущенного из точки С на прямую АВ); 3) вектор «и? вместе с векторами СА и АВ образует и рав у ю тройку векторов (в правой системе координат). Рис. 1.27. Вектор, удовлетворяющий перечисленным условиям, можно найти, вычисляя векторное произведение векторов СА и АВ: Моп1ср = ЯМ = [СА АВ].
(1.115) Очевидно, что вектор »м? не изменится ни по величине, ни по направлению, если мы передвинем вектор Ао) в любое место прямой, на которой он расположен. Если точка С совпадает с началом координат, то вектор СА можно рассматривать как радиус-вектор точки А и положить СА =г. Тогда »йа? = [гу»1. (1.116) Записав г и р в виде г=?х+~у+)«г, р=1р +~р„+Фр„ где 1,,7, )г — орты, направленные по осям координат, представим бт $ !С МОМЕНТ ВЕКТОРА момент в виде определителя Язг= х у г Моментом вектора 4п относипмльно какой-либо оси будем называть проекцию момента относительно начала координат на эту ось. Моменты вектора Ж относительно осей х, у, г будут иметь вид 3)1„= ур„— гр„,:3ЛР— — гр„--хр„Ю~ =хр — ур„. (1.117) В кинематике мы встречались с понятиями аксиального вектора («псевдовектора») и полярного вектора.
При переходе от правой системы координат к левой аксиальный вектор изменяет свое направление, тогда как полярный вектор остается неизмен. ным. Если мы преобразуем,'декартовы координаты, положив х'= — х, у'= — у, г'= — г, (1.118) то перейдем от правой системы координат к левой. При этом все проекции полярного вектора, например, вектора скорости точки, изменят свои знаки на противоположные, а знаки ппоекций аксиального вектора, например, вектора угловой скорости, сохранятся. Что касается момента, то закон преобразования его проекций будет зависеть от свойств вектора р: если р есть вектор полярный, то вектор ЯМ будет вести себя при преобразова. нии (1.!18) как аксиальный вектор, если же р аксиальный вектор, то знаки проекций вектора 9М изменятся на противоположные — ЯИ будет полярным вектором. Поясним это утверждение примером из кинематики.
В Э ! главы ! мы ввели понятие секторной площади, дифференциалы которой определяются формулами (1.18). Выражение секторной скорости в декартовых координатах имеет вид Если мы введем вектор ~! 7 л~ 2 — й=~х я О~=[ю'п), ся А й О представляющий собой момент вектора скорости относительно начала координат, то заметим, что 2а есть проекция момента скорости на ось ОЛ. Преобразование (1.118) изменит знаки векторнь4х сомножителей г и и. Поэтому знак проекции вектора 2бй сохранится.
Следовательно, момент вектора скорости точки есть вектор аксиальиый. 3* ГЛ. Ь КИНЕМАТИКА Обратимся теперь к случаю вращения абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси, разобранному в 5 10. Вектор скорости точки Р (см. рис. 1.19) можно представить в виде момента вектора е относительно самой точки Р: пр = Мот р е = [Рде», что, очевидно, согласуется с формулой Эйлера, так как РО= — ОР = — г и пр — [ге) = [ег). Отсюда следует, во-первых, что, действительно, вектор е можно помещать в любом месте оси вращения, т. е.
что е есть вектор «скользящий». Во-вторых, что если мы перейдем к левой системе координат, преобразуя координаты по формулам (1.118), то поскольку знаки проекций вектора г изменятся, а знаки проекций е сохранятся, у проекций вектора пр знаки изменятся на противоположные. В этом случае момент вектора е есть полярный вектор. Рассмотрим множество векторов р„одной природы (а 1, 2, ... ...,п). Вычисляя момент каждого из них относительно начала координат, затем суммируя все моменты, мы получим суммарный (главный) момена1 а а йй= ~ч, '9Я = ~', [г„р„), (1.120) а=! а где г есть радиус-вектор начала вектора ра. Очевидно, что если линии действия всех векторов ра («носители» векторов) пересекаются в одной точке А (или все векторы ПРИЛОЖЕНЫ В ЭтОй ТОЧКЕ), тО МОЖНО ПОЛОжИтЬ Га=ГА.
ТОГДа сумма моментов будет равна моменту суммы векторов (моменту главного вектора): а ГА ~а Ра . (1. 121) а=1 Если же линии действия векторов ра не пересекаются в одной точке, то равенство (1.121) не будет выполняться. Характерным примером является пара векторов, т. е. совокупность двух равных по величине, противоположно направленных и не лежащих на одной прямой векторов. В 2 12 главы 1 мы рассмотрели пару вращений (пару векторов е, и е, = — е,) и обнаружили, что в этом случае тело движется поступательно, причем скорость поступательного движения, одинаковая для всех точек тела, равна моменту пары (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
