В.В. Петкевич - Теоретическая механика (1119857), страница 13
Текст из файла (страница 13)
пРАВилО сложания сил тз жающей среды и т. д. Зависимость силы от предыстории возникает в результате старения материала пружины и связанного с этим изменения ее упругих свойств. Указанные обстоятельства и, кроме того, сопротивление среды приведут к тому, что спустя некоторое время колебания прекратятся. В идеализированной же постановке задачи, если полагать, что пружина есть идеально упругое тело и пренебречь сопротивлением среды, мы найдем, что колебания с постоянным размахом будут продолжаться веч но. Ближе к реальным условиям такая постановка задачи, в которой приближенно учитывается сопротивление окружающей среды— сила сопротивления среды полагается пропорциональной скорости точки.
В этом случае мы обнаружим, что колебания будут затухать — нх амплитуда с течением времени будет асимптотически стремиться к нулю. ттальнейшее приближение к реальным условиям, связанное с усложнением постановки задачи, приводит, как правило, к повышению математической трудности решения задачи. Поскольку в механике обычно рассматривается движение тел в течение ограниченного' времени, допускаются разумные упрощения в постановке задач и, в частности, допускается та или иная степень идеализации сил. В дальнейшем мы ограничимся силами, зависящими от координат точки приложения, от их первых производных по времени и явно от времени. Кроме того, в некоторых задачах будем рассматривать силы трения, выражения которых содержат экспериментально определяемый коэффициент трення. Практика свидетельствует о том, что подобная идеализация допустима в весьма широких пределах.
Силы могут зависеть и от производных более высоких порядков, но в нашем курсе мы такие силы рассматривать не будем. Укажем лишь, что, например, силы сопротивления, пропорциональные ускорению, действуют на тела, движущиеся ускоренно в жидкости. Влияние подобных сил учитывается введением так называемых присоединенных масс. Здесь в самом простом случае можно обнаружить нарушение принципа независимости действия сил. Пусть, например, тело с массой т, к которому приложена сила Р, движется в жидкости поступательно и прямолинейно.
Обозначая ускорение через а, запишем уравнение движения как для материальной точки: та Р— ра, где р — коэффициент сопротивления е). Очевидно, что если отсутствует сила Р, то будет равно нулю и ускорение а. Следова- *1 Коэффициент р называется также лрисоединенной массой в силу того, иго уравнение движения можно записать в виде ри+и) а Р. 74 ГЛ.
зъ ДИНАМИКА МАТВРИАЛЬНОИ ТОЧКИ тельно, сила — ра обязана своим происхождением силе Р— налицо нарушение принципа независимости действия сил, Покажем, что силы, приложенные к материальной точке и зависящие от ускорения, но направленные не по одной прямой, могут не подчиняться правилу сложения снл — правилу параллелограмма. Рассмотрим материальную точку М, с массой т,. Пусть на точку действуют две силы, улхз — рз«хтз и 1тз — рз«хзз направленные не по одной прямой. Здесь аи — ускорения, создаваемые силами уи — р;ам, р; — постоянные коэффициенты. Запишем уравнения: т~«хи =л тз — рзс«тз тхсехз =уха — расе!я (2.8) Обозначим через а! сумму а!я+а!я. Если считать справедливым правило сложения сил, то, так как силы р«ат! зависят от уско- рения точки в данный момент времени, мы найдем тхсз! =Ля+~!я — рзез! — рззхт, нлн а!я (тх+ рз+ рз) +и!а(т,+ рз+ рз) =У!я+~и (2 9) Векторы аи н яи найдем из уравнений (2.8) и подставим нх выражения в (2.9).
При этом окажется, что силы ус!я и ухз должны быть связаны соотношением У+ Р' Л=0 и!+из я««+из (2.10) ') Вопрос о силах, зависящих от ускорения, в несколько иной форме рассматривал Л. Парс [2!1. *") См. речь Н. Е. Жуковского на собрания, посвященном памяти Ньютона, — «Ньютон как основатель теоретической механики» [см. [12[, т. Ч11), или, при р, = р„у'тз = — Ь. Если (2.10) не выполняется, то неприменимо и обычное правило сложения сил *). Второй закон Ньютона связывает кинематнческую величину ускорение с динамической величиной — силой. Коэффициентом пропорциональности является масса. Неоднократно высказывались суждения о том, какие величины считать основными и какие — производными (т. е.
выраженными через основные) **). По этому поводу можно заметить, что основные величины нельзя назначать умозрительно. Выбор таких величин связан с возможностью многократного и надежного измерения этих величин в реальных условиях. Одна и та же величина будет доступной для прямого измерения в одних условиях и недоступной в других, например, массы земных объектов и массы небесных тел. й Я.
СВОБОДНАЯ МАТЕРИАЛЬНАЯ ТОЧКА С момента выхода в свет «РЫ!озорЫае па!пга!!з Рг!пс!р!а Ма!)теша!!са» Ньютона прошло без малого три века. За это время было много попыток изменить системы аксиом Ньютона, заменить аксиомы Ньютона другими, считать, например, второй закон Ньютона лишь определением силы, т. е. заменить закон условным соглашением: «сила есть произведение массы точки на ее ускорение» и так далее*). Но из всех этих попыток ничего не вышло. Законы Ньютона выдержали беспощадную проверку временем и всей человеческой практикой.
Развитие физики привело лишь к изменению некоторых устаревших представлений и к выяснению границ области, в пределах которой справедлива механика Ньютона: ньютоново понятие абсолютного пространства заменено теперь понятием инерциальной системы отсчета (см. Введение); установлено, что механика Ньютона — классическая механика — неприменима, если относительные скорости точек сравнимы со скоростью света.
Неприменима механика Ньютона и к изучению явлений микромира — это область квантовой механики, хотя для построения аппарата квантовой механики используется аналогия с аппаратом классической механики. Но в своей, очень широкой, области механика Ньютона дает поразительные по точности результаты. Достаточно указать хотя бы на расчеты движения искусственных небесных тел, целиком основанных на законах классической механики **). $2. Дифференциальные уравнения движения свободной материальной точки Рассмотрим движение свободной материальной точки относительно инерциальной системы отсчета; положение точки будем определять декартовыми координатами. Второй закон Ньютона совместно с правилом сложения сил позволяет составить дифференциальные уравнения движения точки.
Исходя из (2.4), найдем о»х ~'у ~г пт --у = Р» пт — = Р» пт — Р» (2.11) причем Р„ Р„, Р, — проекции силы Р на оси координат — могут зависеть от координат, их первых производных и времени. Уравнения (2.11) образуют систему из трех дифференциальных уравнений второго порядка. ') Об этих попытках можно прочесть в упомянутой речи Н. Е, Жуков ского. **) И в наше время есть попытки «опровержения» законов Ньютона, но теперь это удел дилетантов-недоучек. 76 ГЛ. Н.
ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОИ ТОЧКИ Если известен закон движения, т. е. если заданы координаты материальной точки в виде функций времени х=1ь(1) у=1 (1), Е=Ь(1) то из уравнений (2.11) мы легко найдем зависимость проекций силы от времени, но установить зависимость силы от координат и скорости точки вообще не просто. Решение задач, в которых требуется исследовать движение материальной точки, если известна сила, связано с интегрированием системы дифференциальных уравнений. Для получения частного решения необходимо задать координаты точки и проекции ее скорости в некоторый (начальный) момент времени.
Уравнение (2.4) описывает изменение во времени импульса точки. Во многих случаях удобнее пользоваться другими формами уравнений движения. Мы рассмотрим здесь еще две формы: уравнение момента импульса и уравнение кинетической энергии. Умножим обе части (2.4) векторно слева на радиус-вектор точки М: '[гт — ~ = [кг 1. В левой части, после очевидного преобразования, получим вг — [кте1, и уравнениг момента импульса будет иметь вид д —, [кте) = [г)о). (2.13) здесь 1, у, Ф вЂ” единичные векторы, направленные по осям координат.
Уравнение кинетической энергии получим, умножая скалярно обе части (2.4) на элементарное перемещение с(к = ес(1. В левой во 1 /ео«ь части получим [т — ей() =й ~ — ). Уравнение кинетической энервс гии запишем в виде с( ~ — ) = (ло с(г). (2.!4) «) В частности, может быть (гг"1=0, во г ~ О.
Следовательно, проиэводнал по времени от момгнпш импульса геометрически равна моменту силы (моменты векторов берутся относительно неподвижного начала). Очевидно, что уравнение (2.12) не сводится к (2.4) "). Уравнение момента импульса можно записать подробнее: 3 3. СВОБОДНАЯ МАТЕРИАЛЬНАЯ ТОЧКА (2.15) Очевидно, что элементарная работа силы Р, которую теперь можно записать в виде (Рйг)=Р»йх+Ргйу+Р~йг д йх+д йу+д йг=йП вЂ” дт й1 дП дП дП дП (2.16) будет полным дифференциалом функции П, если, во-первых, существует эта функция, и, во-вторых, силовое поле стационар ю— вектор Р, и, следовательно, функция П не зависят явно от времени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
