В.В. Петкевич - Теоретическая механика (1119857), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Условия существования функции П вЂ” условия, которым должны удовлетворять проекции силы Р, — известны из математического анализа. Их можно записать в виде д»П д»П о"П д»П дгдх дхдг' дхду дудх' д'П д»П ду дг дг ду' дР» дР» дРу дР» дг дх ' дх ду ' дР» дРР ду дг ' '1 Понятие силового поля должно быть знакомо читателю из курса физики.
Дифференциал кинетической энергии точки равен злементарной работе суммы сил, приложенных к точке, на действительном перемен(внии. В теории дифференциальных уравнений первым интегралом системы уравнений называется функция координат, их производных и времени, которая обращается в постоянную в силу уравнений. Иначе говоря, полная производная этой функции по времени обращается в нуль в силу уравнений (заметим, что второе определение удобнее). Если ~т(х, у, г', х, у, г; 1) есть первый интеграл (2.4), то в силу уравнений ~~ =Су и †, О. Например, если Р„=О, то тх =сопз1 илн, еслд хЄ— уР„О, то т(ху — уХ) сопз1 и т.
д. Это простейшие интегралй импульса и момента импульса, которые часто называют законами сохранения. Интеграл энергии мы получим нз (2.14), если правая часть есть полный дифференциал некоторой скалярной функции — потеяцнала силового поля*). Силовой потенциал может быть функцией координат точки н времени. Обозначим его через П(х, у, г', 1). Проекции силы на оси координат будут равны Р= — Р— Р= —.
дП дП дП » дт г в ду ю » дг ' 78 Гл.!!. динАмикА мАтвпиАлънои точки Три последних равенства эквивалентны векторному равенству ! д д д ох вр дг !~» ри рг (2.! 7) Итак, если го(Р=О и — =О, то дР дг (Рйг) =йП, и уравнение (2.14) будет уравнением в полных дифференциалах йЯ)-йп. (2.18) Следовательно, из уравнения (2.18) найдем глпя — =П (х, у, г)+сонэ(.
2 (2. 19) Часто вместо потенциала силового поля вводят потенциальную энергию материальной точки, отличающуюся от потенциала знаком. Потенциальную энергию обозначим через (/, полагая У(х, у, г) = — П(х, у, г) "). Вместо (2.19) получим — +У(х, у, )=сопя(=— Ее. (2. 20) ') Очевидно, что функции У и П могут быть определены с точностью до постоянного слагаемого. '*) Это следует непосредственно и из теоремы Стокса: (Р пг) = )г)г (го! и")„Эо, и где С-замкнутый контур, и-поверхиостгь опирающаяся на контур С. Мы пришли к так называемому интегралу энергии (закону сохранения механической энергии): если силовое поле потенциально и стационарно, то сумма кинетической и потенциальной энергий свободной материальной пючки равна постоянной. Сумма кинетической и потенциальной энергий называется механической энергией, ее постоянное значение обозначено через Е,. Чтобы вычислить Е„ надо задать начальные значения координат точки и ее скорость.
Если силовое поле потенциально и стационарно и, следовательно, если сохраняется (консервируется) механическая энергия свободной материальной точки, то такое поле называется консервапгивным. Нетрудно показать, что работа сил консервативного поля при конечных перемещениях точки не зависит от вида траектории, а равна разности значений функции П в конце и в начале перемещения. Отсюда следует, что работа сил консервативного поля на замкнутом перемещении равна нулю *').
В самом деле, пусть 79 5 К СВОБОДНАЯ МАТЕРИАЛЬНАЯ ТОЧКА Р, и Р, — начальное и конечное положения точки. Вычисляя работу сил поля найдем Р (Рс)Г) = ~ с(П П'!р,— П1р,. (2.2 !) ° ~Р,Р, Р, Отсюда с п сС« 1 à — — ~ Р,Д) сЦ+с„х= — ~ с!71 ~ Р„(9) с(5+с,1+с,. (2.22) 1 Аналогичные выражения получим для у и г. Если проекции силы на оси координат зависят только от соответствующих координат, то, умножая на с)х обе части уравнения сссх сс —,=Р«(х), и интегрируя по х, получим 1е)'-А1«.ссскскъ «к Положим к — '1 Р.а) !~+с,=а(х).
«к Тогда -=-с-3/ Ф(х). Знак перед корнем нужно выбирать так, чтобы решение отвечало начальному состоянию. Разделяя переменные, найдем к 1=!о ск „уеа> ' (2,23) Заметим, что можно рассматривать движение точки и в нестационарных силовых полях. Если в каждый момент времени го1 Р=О, то функция П будет существовать, но она будет явно зависеть от времени, и при вычислении интегралов вида (2.21) или интегралов по замкнутому контуру — циркуляции вектора Р— время нужно рассматривать как фиксированный параметр. Выбор метода интегрирования уравнений движения свободной материальной точки определяется характером силового поля.
Укажем на некоторые, важные для приложений, частные виды силовых полей. Если сила зависит только от времени — поле однородное, но нестационарное, — то из (2.11) имеем лс с)т *Р«(1). ГЛ. И. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОИ ТОЧКИ ао Если проекция силы на какую-либо ось зависит лишь от проекции скорости на эту ось, то, обозначив в уравнении йх — через и, получим яи 1 йг Р1 — — Р (и). Разделяя переменные, найдем время как функцию сл ы ии '="+ш1 я.М' и, Обращая решение (что далеко не всегда просто), получим и= — „, =ф(г).
ых Отсюда х= ~ ф($) г(3+си (2.24) В 3. Качественное исследование движения Качественное исследование движения представляет собой применение различных способов и приемов, позволяющих судить о свойствах движения материальной точки, или системы точек, или какого-либо более сложного объекта, не интегрируя до конца систему дифференциальных уравнений движения. Часто это делается при помощи первых интегралов уравнений дан>кения — используются функции интегралов, которые, как известно, являются также интегралами. Мы рассмотрим здесь один из таких методов. Обозначим через д некоторую координату — это может быть полярный радиус, либо угол отклонения маятника, либо декартова координата точки. Координата д может быть и одним из углов Эйлера — углом нутации — в задаче о движении абсолютно твердого тела с одной неподвижной точкой (см.
динамику абсолютно твердого тела). Короче говоря, д=~(Г) есть так называемая обобщенная координата, зависящая от времени. Допустим, что в силу уравнений движения координата д удовлетворяет дифференциальному уравнению вида ® =Ею, в котором правая часть, Р (д), есть известная, однозначная и дифференцируемая функция координаты д, зависящая еще, быть В1 е 3. кАчестВеннОВ исследОВАние дВижения может, от констант интегрирования. Переменные в уравнении (2.25) разделяются, интегрирование завершается вычислением интеграла и мы находим ( = (, -+- ~ (2.26) здесь де=у((е). Знак перед радикалом выбирается так, чтобы решение отвечало начальному состоянию (нужно знать — ).
лд ит г=г, В простых случаях интеграл в (2.26) вычисляется, и мы находим время как функцию верхнего предела — координаты д. Обращение интеграла позволит нам найти координату в виде функции времени, что, как известно, далеко не всегда просто. Качественное исследование здесь приходится применять потому, что интеграл в (2.26) либо не может быть выражен в известных функциях, либо его вычисление приводит к сложным, трудно обозримым формулам. Выведем выражение второй производной от д по времени, которое нам понадобится в дальнейшем. Дифференцируя обе части уравнения (2.25) по времени, получим Полагая, что йу асмо, приходим к искомой формуле Ж~ 1Ы им 2 Й~ Покажем, что характер изменения координаты г) определяется поведением функции г (д) и, главным образом, зависит от корней уравнения г (д) = О. Предположим, что уравнение )о (д) = О имеет два простых корня, дз и д„между которыми находится начальное значение координаты д(1е) =д„и что график функции Р(д) в окрестности имеет вид, указанный на рис.
2.3, ае). Области изменения координаты д в действительном движении отвечают неотрицательные значения ординат. Пусть, для определенности, — ~ (О, й с=ь тогда в формуле (2.26) выбираем нижний знак перед интегралом. Функцию Р(д) представим в виде (о — д,)(дз — д)Чг(д), где Чг(д))О ') Разумеется, уравнение Р(Ч) =О может иметь и другие корни, кроме от н оа, ГЛ.
И, ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОИ ТОЧКИ при 7,~д~д,. Время (А достижения левой границы конечное, так как конечным будет предел интеграла да 1, =г',— Вгп 4-4, „1 у (а — 41 (а -а) '~ (а Интеграл сходится, и мы найдем А Н1 ГА=ГΠ— ) — „— ,) УР(ч) аса 1 аР В момент времени (, 7=д„— =О, но —,~0, так как 1 = — ат. (2.27) а) а) Рис. 2.3. Вслед за остановкой координата начнет уменьшаться, так как Фд1 1 аР~ — — — ~0. Найдем время возвращения в начальное ап ~1=а 2 аа 14=о состояние: т = ((~ 14) + ((с — (г) + ((з — 1с) Здесь (' аа Следовательно, если Ж есть малое положительное приращение времени, то а(1,+М)-ц(1,)+7Аф, + — , '(Ир Я+... -7,+ — (Ы) — ~ +...)д,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
