В.В. Петкевич - Теоретическая механика (1119857), страница 12
Текст из файла (страница 12)
формулу (1.!02)), тогда как сумма векторов е, н е» а этом случае равна нулю. ГЛАВА 1! ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ $1. Законы Ньютона. Правило сложения сил Рассмотрим простейшую модель реального тела — материаль. ную точку, движущуюся относительно некоторой системы отсчета. С системой отсчета свяжем систему координат и будем определять состояние движения точки ее координатами и проекциями скорости на координатные оси.
Причину, вызывающую изменение состояния движения материальной точки (или более сложной модели реальных тел), назовем силой, Вначале рассмотрим движение материальной точки относительно инерциальной системы отсчета*). Если состояние движения материальной точки относительно инерциальной системы отсчета с течением времени изменяется, то, как показывает опыт, это происходит только в результате взаимодействия материальной точки с другими точками и телами, т.
е. силы, изменяющие состояние движения, возникают в результате взаимодействия материальных объектов **). Уравнения, с помощью которых описывается изменение состояния движения материальной точки, — уравнения движения,— составляются на основе законов Ньютона, которые часто называют аксиомами, так как они принимаются без доказательств, без каких-либо математических выводов — они «вводятся», а не «выводятсяж Законы Ньютона изложены в его трактате «Р)п!озор- Ь!ае па!цга1!з Рг!пс!р)а Ма!)зеша1!са» («Математические начала натуральной философии»), который вышел в свет в 1687 г. Поэтому, несмотря на то, что у Ньютона были великие предшественники, год опубликования трактата Ньютона считается годом возникновения теоретической механики, основы или «начала» которой даны Ньютоном в чрезвычайно простой, сжатой и ясной форме.
Законы природы предстают здесь в идеализированном, абстрактном виде, поскольку они относятся к идеализированным моделям реальных тел и к идеализированной модели реального физического *) См. «Введение»-определение инерциальной системы отсчета. "') Дальше мы рассмотрим движение материальной точки относительно неинерциальной системы отсчета (гл. 11, 1 7) и увидим, что изменение состояния относительного движения частично будет определяться движением самой системы отсчета. ГЛ.
тк ДИИАЫИКА МАТВРИАЛЪНОН ТОЧКИ пространства — рассматриваются материальные точки, движущиеся относительно инерцнальной системы отсчета. Однако опыт показывает, что подобная идеализация допустима в очень широких пределах — решение многих задач механики позволяет с большой точностью описывать движение реальных тел и надежно предсказывать их поведение*). Для составления уравнений движения материальной точки введем простейшие меры движения.
В качестве основной простейшей меры движения примем импульс (количество движения), равный произведению массы т на вектор скорости точки, р=тт!, где масса — постоянный положительный множитель т — есть мера инертности материи **). Простейшими мерами движения являются, кроме того, момент импульса относительно начала координат 0 = [гпгп) (2.2) и скалярная мера движения — кинетическая энергия материаль- ной точки гша Т = —. 2. ' (2.3) Как мы увидим дальше, уравнения, описывающие изменение момента импульса либо кинетической энергии, позволяют в ряде случаев проще и в более наглядной форме выявить характер движения материальной точки.
Приведем формулировку законов Ньютона, условившись обозначать силу взаимодействия между точками М„н Мэ через Т г, а суммарную силу, приложенную к точке М, взаимодействующей со многими другими точками, — через гг. Пер вый закон Н ьютон а: л!атериальная точка пребывает в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения относительно ингрциальной системы отсчета до тех пор, пока действуюи)ие на нее силы не изменят это состояние. Иначе говоря, изолированная материальная точка (точка, «одинокая во всем мире») либо покоится, либо движется прямолинейно и равномерно относительно инерциальной системы отсчета — причина изменения состояния движения находится вне самой точки ***).
*) Заметим, что для построения механики непрерывных сред, в том числе н механики абсолютно твердого тела, необходимо постулировать некоторое расширение понятий и аксиом механики материальных точек. **) Дальше мы увидим, что множитель и фйгурирует и в законе тяготе. ния Ньютона, но уже в другом качестве. ***) Для того тобы рассматривать изолированную материальную точку, необходимо допустить, что тела, образующие систему отсчета, находятся на достаточно большом расстоянии (на «бесконечно» большом расстоянии). Если состояние движения материальной точки, находящейся в окружении других материальных объектов, не изменяется, то это означает равенство нулю суммы всех сил, приложенных к точке. Э Ь ЗАКОНЫ НЬЮТОНА.
ПРАВИЛО СЛОЖЕНИЯ СИЛ 71 В т о р о й з а к о н Н ь ю т о н а: производная по времени от импульса материальной точки геометрически равна *) силе, при- ложенной к точке. Или, при постоянной массе, произведение массы точки на ее абсолютное ускорение геометрически равно приложен- ной к материальной точке силе, т. е. в — „(тт1) = г', ИЛИ т — „= Р. во (2.4) Третий закон Ньютона: двг любые материальные точки взаимодгйапвуюп1 друг с другом с силами, направленными по пря- мой, соединяющей эти точки, равными по величине и противопо- ложно направленными.
Пусть это будут точки М„и Мр. Тогда л И,з ,л. узви Д в= — зр (2Л) Здесь Дв есть сила, действующая иа точку М„со стороны И~ у точки Мв, Дв„— сила, действующая на точку Мр со стороны Рис. 2.1. точки Мо (рис. 2.1). Для того чтобы на основе законов Ньютона можно было составлять уравнения движения и решать задачи, необходимо дополнить их правилом, с помощью Г ' которого находится вектор силы р'в фгг и уравнении (2.4), если материальная точка взаимодействует со многими м, другими точками. Кроме того, нужно указать, от каких величин может — — — -и — и. зависеть сила гт. 71» " " Принцип независимости действия сил; правило параллелограмма. Пусть имеется »!~~ ~он "» совокупность материальных точек, Рис. 2.2.
взаимодействующих друг с другом с некоторыми силами )у. Число то- чек равно и. Выделим одну из них и, рассматривая взаимодейст- вие этой точки с каждой из оставшихся, запишем выражения для ускорений ан, создаваемых силами взаимодействия (рис. 2.2). т,а„=ута, ттатз = Ь (2.6) ттат = 1 т» ')»Геометрически равна» означает, что равны абсолютные величины векторов и совпадают их направленая. 72 гл. и. динкмикл млткоилльноп точки Принцип независимости действия сил, основанный на опыте, заключается в том, что ускорение нц, вьаываемае силой ~зп определяется только этой силой и не зависит от остальных сил.
Складывая геометрически левые и правые части в (2.б), найдем з п т, я ац — — ~ч„~зь з Очевидно, что результат не зависит сл порядка, в котором скла- Л з дываютсн векторы. Обозначая ~ азз через а, и ~ч ', ~зз через г'ц з -з получим т,а, = зоз. Итак, геометрическая сумма ускорений ачи вызываемых силами взаимодействия тачки М, с остальными точками, пропорциональна геометрической сумме сил взаимодействия. В этом и состоит правило сложения сил — правило параллелограмма, основанное на принципе независимости действия сил.
Покажем, что если нарушается принцип независимости действия сил, то нарушается и правило сложения сил. допустим, что Яззиц = )~ззУзз+ ьззгзз. тза~з з)зз/зз+ з)зз Гзз~ т. е. что нм и азз линейно зависат от гзз и Гзз. СкладываЯ геометрически, найдем тз (сззз+ азз) = (Лзз+ гнз) Узз+ (Лзз+ Пзз) Узз. (2.7) Очевидно, что правая часть полученного равенства может быть не коллинеаРна сУмме Узз+)зз и что, допУстив пРостУю линейнУю зависимость ускорения пц не только от силы ~зп ио и от других сил, мы нарушили правило сложения сил'). Сила зо, приложенная к материальной точке, может зависеть, как показывает опыт, от многих величин и от многих обстоятельств: она может зависеть от мгновенных значений переменных, определяющих состояние движения точки, от того, каким было движение точки и каким было состояние окружающей среды в прошлом, и может, кроме того, зависеть явно от времени.
Рассмотрим, например, вертикальные колебания тела, подвешенного на пружине в реальных условиях. Если тело колеблется долго, то сила, а которой действует пружина на тело в некоторый момент времени, будет зависеть не только от удлинения пружины в этот момент времени, но и от продолжительности и размаха предшествующих колебаний. от температуры окру- '> ВйеяползгазтсЯ, чтв если уц — — О, то тза„=1ц, з, если уц О, то т,оц Лз к ь ЗАкОны ньютОнА.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
