В.В. Петкевич - Теоретическая механика (1119857), страница 15
Текст из файла (страница 15)
1 Ааг" 4 сад, Координата д(1) будет возрастать до значения дс, прн котором скорость а снова обратится в нуль. Время достижения правой границы также будет конечным. Изменяя знак перед радикалом, найдем (А — гг=+ )— Г са а УГУ (2.28) ~ з. клчнствннныв исслндовяння движения вз Складывая выражения (2.27) — (2.29) и меняя пределы интегри- рования, получим т=(з — (о=2 [ е Уь.(в)' (2.30) Очевидно, что, каково бы ни было значение д, принадлежащее замкнутому интервалу [д„дя1, у((+ )-уЯ, и((+ )=!((). Итак, если уравнение г (д)=0 имеет два простых корня, дх и у„ между которыми находится начальное значение д„то координата д(() меняется периодически, колеблясь между у, и д„и период колебаний выражается формулой (2.30).
Пусть теперь один из корней (или оба) кратный. Например, пусть дя есть двукратный корень уравнения г" (д) О. Положим г (у) =(у у )(у у)'~р(у) где ср(у))0 при д,(д(уе (рис. 2.3, б). Рассмотрим движение при тех же начальных условиях и найдем время движения от левой до правой границы: 1, — 1, = 11 пч ~~ ч-ч. 3 (ве — в) р(в — ч1) ч(в) В этом случае интеграл расходится и стремление к правой границе будет асимптотическим: если д- д„то 1-ь+со.
Изменение координаты д в случаях а и б (см. рис. 2.3) называется финитным (ограниченным). В случае а оио периодическое, в случае б апериодическое. Если уравнение г"(д) = 0 имеет один простой корень (случай в рис, 2.3), или корней нет вовсе *), то очевидно, что изменение координаты д(() будет инфинитным (неограниченным): ух~у(г)<+со. Заметим, что если уравнение г (у) =0 не имеет вовсе корней, то очень важен знак начальной скорости (при колебательном движении этот знак не так важен). В случаях а и б полезно рассмотреть другой подход к исследованию изменения координаты у(1). Из уравнения (2.25) получим, выбирая для определенности нижний знак перед радикалом — „, = — )'(у — у.) (у. — у) ч'(у) (2.31) ") Речь идет о вещественных корнях.
ач Гл. и. динАмикА мзтагиАльиой тОчки Заменим уравнение (2.31) системой из двух уравнений, вводя вспомогательную переменную ис в=-Лю — Ый — е, Й~ (2.32) 2 (2. 33) В правой части (2.33) координата (( выражена через ге прн помощи (2.32). Если положить то из (2.32) найдем Следовательно, в = агссоз 5+ сопз(. Постоянную в этой формуле можно отбросить, так как ге — вспомогательная переменная. Тогда д=ч2+~'+ — 2ч' созга. 2 2 Значит, д есть периодическая функция гв с периодом 2и. Обратимся теперь к уравнению (2.33).
В силу того, что Ч'(д) положительна при а~у(д2, гв есть монотонно возрастающая функция времени. Имеем (=22+ й( Уч (ч(в)1' Найдем приращение времени, отвечающее изменению гв на величину 2ги в+ 22 Ф+т ~9+ яв Уч'(ч (в)1' Из двух последних выражений исключим время В ю+ 2я дв У1Р (ч (в)1' т=2 )' ч' (ч (вВ (2.35) Замечая, что однозначная функция Ч', являясь сложной функцией в, имеет период 2И, и что график ее симметричен относительно оси ординат, запишем: в ГЛ.
П, ДИНАМИКА МАТВРИАЛЬНОИ ТОЧКИ 5 4. Центральные силы Следовательно, (гто1 = сопИ, (2.38) и мы имеем интеграл момента импульса. В атом случае траектория точки будет лежать в неподвижной плоскости, проходящей через силовой центр. В самом деле, из (2.38) находим уг — гу=с„гх —,хг =с„ху — у2=с,. (2.39) Умножая обе части первого уравнения на х, второго. на у, третьего на г и складывая почленно, получим с,х+с,у+с,г=О. (2.40) Это и есть уравнение той плоскости, в которой будет двигаться точка. Очевидно, что плоскость (2.40) ортогональна к моменту импульса точки.
В приложениях часто встречаются центральные силовые поля, в которых силы зависят только от расстояния точки до силового центра. Поля такого рода обладают сферической симметрией. Покажем, что сферически-симметричное стационарное силовое поле консервативно. Пусть центральная сила зависит только от расстояния точки до силового центра: Р е, Р (г), ) е,! = 1. (2.41) Тогда, обозначая —,Р(г) через 1(г), запишем 1 Р =х1(г), Ру=у1(г), Рг=гГ(г). Далее, дР, уг д) дР уг д( '3 '- — —, — у у ганг' дг г дг' Следовательно, дРг дРг .Аналогично покажем, что дР„ дР дг дг дРг дРг И дх ду Силовое поле называется центральным, если линия действия силы, приложенной к материальной точке, неизменно проходит через некоторый центр.
Силовой центр может быть подвижным, либо неподвижным относительно системы отсчета. Если начало координат инерциальной системы отсчета помещено в силовом центре, то из (2.12) получим дг —, 1гтп] = О. вт $4. ЦЕНТРАЛЬНЫЕ СИЛЫ Значит, го(Р=О. Элементарная работа силы будет равна (Ег(г) =(е,р (г) 4((ег)) = Р (г) 4(2 = 2(П. (2.42): Отсюда, с точностью до постоянного слагаемого, П(г)-~ЕЕД=-и(г). Здесь П (г) — потенциал силового поля, (2' (г) — потенциальная энергия точки.
Через Р(г) обозначена проекция силы на радиус- вектор точки. Если сила притягивающая, то Е(г)~0, если отталкивающая, то Е(г))0. Интеграл энергии свободной материальной точки будет иметь. вид — "'+и(.) =сонэ(=Е„ 2 (2.43). где постоянная интегрирования Е, определяется начальными. условиями. Рассмотрим задачу о движении материальной точки М под: действием центральной силы, притягивающей точку к неподвижному силовому центру, предполагая, что величина силы пропорциональна расстоянию от силового центра до точки, — задачу о пространственном осцилляторе. Уравнение движения будет- иметь вид И вЂ” =- Е,й22, или — = — е,еэг, ЙЮ 42 (2.44). где г есть расстояние от силового центра до точки, а2= Ц/и.
Запишем интегралы уравнения (2,44): интеграл момента ско- рости (г'е1 = с, (2.45). и интеграл энергии тР4 АР22 — + 2 —— Ео (2.46) В задаче о пространственном осцилляторе удобны декартовы ортогональные координаты. Запишем (2.44) в проекциях на оси х, Д, х = а, соз (ег) + а2 з(п (ег), у = аг сов (ег) + а4 Йп (4а), г = а, соз (ег) + а4 з(п (е4), (2.48), 222 2 а4д 2 а42 — = — е х — = — й д — = — й~г. ам ' а42 ' 442 (2.47) Мы видим, что система дифференциальных уравнений распадается на три независимых уравнения, общее решение которых будет. иметь вид 88 ГЛ. П. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ где а; — постоянные интегрирования.
Исключая соз(М) я з(п(я() из выражений для х и у, найдем проекцию траектории точки на плоскость ху: А,х'+ В,у' — 20,ху = 1, (2.49) где а!+ 61 а)+ а! абаз+ а,аз А,= —., В,= —, О,= Д; ' Дй ' Дй ййй = а,а4 — а,ай. Аналогично, для проекции на плоскость уг: В,у'+ Сйгй — 20йуг = 1. (2.50) где В а!+а! й= й а)+ а( С,=— Дй йй аэцз П4436.
0 азаб+ 64аз И, наконец, для проекции иа плоскость гх: Азх'+ Сзгй- 20згх = 1, (2.51) где 4 Яйй + 'йя 3 С =а,+а, 0 =аа'+аа' 3= д, ° 3= д, я я я ~3 айаб пйаз' Сравнивая различные выражения соз(Ы) и 61п(ай) через координаты х, у, г, полученные из (2.48), приходим к равенствам Ай=А3— = А, Вй=ВйазйВ. Сз=С3 — С. Таким образом, эллипсы (2.49) — (2.5!) Мы можем рассматривать как кривые, полученные пересечением эллипсоида Ах'+ Ву'+ Сг' — 2 (0,ху+ 0,уг+ 0,гх) = 1 (2.52) координатными плоскостями. Центр эллипсоида находится в начале координат (в силовом центре), направления главных осей и длины его полуосей определяются начальными условиями. Если начальная скорость точки отлична от нуля и не направлена по радиусу-вектору, то траекторией точки будет эллипс, который получается пересечением эллипсоида (2.52) и плоскости (2.40), проходящей через начало координат.
В тех случаях, когда начальная скорость равна нулю либо направлена в ту или иную сторону по радиусу-вектору, движение точки будет прямолинейным — это будет гармоническое колебание вдоль прямой, проходящей через силовой центр. Уравнения (2.49) — (2.51) можно рассматривать как уравнения эллиптических цилиндров с образующими, параллельными соответственно осям г, х и у. Тогда возможно иное представление % 4. ЦЕНТРАЛЬНЫЕ СИЛЫ Рис. 2.4 Ц П= — — ' Г Задачу о движении материальной точки в поле тяготения,— задачу Кеплера,— мы подробно рассмотрим в главе 1П. Задачу о движении в поле отталкивающих кулоновских сил рассмотрим в связи с теорией рассеяния частиц.
Кроме того, к задачам о движении точки в центральном силовом поле мы вернемся в параграфе, посвященном методу Гамильтона — Якоби. траектории: траекторией точки М будет эллипс, голучаемый пересечением, например, цилиндра (2.49) с плоскостью (2.40) (рис. 2.4). Если в уравнении (2.40) са Ф О, са чьО, са чь О, то можно выбрать любой из указанных выше эллиптических цилиндров.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
