В.В. Петкевич - Теоретическая механика (1119857), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Имеем 1!Р бб — = — — гое — 2лео+ —. 2Е Б г Г КР Найдем значение го, при котором — = 0: И.. ГИег 1О,,А — — —,-~ ~ —,+ —. ба ~ абае 3 ' Счевидно, что максимум Р(ео) будет при Здесь использована формула для ше. Следовательно, С=АО 1/ Г гФ1+Жд' (2.72) Иг l Иете ! ш=ш1= — — + й' — + — ~ бе У аббе 3 ' а так как го1)0, то и еое)0. Значит, 0<гр,<п/2 (при сФО не может быть 1р= О). Исследуем более детально вид траектории сферического маятника, полагая, что обе параллели расположены в нижнем полушарии. Рассмотрим проекцию траектории на плоскость (х, О, у) (см. рис. 2.5). Покажем, что угол 1Р между направлениями радиусов, отвечающих двум последовательным касаниям траектории с нижней и верхней параллелями, больше и/2.
С этой целью вернемся к функции Р(1о): Р (1о) = (1 — го~) (И + — 1о) — се = —, (гое — го) (ео гое) (п1 — 1ое), (2.71) где 1о„го„ше — корни уравнения Р(го)=0. Используя соотношения между корнями кубического уравнения, найдем еое ! + 1Р11ое Ме+ ЕЕЕ Так как 0<гое<+1 и ~ гоеше)<1, то гое+гое)0. Выразим постоянную с через другие величины, полагая ф=О, или ео= -1-1: 2д Р(1)= — с = (и11 — 1)(1 — гое)(1+1ое)(1+1юе). г (ме+ ое) з в свегическии маятник где л = ~'рг — ',~)Г-',~, в = ~'д~ теч.,п. Дифференциальное уравнение траектории сферического маятника мы получим, исключая Ж из интеграла энергии (2.68) при помощи интеграла площадей (2.67) и заменяя постоянную с ее выражением (2.72): !Ив АВ Кв ° (2.73) (! — в') У (в — в) ( — ~ ) (в ( ~ + )+ в ~+ 1) Отсюда, интегрируя в пределах от ць, до и!м находим искомый угол Ч'.
в, Чг АВ Пв (1 — в') У(в,— в) (в — в.) [в(в +в )+ ~ вэ+1) в, Полученный интеграл можно оценить сверху и снизу, замечая, что Ах < ) + в (!е! + в!) + в!в, < Вэ. Здесь использованы неравенства — ! < !а <+1, в, + в, ) О. Таким образом, мы находим, что угол Ч' будет заключен в сле- дующих границах: в1 Ю, (! в') У(в1 в) (в — ~~) " (1 — в') У(в,— в) (в — в,) Интеграл, входящий в левую и правую части неравенства, вычислить нетрудно, так как теперь под знаком радикала нахо- дится многочлен второй степени. Используя тождество вычисляем неопределенный интеграл: дв (! — ') У(в, — ) (в — в,) 1 ч'в 1 (' ЙО 2 + (!+в) У(в,— в) (в — в,) 2,) (1 — в) У(в,— в) (в — в~ 1 . ( — 2(1+в1) (1+чн)+(2+в1+в~) (1+и) 1 2~ (1+вй(1+вв) Ь (в~ — в,)(1+в) агс5)п ~ 1 . 1 — 2(1 — в!)(1 — вД+(2 — в~ — аз)(1 — в)1 1) (!-в,)(1 в,) (в — ъ)(1 — в) 4 в.
а. пежевнч 98 ГЛ. и. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЪНОИ ТОЧКИ Подставляя пределы, найдем, что 2( +В) 2( +А)' Ч') ".. Следовательно, Если в правой части уравнения (2.68) постоянная с равна нулю, т. е. равен нулю момент импульса относительно вертикали, то материальная точка будет двигаться по окружности в вертикальной плоскости. В этом случае удобнее воспользоваться интегралом энергии в виде (йу-) =й+ ~сов р.
(2.74) Заметим, что так же записывается интеграл энергии в случае, если точка движется по абсолютно гладкой, жесткой окйужности в вертикальной плоскости. а) Рис. 2.7. ар та=4 у 6+ — сов е 2д (2.75) Выражая й через фз и делая замену переменной интегрирования, Обозначая правую часть (2.?4) через Р(~р) и построив график этой функции (рис. 2.7), найдем, что в случае а) маятник будет колебаться в пределах от ср, до срм в случае б) маятник будет асимптотически стремиться к верхней точке (рз = 180'), в случае в) изменение угла отклонения будет инфинитным — угол будет расти неограниченно. Период конечных колебаний плоского маятника, зависящий, очевидно, от размаха, в случае а) вычисляется с помощью эллиптического интеграла: ь О.
сФЯРичвскии мАятник положив з1п 2 =ЙО1па, где Й=з(п 2', найдем — ~/ О/? Т (' ва г,р — — 4 — 1 В В У! — ЙОап?а О (2.7б) Если отклонения маятника от положения равновесия малы, то в выражении периода колебаний можно разложить подынтегральную функцию в ряд по степеням малой величины Й'з(п'а: ! (1-Й'з1пва) ' = 1+ — ЙОО!п?а+... 2 Вычислим интеграл, сохраняя два члена разложения. Прибли- женное значение периода малых колебаний будет выражено сле- дующей формулой: ОМ т" 4 р~ ) (1+ 2 Й'з(п'а)йа=2п 1/ (1+ 4)' О В случае б) Ч?О = и и Й = + 227г.
Поэтому эллиптический интеграл, выражающий зависимость времени ! от угла <р, 1= (О+ ОО ~? 6+ — ОМФ 2в l может быть выражен в элементарных функциях. Вычисляя, по- лучим Ф 1 80+ 2 у ) +и гО $/ $П(с!к( 4 ))' проектируем на главную нормаль: в?ОΠ— -л??гсоз !р+)г„.
4О (2,7?) Так как в этом случае !2Π— — и, то Ор(1) необходимо стремится к л, а следовательно, время ! неограниченно растет. В заключение заметим, что в ряде задач приходится вычислять реакцию связи, например, когда нужно узнать, покинет ли точка связь и где это произойдет. (Такая связь, которую точка может покинуть, называется односторонней, или освобождающей; в противном случае — связь двусторонняя, или нвосвобождающая.) Обратимся к плоскому маятнику. Уравнение движения, записанное в векторной форме вв пЖ л?в+~"' 100 гл. и, динхмикл мхтяяилльнон точки Из интеграла энергии имеем ыь' — = ту' сох ф+ Еь, где тьр Ео = — — тй соз ~рь.
2 Следовательно, нормальную реакцию гладкой окружности можно вычислять по формуле )7„=та(Зсоз р — 2соэ~рь)+~ — "'. (2 78) Здесь рь — начальный угол отклонения, п,— начальная скорость. Напомним, что в формуле (2.78) )7„есть проекция реакции связи на внутреннюю нормаль. Поэтому если связь освобождающая, то Я„) О, ибо реакция такой связи может быть направлена лишь в сторону схода точки.
Место схода будет там, гле К„=О. Весьма полное изложение задачи о движении маятника можно найти в (8). й 7. О преобразовании Галилея. Неинерциальиыс системы отсчета Часто мы вынуждены исследовать движение каких-либо объектов относительно подвижной системы отсчета — такой системы, собственное движения ко«т торой может быть обнаружено механическим опы- 1.
0 0 том. Мы условились такого рода системы называть неинерциальнь жи, Иногда такие системы отсчета вводятся намеренно для удобе, ства исследования. При переходе от одной инерциальной системы к / с е другой инерциальной системе переменные, характеризующие состояние движения точки -ее коордиРис. 2.з наты и проекции скорости, — преобразуются на основе принципа Галилея. Переходя от инерциальной системы отсчета к системе, движущейся произвольно, мы должны пользоваться общими формулами преобразования коонрдиат.
Здесь имеются в виду декартовы ортогональные координаты, поэтому преобразование координат будет линейным и ортогональным. $7. ИЕИИЕРЦИАЛЬИЫЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА 1О1 На рис. (2.8) изображены две системы отсчета: инерциальная система х„х„хз и подвижная $„5„са. Кроме того, приведем таблицу косинусов углов между направлениями координатных осей: ~1, /=й, з а, =соя(хД;), )', а!Та!а=бта=~ ( 0, ), й. Обозначая, как обычно, ОМ через зс, 00' через )т' и 0'М через 7; запишем М=Л'+г, или з хг=х',+ У', а;Дг.
(2.79) Вдесь х'; и ан — некоторые, чаше всего заданные, функции времени. Если система $ы $7, задвижется относительно системы х„х„х поступательно, а ее начало — точка 0' — прямолинейно и равно. мерно, то единичные векторы т', удобно выбрать параллельными ортам е„тогда а„= а,з = азз = 1, ац = 0 при ! ~ / и, кроме того, х,'=-и,'!+к!(га). На основе (2.79) мй получим формулы преобразования Галилея к,=х7+$. (2.80) Так как в классической механике время не зависит от выбора системы отсчета, то мы должны к (2.80) присоединить равенство Преобразование Галилея не изменяет выражения законов механики — законы механики инвариантны относительно преобразования Галилея.
В этом состоит классический принцип относи. тельности *). а) Мы не затрагнваем здесь вопроса о распространенна фронта светврйй волны, уравнение распространения которой меняет свой внд в резуаьтйтй преобразовання Галнлея. !02 ГЛ. П. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ Перейдем к механике относительного движения материальной точки и выясним, как меняются уравнения движения точки, если определять ее положение координатами $ь связанными с координатами х! формулами (2.79).
С этой целью напомним формулу сложения скоростей (гл. 1, 2 11) «роте + «рнер ~ (2.81) где «тото,~~ ренее ~пер «~ + [В»~ тт 5= 1 и формулу сложения ускорений а=а. +а„,+а„„, в которой з а„н= ~', 1А„атер=а'+~д, г~+!о»7, Гт!от 5 ! (2.82) а„,р 2 [э»е„„). Через е, ьак обычно, обозначена мгновенная угловая скорость вращения системы $„5„$„вектор 1 направлен под прямым углом от точки М к мгновенной оси, проходящей через начало подвижной системы отсчета.
Запишем сначала уравнение движения точки М относительно инерциальной системы отсчета: т — „=Г, т!и или (2.84) т (аотн+апор+апер) =)и+)э. равнение относительного движения получим, перенося тано лра„,р в правую часть: та„н = г" + )« — тап„— тап,р. (2.85) (В правой части уравнения относительного движения (2.85) аряду с активной силой Р' и реакцией связи Я появляются Екторы — та„,р и — тап,р, которые называются силами инерции. «Силами» Они называются по той причине, что наблюдатель, Связанный с неинерциальной системой 5„ $„ '".е, ощущает их как обычные силы; он может измерить величину сил инерции; этн если точка несвободна.
Через )«обозначена реакция связи. Вместо того, чтобы использовать уравнения (2.79) и затем преобразовы- вать уравнение движения точки, мы применим формулу Корно- лиса (2.82). Подставив (2.82) в (2.84), запишем )ОЗ $7. ИеинврциАльные системы отсчвтА силы могут вызвать деформации тел, могут произвести разрушения... Мы не можем лишь указать другое тело (точку), к которому была бы приложена равная и противоположно направленная сила (так сказать, «источник» силы инерции).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
