В.В. Петкевич - Теоретическая механика (1119857), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Суммируя импульсы материальных точек, запишем и Р= ~ тапа а-~ (3.2) Где юч-скорость точки Мя. Мы рассматриваем системы точек с постоянными массами, поэтому, дифференцируя по времени (3.1), получим Х "Ф вес 116 гл. нь систвмы своводных млтн илльных точек или Иве=,~ Яп|.о.. Здесь «»с- скорость пентра масс.
Следовательно, суммарный импульс системы (мы будем называть его просто «импульс системы») может быть представлен в виде Р= в4ос (3.4) Импульс системы материальных точек равен импульсу массы всей системы, сосредопюченной в центре масс. 2. Сумма моментов импульсов, или кинетичес к н й м о м е н т с и с т е м ы. Суммируя геометрически моменты импульсов каждой точки, получим кинетический момент системы в виде О = 'У', '(г т е„].
(3.5) с«=! Вектор О не всегда может быть представлен в виде одночлена подобно вектору Р. Представить вектор О в виде одночлена можно, если скорости всех точек систем одинаковы (см. формулы Кенига в 5 3). Заметим, что перед суммированием нужно совместить начала векторов т о„и (т„т е ]. Вля этого удобно выполнить парал. лельный перенос этих векторов в пентр масс. 3. Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий отдельных точек (3.6) а=! $ 2. Уравнения движения свободных материальных точек.
Интегралы Силы, приложенные к точкам, разделим на внешние и внутренние. Внешние силы действуют со стороны масс, не входящих в систему. Внутренние силы — это силы взаимодействия между точками, образующими систему. Обозначим суммарную внешнюю силу, приложенн1ю «точке Л4«, через г'„", а суммарную силу взаимодействия точки 21, с ос1альными точками системы — через Ри1 Кинетическая энергия также не всегда может быть представлена в одночленной форме. 117 э а. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ. ИНУЕГРАЛЫ Внутренняя сила, приложенная к точке Ма, будет равна г-, е«о = ~Х, у».
Очевидно, что »Фа « ,У, гс'в~ = О, (3.7) а 1 ,У', !Ралсчао) = О. (3.8) а=1 Рве. 3.2 Следовательно, сумма внутренних сил и сумма моментов внутренних сил равна нулю. Заметим, что нулю будет равна. сумма моментов внутренних сил относительно лю б о й точки (и, конечно, любой оси). Обратимся теперь к сумме элементарных работ внутренних сил и покажем, что она обращается в нуль только при некоторых условиях. С этой целью подсчитаем работу на элементарных действительных перемещениях сил взаимодействия двух точек М„ и М», обозначив вектор МаМ» через е„»ра», где ~в„»~=1, а р„» вЂ” расстояние между точками Ма и М».
Получим (,гва» г(Га) + (лв»а Г(Г») = (лв»а г( (Г» Га)) = (Дх с( (Ва»ра»)) = = + )»а «(Ра» = (а» с(ра» Здесь („» есть проекция силы у„» на направление ва». Обозначая сумму элементарных работ внутренних сил через Аьл', найдем')' л Алп =,'5~,'~~ ~1»а ь(Ра» »=!а)й (3.9) ') Символ «Ал» оэиачает, что рассматривается работа каких-либо сил иа элемента р и их перемещениях точек приложения этих сил Элементарная работа выражается линейной дифференциальной формой, но аг всегда есть полный диффгргнциол. Очевидно, что деление всех сил на внешние и внутренние условно и зависит от того, какие точки мы включаем в систему, а какие считаем внешними.
Рассмотрим некоторые свойства совокупности внутренних сил. Пусть точки Ма и М» принадлежат системе свободных материальных точек. Для определенности предположим, что точки взаимно притягиваются. Обозначим силы взаимодействия между этими точками через )е„» и Д»„(рис. 3.2). На основании третьего. закона Ньютона ПВ ГЛ.
и!. СИСТЕМЫ СВОБОДНЫХ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК Из формулы (3.9) следует, что сумма работ сил взаимодействия равна нулю, если система точек неизменяема или движется как абсолютно твердое тело. Это достаточные условия обращения в нуль А~а!!, так как в указанных случаях все йр„а О. Можно, конечно, представить себе и такой случай, когда система состоит, например, нз одного отрицательного и двух положительных зарядов, расположенных в вершинах треугольника. Тогда, в зависимости от того, как меняются взаимные расстояния, суммарная работа сил взаимодействия может обратиться в нуль. Если силы взаимодействия между точками М„и Мв зависят только от р„а — расстояния между этими точками — то существует потенциал внутренних сил (см.
дкнамику точки — центральное силовое поле). В этом случае, если )а, г(ра„), то 1ао (Рво) йрасс йпасс. Следовательно, А!ап= Я Я йпа„=йП<г!, (3.10) а=!а)Р где П<г! — потенциал внутренних сил. Выведем уравнения движения системы свободных материальных точек — дифференциальные уравнения, описывающие изменения со временем основных мер движения. Эти уравнения известны под названием основных (обгцих) теорем динамики систем свободных материальных точек. Запишем уравнение движения точки ̄— относительно инерциальной системы отсчета: (3.11) Перенесем все векторы, не изменяя их направления, в центр масс и сложим геометрически. Тогда ч л 31 ~~! т чг„= ~~1, Рч'!. (3.12) а=! а=! Производная по времени от импульса системы свободных материальных точек равна геометрической сумме внешних сил*).
Так и как )~~ т„ч!„=Мезе, то уравнение (3.12) может быть записано а=! в виде (3.13) а=! ') Здесь мы, как в в динамике точки, полагаем, что силы могут заввсеть от координат точек, первых производных от координат по времени в явно от временв, э е уРАВнения дВижения. интеГРАлы Следовательно, уравнение движения центра масс системы материальных пачек совпадает с уравнением движения материальной точки с массой. равной массе всей сисп!емы, к которой приложена сумма всех внешних сил (главный векгпор внешних сил). Уравнения (3.12) и (3.!3) представляют собой запись теоремы об изменении импульса системы илн теоремы о движении центра масс. По существу, обе записи эквивалентны. Умножим обе части уравнения (3.11) слева векторно на г и геометрически сложим полученные векторы для всея точек, перенося эти векторы в пентр масс.
Получим (3.14) Мы получили запись теоремы об изменении кинетического момента системы: проиэводнол по времени от кинетического момента системы свободных материальных точек равна сумме моментов всех внешних сил (гловному моменту внешних сил). Здесь существенно, что моменты импульсов и моменты сил берутся относительно общего неподвижного начала. Умножая скалярно обе части (3.11) на йг =е„й( и суммируя почленно, получим л л л ~Ха дала) + 1! [~а йл а)» а ! а ! а или л л » л й» э ~ ~ Ма йкс») +» ~ 1а»» !(рла (3 ° 15) а ! ь=!в)а В» Это запись теоремы об изменении кинетической энергии системы: дифференциал кинетической энергии системы свободных материальных лючек равен сумме элементарных работ всех внешних и внутренних сил. Уравнения (3.13) — (3.15) при некоторых условиях допускают интегралы. Если равен нулю главный вектор внешних сил, то из (3.13) следует т!с=сопз1 — пентр масс системы свободных материальных точек движется равномерно и прямолинейно.
Если главный момент внешних сил равен нулю, то сохраняется кинетический момент системы свободных материальных точек: С =,У, [Гатат!а! = сопз[. а ТЮ ГЛ. 1И. СИСТЕМЫ СВОБОДНЫХ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК Наконец, если и внешние, и внутренние силы консервативны, то из уравнения (3.15) найдем интеграл энергии: Х "— "." — ' — "","а = П!л1+ П!!1+Сопз(, а 1 или Х "— "'" "«'а+ У1 !+У!!1 Е,.
2 (3.!6) а 1 Здесь П!'! — потенциал внешнего силового поля, П!'! — потенциал взаимодействия точек, У!'! — П!'! — потенциальная энергия системы точек во внешнем поле, У!!! = — П!!1 — потенциальная энергия взаимодействующих точек. й 3. Системы отсчета с началом в центре масс. Формулы Кенига Поместим в центре масс системы материальных точек начало поступательно движущихся осей координат х', у', г' (рис. 3.3). Обозначим относительный радиус-вектор точки Ма через г", относительную скорость )у через т!а.
Очевидно, что г а — г С+ ! а т!а — т!С+ т!а. (3.17) Так как Х -л а=! гс= =О, то а ,у~ [г«тат!«1 = ~л~ [(г с + га) о!а (т!с + ч!а)) а ! :В силу (3.18) « б =[гсМос)+ ~', [г'т„е„']. (3.19) а ! Кинетический момент системы материальных точен равен сумме л!оменп!о ил!пульса в!ей маны, !.Осредоточенной в центре масс, и минегнического момента оо!но!и!Лельно центра масс. о Р'=,У', т„т1„' = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
