В.В. Петкевич - Теоретическая механика (1119857), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Тогда, если за силовой центр принять точку М„ получим уе, —— — Š—. атме Ьа а~=1. Помещая силовой центр в точке М,, найдем + е —,. тая, Здесь у, и у, — множители, характеризующие силовые поля, создаваемые силовыми центрами М, и М,'). На основании третьего закона Ньютона отсюда у,т, у,т„ или ут дз т, те' Обозначая зти равные отношения через у, получим ° ) Очевидно, что у численно ренияется сиде, действующей на точху единичной массы, помещенную ня расстоянии р 1. 1ЗЗ З Т. ЗАДАЧА КЕПЛЕРА. ИНТЕГРАЛ ЛАПЛАСА Следовательно, выражение силы тяготения примет вид у (3.42) Здесь мы полагаем, что силовым центром является точка М,.
Множитель 1 есть универсальная постоянная в законе тяготения. Размышления над следствиями из законов Кеплера и, в частности, иад характером движения Луны привели Ньютона к открытию закона всемирного тяготения, опубликованного им вместе с основными законами механики в 1687 г. Закон всемирного тяготения гласит, что любыг два вела притягиваюпч друг друга с силами, пропорциональными произведению масс и обратно пропорциональными квадрату расстояния между телами. Приведенная формулировка, хотя в ней и фигурирует слово «тело», применима лишь к точечным моделям реальных тел.
Формула (3.42) выражает силу тяготения, приложенную к точке М,. Масса точки т„которая входит в выражение силы, называется тяготеющей («гравитирующей») массой. Инертная и тяготеющая массы точки равны между собой. Это — одно из фундаментальных положений теории тяготении — с точки зрения теоретической механики есть просто совпадение двух величин. Закон всемирного тяготения Ньютона подвергался многократной косвенной проверке — предсказание поведения естественных небесных тел, проверка на опыте расчетов движения искусственных небесных тел и т. д. Прямая проверка производилась в лаборатории (знаменитые опыты Кавендиша), где измерялась и величина универсальной постоянной тяготения.
В результате все опыты и вся практика показали, что теория Ньютона дает поразительные по точности результаты. Теория Ньютона не смогла объяснить лишь малую долю смещения перигелия планеты Меркурий, которая составляет 42 угловые секунды за сто лет (см. З 1О). $ 7, Пространственная задача Кеплера. Интеграл Лапласа Обратимся к задаче двух тел — двух взаимодействующих материальных точек, полагая, что сила определяется формулой (ЗА2). Для краткости вместо у»» будем писать »Р. Рассмотрим движение точки М, относительно системы з, ть ь, начало которой помещено в точку М, (см. рис.
3.4), и запишем уравнение отно- сительного движения: 1» — „= — е —, Вв )т,т» в~ о» ° (3.43) где )А= т,т» есть приведенная масса, «» — скорость точки М, т,+т» относительно системы $, ть ь, е-единичный вектор радиального направления. 134 ГЛ. 1П. СИСТЕМЫ СВОБОДНЫХ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК Так как сила )с= — е †' * центральная и консервативная, ра то мы получим интегралы момента импульса (рти) тс, или момента скорости [РО] = С (3.44) и энергии 2 (ЗА5) Векторный интеграл (3.44) представим в следующем виде: 11» $ч 1=с, ч где 1', у, Ф-орты, направленные по координатным осям.
Обозна- чая левые части скалярных интегралов через 11, а проекции век- тора с через ст (1=1, 2, 3), запишем три скалярных интеграла: 61=- Ч1 — И-ст, та = ьй — еь с„ Ь=- И вЂ” Чй-е' Напомним, что при постоянном моменте импульса (моменте скорости), траектория материальной точки лежит в плоскости, проходящей через силовой центр и ортогональной к постоянному вектору с (гл. 1, 2 4). Интеграл момента импульса (ЗА4) и интеграл энергии (3.45) существуют при любой зависимости центральной силы от рас- стояния р. Если свободная материальная точка движется в центральном силовом поле с потенциалом вида П =а/р, то уравнения движения допускают еще три скалярных интеграла — интегралы Лапласа. Потенциал П =а(р характеризует либо поле тяготения (а) О), либо кулоновское поле (се)0 — притяжение,а~Π†отталкиван).
Прежде чем переходить к выводу интегралов Лапласа, мы рассмотрим вспомогательную функцию расстояния р, определяемую формулой 2 11 2 1а(1 Р)' (3.46) производные по времени которой, вычисляемые в силу уравнений движения, войдут в интегралы Лапласа *). а) Фувкцнв 1(р) ерехстаеавет собой частный вва функцвв а -ау Х 'м р,р 1 1/>( э 1. ЗАДАЧА КЕПЛЕРА. ИНТЕГРАЛ ЛАПЛАСА 1ЗЗ Покажем, что вторая производная функции 7(р) по времени отличается от кинетической энергии точки Мв на постоянную. С этой целью дифференцируем 7(р) по времени: ~И ~ =ррр=р(рп). (3.47) Таким образом, — „, =2Т+К Последнее уравнение можно записать, принимая во внимание интеграл энергии (3.45), в следующем виде: Лз! — = Т+Еа.
й' (3.48) Введем обозначение ,7 = — „—, = (рта). 1 гУ р бт (3.49) Дифференцируя Х по времени, получим в+~ бо~ Используя затем уравнение движения (3.43), запишем производ- ную от 7 по времени в следующем виде." оа А — =о' —— п р 1 (3.50) где Й=) (птт+гпв). Покажем, что переменная 7 удовлетворяет такому же дифференциальному уравнению, что и координаты точки М,. Для этого исключим из (3.50) о* с помощью интеграла энергии: (3.51) введенно» Якоба для свстемм и матернальнмх точен, првтягнваюпгнхся по закону Ньютона. Здесь ро обозначает расстояние между точками. Функция Ф удовлетворяет уравнению — =2Т+ У, бзф лгя где Т есть квнетнческая энергня свстемм, У-потенцнальнав энергвя (33). Находим теперь вторую производную, используя уравнение движения: бт1 з ! По '1 а Лп,те )о+Р~р1нор б1з = ~ бт~= 186 гл. иь систвмы своводных млтврилльных точек Дифференцируя еще раз по времени, получим л «р «Р рз «г Принимая во внимание, что — = —,г', «р 1 «г р мы придем к искомому уравнению: «зу Е/ «и рз ' (3.52) или Мы видим, что под знаком производной находится интеграл уравнений движения.
Комбинируя затем уравнение (3.52) со вторым и третьим уравнениями движения, мы придем к системе трех интегралов — ингнегралов Лапласа: 14 — = $ l — 4 = сз, 1з = =1г — г Ч = сз, (3.54) 1з= — у — 11=се Отметим, что примененная здесь нумерация интегралов площадей и интегралов Лапласа будет использована в главе Ч, где мы рассмотрим некоторые вопросы общей теории. Обратимся теперь к вектору Лапласа. Умножим каждый из интегралов (3.54) на соответствующий орт, сложим геометрнче- «) В первом томе своего грандиозного труда «Трактат о небесной механнкез, пять томов которого были опубликованы в 1798 — 1826 гг., Лаплас, рассматривая задачу Кеплера, вывел трн интеграла, справедливые для поля тяготення. Лаплас впервые определил содержание науки о движениях небесных тел †тверд, жидких нлн газообразных находяшнхся под действием разлнчных снл прнроды н дал ей нмя-зНебеснея механнказ (см, (11)).
Переходим к выводу интегралов Лапласа *). Лля этого запишем проекции уравнения движения точки Мз (уравнения (3.43)) на оси й,т),ь: «з$ Ай «зп АЧ «з~ й~ (3.53) «Гз рз ° «Гз рз ' щз рз ' Нетрудно проверить, что, комбинируя уравнение (3.52) н первое из уравнений (3.53), мы получим 9 — —,г' — = 0 гр««.г, «гз «и з т. зздзчл киплвгм интвггхл лапласа 137 ски полученные векторы и, обозначив сумму через Л, запишем Л ~7~а+Лв+й7в ~ Р Хе=сонат (3.55) Вектор Л носит название векшоро Лапласа. Вектор Лапласа можно представить в ином виде, если воспользоваться формулами (3.49) и (3.50): Л=[ — — ~р — (ре) е=[е[ре]] — —. /в А1 ьр Р' (3.56) Из формулы (3.55) следует, что вектор Л лежит в плоскости движения точки М, (в плоскости Лапласа) и, следовательно, ортогонален к моменту скорости, определяемому формулой (3.44).
Ортогональность этих векторов можно обнаружить, вычисляя скалярное произведение (Л [ре]) =(ов — †)(р[ре]) — (ре)(е[ре]) О, или са1а+ свив+ свив = О. (3.57) Отсюда заключаем, что между шестью интегралами есть зависимость (3.57). Можно указать еще одну зависимость между интегралами Лапласа, момента импульса и энергии. Возводя Л в квадрат, привлекая затем (3.51) и (3.44), найдем Лв=йв+йов. (3.58) Таким образом, семь интегралов — три интеграла Лапласа, три интеграла момента импульса и интеграл энергии-связаны двумя соотношениями, (3.57) и (3.58). Следовательно, независимых интегралов не больше пяти. Что независимых интегралов ровно пять, мы покажем в главе Ч, где рассмотрим аналитическое решение пространственной задачи Кеплера.
Для качественного исследования вида траекторий в пространственной задаче Кеплера мы с помощью интеграла Лапласа выве. дем уравнение семейства поверхностей, на которых располагаются искомые траектории. Поставленную задачу можно решить, если мы найдем зависимость расстояния р между материальными точками М, и М, от координат точки М,. С втой целью вычислим скалярное произведение векторов р и Л: (рЛ) =р — — 7*. И Ф (3.59) Н Зависимость производной -3)- от р дана полученной ранее формулой (3.51) 1ЗЗ гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
