В.В. Петкевич - Теоретическая механика (1119857), страница 25
Текст из файла (страница 25)
(3.78) Полярный угол <р отсчитывается от направления, отвечающего перицентру (перигелию, если силовым центром является Солнце) *). Вид траектории определяется знаком постоянной И (или Е,): !) если И(0, то эксцентриситет е( ! и траектория представляет собой эллипс (при в=Π— окружность); 2) если И=О, то а=1 — траектория есть парабола; 3) если, наконец, И)0, то е)1, и траекторией будет гипербола. Силовой центр во всех случаях находится в фокусе конического сечения (рис.
3.8). Пренебрежение подвижностью силового центра может привести к качественному изменению вида траектории. Допустим, что, решая задачу о движении и материальной точки в поле неподвижного силового центра при р = е„мы нашли траекторию в виде параболы (И=О). Если, при тех же начальных значениях р, и ем мы будем решать задачу двух тел, то, так как р( т„ а следовательно, И ( О, траектория окажется эллипсом. Решим задачу о приближенном вычислении первой и второй космических скоростей спутника Земли. За неподвижный силовой центр примем центр Земли. Пусть начальная скорость спутника оа перпендикулярна к радиусу Земли.
Воспользуемся формулой (3.78), в которой положим с оа)с, И =у, И = о« вЂ вЂ (начальное расстояние спутника от центра Земли при- 2т близительно равно радиусу Земли )с). Множитель у найдем из условия — «=глад,где д — величина ускорения, вызываемого си- яа лой тяжести. Таким образом, о« а' = 1+ — ', (ое — 2а)с). Первую космическую скорость найдем из условия к=Π— (траектория спутника окружность): (на)а= рай=7,8 10а м!с. «) Перицеитр — ближайшая к силовому центру точка орбиты. Алочлишр— наяболее удаленная точка.
е а. задача кеплвэа, плоское движении Вторую космическую скорость найдем, потребовав, чтобы траекторией была парабола, т. е. е=1: (пе)«=Р 2~Ю «11 1О' м/с. Рассмотрим вывод уравнения, с помощью которого определяется положение планеты иа ее эллиптической орбите в зависимости от времени. Впервые это уравнение было получено Кеплером в 1606 г. Мы знаем зависимость полярного радиуса р от полярного угла ~Р. Поэтому можно было бы, используя прямо ннтеграл плошадей (3.69), разделить переменные и искать зависимость полярного угла у от времени. Однако удобнее другой способ: а качестве искомой функции взять эксцентрическую анолилию 9, сделав в интеграле у 7 площадей замену переменных (рис.
3.9). Как известно, уравнение эллипса можно записать либо в каноническом виде ( Ц Ьа либо, вводя параметр 0, в . параметрической форме: й,-асоз0, гн = Ь81п 9, где а — большая полуось эллипса, Рис. З.э. Ь вЂ” малая полуось. Расстояние О,М, равно еа. Записав интеграл площадей в виде $, т( =с дч ос ' й Ж перейдем к координатам йы П,. Очевидно, $ = $, — ва, з) = т)ы $= $ы т(=Ч,. Интеграл плошадей примет вид бе Ы8 с — — «совам — = —. й й аЬ' Интегрируя по времени, найдем 8-8 з(п 9 = — (+с .
аЬ Если положить, что 0«=0 при (а=О, то с,=О. Удвоенная секторная скорость с равна 2паЫт, где т — период обращения планеты. Обозначим 2п!т через и — это средняя угловая скорость вращения радиуса-вектора планеты*). «) В небесной механике величина а называется «средины движеиием«. 140 ГЛ, П!. СИСТЕМЫ СВОБОДНЫХ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК Окончательно уравнение Кеплера можно записать в виде 0 — В в)п 0 = п1. (3.79) Мы нашли время в виде простой функции угла 0. По отношению к 0 уравнение Кеплера есть трансцендентное уравнение, поэтому аналитическое решение этого уравнения либо вычисление 0 при заданных численных значениях е и л требуют применения специальных приемов, выходящих за рамки нашего курса *).
В главе 11, в связи с изложением теории относительного движения материальной точки (~ 8), было упомянуто о состоянии невесомости и было указано, что для материальной точки это состояние наступает в том случае, когда переносное ускорел' ние равно активной силе, умУУа ноженной на массу (2.94). Рас- смотрим теперь состояние не- 0 весомости материальной точки, е, полагая, что поле внешних сил в„ неоднородно. х Пусть в поле тяготения Зем- ли движется кабина, внутри Рнс. 3.10.
которой помещен предмет (ма- териальная точка зв). Рассмотрим движение точки .в относительно кабины. Упрощая задачу, будем полагать, что центр Земли неподвижен и что центр масс кабины движется по круговой орбите, а сама кабина движется поступательно относительно неподвижной системы отсчета хОу, связанной с центром Земли. С кабиной свяжем поступательно движущуюся систему отсчета $0'з) (рис. 3.10) и запишем уравнение относительного движения точки за: овотв )Мт ~Мж гл — "" = — — е + — е + ге — г а р где М есть масса Земли, т — масса рассматриваемой точки, 7"— постоянная тяготения, рер — — 00' — радиус-вектор центра масс кабины (~ ер ~ = 1, р = сопв1), гв, = ОМ вЂ” радиус-вектор точки зв () е,)= 1), гт — реакция связи (если точка ых сплавает» в кабине, не касаясь стенок и других предметов, то )Х=О). Заметим, что силы взаимного притяжения точки зв, кабины и других предметов, находящихся в кабине, мы ие принимаем во внимание.
Вще следует обратить внимание на то, что сила инерции переносного 1Д4т движения, равная —, ер, одинакова для всех точек системы ') Детальное изложение невознуогенного кеялеровского движения сн, 1111, % 9. ЗАДАЧА КЕПЛЕРА. ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ 147 30'7), так как эта система движется поступательно.
По этой же причине относительное ускорение записано в виде О™, а не — "" (см. гл. 1, э 1!). Пусть Я=Π— материальная точка не связана с кабиной. Предположим, что точка М находится на прямой 00' (е,= ер). Сокращая на общий множитель и, запишем уравнение относительного движения в виде Положим г=р+Ьг=р(1+Л), где Л=Лг!р. Тогда Если (Л! 4',1, то приближенно получим 1 — — ж 2Л. 1 (1+ А)н Отсюда а = — ж2 — Ле.
Е'ооон 1М онн Рн Р Если точка Ре находится между Землей и точкой 0' (положение оЕ, на рис. 3.10), то г~р и Л<0. Следовательно, относительное ускорение направлено к центру Земли. Если же г ~р, Л)0 (положение Фн), то относительное ускорение будет направлено от центра Земли. При совпадении точек ок и 0', т.
е. при Л О, относительное ускорение точки Ф будет равно нулю— налицо точное выполнение условия невесомости. Рассматривая движение точки М (свободной точки) относительно системы хОу, имеющей начало в центре Земли, т. е. решая задачу Кеплера, мы обнаружим, что при ЛФ 0 траектория точки будет эллин тической, несколько отличающейся от круговой траектории точки 0'. Предположим, что материальная точка РР покоится относительно кабины, т. е.
что 77„„= О. В этом случае может быть, что реакция связи !4 отлична от нуля. Мы можем найти величину реакции связи в зависимости от Л, подобно тому как мы нашли относительное ускорение свободной точки. Нетрудно показать, что если точка е покоится относительно кабины, находясь в точке 0'(г =р), то реакция связи будет равна нулю — точка .6 будет в состоянии невесомости. 148 ГЛ. П1. СИСТЕМЫ СВОБОДНЫХ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК й 10. Смещение перигелия планеты (качественное исследование) В 3 6 было упомянуто о том, что в рамках теории Ньютона мы не можем объяснить малую долю смещения перигелия Меркурия, равную приблизительно 42 угловым секундам за 100 лет. Хорошее совпадение с данными наблюдений дает применение теории тяготения (общей теории относительности).
Решение задачи о движении точечной массы найдено Шварцшнльдом. Перевод решения Шварцшильда на язык механики Ньютона будет означать, что, кроме силы тяготения, обратнопропорциональной квадрату расстояния, действует еще притягивающая сила, обратно пропорциональная четвертой степени расстояния от планеты до силового центра. В выражение этой дополнительной силы введем малый множитель 6 (см. 1341, 1221). Допустим, что масса силового центра много больше массы материальной точки М„т.
е. что силовой центр можно считать неподвижным. Приведенную массу, определяемую формулой р= заменим истинной массой точки, равной т„обозначив ее через гл. Силу тяготения запишем, пользуясь формулой гт= — е— тт г э ю г (3.41) где е,— единичный вектор радиального направления. Добавочную малую силу представим в виде Зат — е— гя~ ° где 6 есть упомянутый выше малый множитель, а множитель 3(2 введен для удобства.
Запишем дифференциальное уравнение движения материальной точки: чв /Тт Ззт1 (3.80) à — г е АФ Л1 ! где г — расстояние материальной точки (планеты) до неподвижного силового центра. Уравнение движения допускает следующие интегралы: интеграл площадей $10. смешение пегигелия плхнеты 149' где с в удвоенная секторная скорость; интеграл энергии ив~ тт тб — = — + — + Ео ° 2 г 2г' Положим 1/г = и н воспользуемся первой формулой Бине (1.17). Тогда, исходя из интегралов уравнения движения, мы обычным способом получим дифференциальное уравнение траекторий в полярных координатах: („"-,)' = Ч (.). (3.81).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
