В.В. Петкевич - Теоретическая механика (1119857), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Следовательно, и, (3.86) 2 2 + )/ ф (и) ии В ряде случаев интеграл 1 может быть вычислен н мы 1 Р т'(и) 1 можем получить конечную формулу, связывающую и= — и угол Р ф — уравнение траектории точки. Полагая, что р- ОО, находим «Р и угол 6. Отметим, что нз ИНтЕГРаЛа ЭНЕРГИИ СЛЕДУЕТ РазспетВО ~ьва~ = )О„~ В СИЛУ ТОГО, ЧтО ()(р) О прн р со.
Угол рассеяния находится из решения задачи об относнтельном движении точки М„а измерения производятся в лаборатория — относительно «лабораторной» системы отсчета. Поэтому нам нужно найти связь между углами рассеяния в разных системах отсчета. Воспользуемся еще раз рис. 3.4, на котором изображены трн системы: неподвижная х, у, г (здесь мы будем ее считать лабораторной), система, связанная с центром масс (снстема ') См., например, 151, 156 ГЛ. НЬ СИСТЕМЫ СВОБОДНЫХ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК Кенига) х', у', г', и система $, ть ь, связанная с точкой М,. Оси всех систем параллельны между собой.
Первые две системы отсчета ииерциальные, система $, т), ь — неинерциальная. Допустим, что мы внаем угол рассеяния в системе $, ть ь. Сохраняя все обозначения, примененные в задаче двух тел, запишем: Фреев ВМ 1Р ТЕЕ еер = ТЕЕ тер = Орете+ сер пере НО Следовательно (3.87) Запишем импульс системы двух точек: т,п, '+ тепе' = О.
(3.88] Умножая обе части (3.87) на тн исключим о,': (т,+те)п;=т,е или Здесь ен пе и ос в скорости точек М„ М, и центра масс относительно системы х, у, г. Из (3.89) и (3.90) исключаем и,: (т, + т,) ее = (т, + т,) ос+ теп, тетее - теис+ РО. или (3.91) Из (3.91) видно, что углы рассеяния будут различными, если тесчьО.
Прелположим, что в начальный момент времени пее О, тогда нее —— ое. Скорость центра масс будет равна ос= «Ее тее. =/и,+м, (3.92) Начальные импульсы точки М, в лабораторной системе и в системе $, тн Ь будут связаны соотношением вида «31 тепм = + юр+ ртее.
«ее+ ие Из полученного равенства следует, что углы рассеяния в системах $, ть ь и х', у', г' совпадают. Обратимся к вычислению угла рассеяния в лабораторной системе. Запишем соотношение между скоростями и закон сохранения импульса: (3.89) (3.90) 107 е и. основы тао«ин Рлссаяння члстнц Для конечных импульсов будем нмеггп мв гпс~~йс ~0+ рви' «ч+ «ч (3.94) Угол рассеяния в лабораторной системе обозначим через 8, н построим углы 8 н з„графнческн (рнс. 3.14).
Из треуголь- ника АВС находим: С ,о„з(пз,=р .31пз, т1 «1,п,„соз 0„= + п~+ ро, соз 8. «3,+И, Разделив почленно, получим А «1п «" гси, Рис. 3.14. 1 8 Рси«1па Я ю* «с+ Рси сои Е т,+«ч Окончательно, используя равенство ~ пе ~ = ) о„(, запншем формулу, связывающую угол рассеяния 8, в лабораторной системе а углом рассеяния 0 в следующем виде: мп е (3.95) — ~+сова И1 Заметим, что прн тмт, ~1 е„ж 8. Рассмотрим рассеяние однородного потока частиц на неподвижном силовом центре (масса силового центра велика по сравнению с массой частнцы). Лопустнм, что силовой центр, помещенный в точке О, аействует сотгалкнвающей силой, исчезающей Рис.
3.15, на бесконечностн (дальнодействне) (рнс. 3.15), массы частиц одннаковы, начальные скорости равны по велнчнне н параллельны. Различны лишь прицельные расстояния 1. Обозначнм через а 150 гл. нь системы своводных мятегияльных точек число частиц, пролетающих в единицу времени через единицу площади контрольной плоскости, перпендикулярной к прямой Ох — оси пучка траекторий — и расположенной иа большом расстоянии от силового центра. Предположим, что п постоянно.
В контрольной плоскости построим элементарное кольцо, образованное двумя концентрическими окружностями радиусов 1 и 1+И. Плошадь кольца будет равна до= 2п1Ж. Назовем Ип дифференциальным поперечным сечепиели Обозначим через с(й1 число частиц, пролетающих через площадь с(о в единицу времени. Очевидно, что иУ=пдо. Отсюда (3. 96'1 Формула (3.96) позволяет истолковать до как число частиц, пролетающих через элементарное кольцо в единицу времени при и=1. Траектории частиц, имеющих различные прицельные расстояния, отклоняются на различные углы. Если угол отклонения 8 рассматривать как функцию прицельного расстояния 1, то в случае дальнодействия — <О, 8- О при 40 Кроме того, если 1=0, то 0 =и (прямое соударение).
Предположим, что распределение траекторий симметрично относительно оси пучка траекторий. Чтобы представить распределение отклоненных траекторий в зависимости от угла 8, удобно совместить геометрические центры траекторий (точки 0„0„...) с центром сферы единичного радиуса — точкой А (см. рис. 3.!6) [271. Тогда множество направлений конечных скоростей, соответствующих прицельному расстоянию 1, образует конус с углом 20 при вершине. Направления, соответствующие 1+ й, расположатся на конусе с углом 2(8+38) при вершине.
Очевидно, что направления конечных скоростей частиц, прошедших через площадь йт, пройдут через шаровой пояс, площадь которого равна и(1 2п з1п 0 30. Таким образом, мы получаем отображение элементарного кольца на шаровой пояс.
Если неотклоненный поток был однородным, то распределение конечных скоростей на сфере не будет однородным. Зависимость плотности пучка траекторий от угла отклонения мы можем установить, приравнивая число частиц, пролетевших через до и через шаровой пояс: п2п1 й = — пр (8) 2п з1п 0 д0, 8 н. ОснОВы теОРии РАссеяния чАстиц где пр (8) есть плотность пучка отклоненных траекторий. Для функции распределения получим формулу с(! р(8) = — —. ми 8 ае' (3.97) (3.98) и йи ч! ч!ив У (и, — и) (и — ис) где !с! с= — — — ' ~! +— Положим ср,=-О; тогда Р— 1+и сов 1р ' где р= — ', е=~~ 1+ — Ь.
Если О~О, то при любых начальных условиях е) 1. Траектории — гиперболы, обращенные выпуклостью к силовому центру (см. рис. 3.13, схема (1)). Применяя формулу (3.86), получим Е и ке! 8-= в- — ср„, С1д( — 1=(яср = Р'з' — 1. Здесь прицельное расстояние есть функция угла рассеяния. Если выразить ЙО через угол рассеяния с помощью формулы с(О= — р(8) с((), то с(о можно истолковать как число частиц (при п=1), траектории которых отклонены на углы от 8 до 8+с(8.
В этом случае говорят об «эффективном» дифференциальном сечении. Нетрудно проверить, что полное поперечное сечение — число всех частиц, траектории которых отклонены на угол от и до О,— равно бесконечности (при дальнодействии и неограниченном потоке). В заключение рассмотрим рассеяние частиц неподвижным силовым центром, действующим с отталкивающей силой, определяемой формулой Р'= е,усп/г' (взаимодействие по закону Кулона). Сохраним обозначения, примененные в задаче Кеплера (1 9).
В уравнении (3.70) изменим лишь коэффициент при и: вместо + 2й/с' напишем ( — 2у/с'). Дифференциальное уравнение траектории будет иметь вид ()- Ни 1! с 2т И ! — ! = — и' — — и+ —, и= — ° йр/ с! сс ' с Здесь Ь) О при любых начальных условиях.
Разделяя переменные и интегрируя, найдем 160 ГЛ. Н!. СИСТЕМЫ СВОБОДНЫХ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК Постоянные с и Ь найдем из условий на бесконечности: с=(нв, й=па. Используя выражение для е, найдем зависимость прицельного расстояния от угла рассеяния: 18Т б! (= — с(ИЯ, и! 1 2 ) ' г(8 хгго з!пг (И) Подставляя найденные выражения в формулу (3.97), получим тг 4ог з1пг (8/2) (9) = (3.99) 5 !2. 0 задаче трех тел Одна из основных задач небесной механики, в которой рассматриваются три свободные материальные точки, взаимодействующие по закону тяготения Ньютона, носит название «задача трех тел» *).
Система, состоящая из трех свободных материальных точек, представляет собой замкнутую (изолированную) систему, поскольку внешние силы не принимаются во внимание. Аналитическое исследование движения каждой точки в задаче трех тел, несмотря иа очень простую структуру самой системы, связано с огромными математическими трудностями и общее решение в приемлемом виде еще не найдено*в). Со времен Эйлера, Лагранжа, Лапласа и до наших дней задача трех тел привлекает внимание многих исследователей, среди которых немало крупнейших математиков и механиков.
Задаче трех тел посвящено много сотен работ и монографий. *1 Слово «тело» применяется алесь не только потому, что материальная точка есть модель реального тела, но и по той причине, что шарообразные гела со сферически-симметричным распределением масс притягивают друг друга как материальные точки. г*) В 1912 г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
