В.В. Петкевич - Теоретическая механика (1119857), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Если связи односторонние, то вместо (4.!) и (4.2) часто пишут неравенства, указывающие направление возможного схода материальных точек. Мы будем пользоваться только уравнениями вида (4.1) или (4.2), а возможность схода материальных точек с односторонней связи выяснять по смыслу задачи. Заметим, что в уравнения связей пе обязательно входят все координаты точек системы, 173 $!. Виды связан х, з!и [а (!)1 — у, соз [а (!)] = О, (х, — х,)'+(у, — у!)'- !« = О. И х ( „у,) Мы видим, что коэффициенты первого уравнения зависят от времени, т.
е., что эта связь нестационарная. Существует класс связей, непосредственно влияющих на распределение скоростей точек; уравнения таких связей представляют собой систему дифференциальных уравнений вида ~ (А»„— +В»„— ""+С!« — ~)+О!=О, (4.3) а ! или (А!а йх«+ В!а йуа + С!а й2 а) + ! !! й! = О, и=! где А;„, В;, С;„, О! зависят от координат и времени. Такие связи носят название линейных неголономных. Термины «голономиые» и «неголономныез были введены в механику Герцем.
Ясно, что голономные связи так же накладывают ограничения на скорости точек: дифференцируя (4.2) по времени, получим дх«+ йуа+ йх«) + й! О (4 4) Х~." ...«) / д)! д)! д)! ~ д!! ~дха дуа д«а а ! Существенное отличие (4.4) от (4.3) заключается в том, что систему (4.3) нельзя свести к системе конечных уравнений вида (4.2), иначе говоря, система (4.3) не может быть получена дифференцированием конечных соотношений между координатами. Уравнения связей записаны в декартовых координатах, однако в дальнейшем мы будем пользоваться не только декартовыми, но и другими, — обобщенными координатами.
Приведем простой пример голономных связей (рис. 4А). Система состоит из двух точек, М, и М,. Точка М, может скользить по стержню, который вращается с заданной угловой ско- ка ростью — Точка М, соединяется с,точкой М, нерастяжимой нитью длины й Рассматриваемая система движется в плоскости, следовательно, положение каждой точки определяется двумя координатами. Обозначим координаты точки М, через х„у„а точки М,— через х„у,. Уравнения связей запишем, исходя из условий, в следующем виде: 174 Гл. и.
мехАникА лАГРАнжА, ВАРиАционные пРинпипы В нашем курсе мы будем рассматривать, главным образом, системы с голономными связями — голономные системы, но для того чтобы почувствовать различие в характере голономных и неголономных связей, приведем простой пример (рис.
4.2). По плоскости (Х, У) движется без скольжения плоский диск 6 аднуса г (диск катится и вертится вокруг вертикальной оси). лоскость диска всегда перпендикулярна к плоскости (Х, )') (вообразим, что диск поддерживается двумя маленькими колесиками как в детском велосипеде). Положение диска определяется Рис, 4АК координатами точки О', Х', У', и углами ~р и Ч'. Оси 5, ~ расположены в плоскости диска, причем ось О'ь параллельна ОУ. Ось О'Х~~ параллельна оси ОХ. Скорость любой точки обода диска определяется формулой Эйлера: Ф=ео +[соО'М1, где си — мгновенная угловая скорость диска, которая может быть представлена в виде суммы со,+са,.
Если диск катится и вертится без скольжения, то скорость точки О* (точки диска, совпадающей с точкой касания) равна нулю — здесь проходит ось мгновенного вращения. Применяя формулу Эйлера, получим юо + [со О ОР ) = О. Выразим все векторы через их проекции- на оси Х, г', Ъ .ах л" Фо à — +/— й аГ' со=У [+ з(пЧ' — )+1~ — соз Ч' — )+й— аг 1 АР 1 ач' аг) ат) аг ' О'О' = — йг. 175 $ Е ВИРТУАЛЬНЫЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ Подставим в формулу Эйлера: 22П У— кр й о / л ~р — СО2 Ч'— Й хр о — г Проектируя полученное векторное уравнение на декартовы оси, запишем уравнения неголономной связи в следующем виде: —,+г соз Ч' — = О, и йр — +г з!пЧ" — О.
кр" . Ер Ф щ Угол Ч' есть неизвестная заранее (до решения динамической задачи) функция времени, поэтому система (4.5) не может быть проинтегрирована. Если диск катится в плоскости Ч'=сонэ(=Ч'„ то из (4.5) найдем Х'+<рг соз Ч 2 = с„'г" +~рг з!и Ч', = с,. В этом случае, определив постоянные с, и с„мы увидим, что положение диска может быть определено одним параметром, например, углом у.
Связи, дифференциальные уравнения которых могут быть проинтегрированы, часто называют полуголономными. Движение точек и тел, образующих материальную систему, могут стеснять также и внутренние связи. Части системы могут быть связаны шарнирами, «невесомыми» стержнями и нитями, и т. д. Иногда внутренняя связь может выражаться в том, что будут равны скорости точек соприкосновения частей системы (например, качение без скольжения шестерен так называемого планетарного механизма).
Внутренняя связь может быть нестационарной, если задано движение одной части системы относительно другой, т. е. относительные координаты заданы в виде функций времени. й 2. Виртуальные (возможные) перемещения. Число степеней свободы системы Основная, — ведущая, — идея той части теоретической меха ники, которую принято называть аналитической, состоит в том что действительное состояние движения системы сравниваетсг с близкими ему состояниями, называемыми по терминологии Гаусса мыслимыми. Непрерывные последовательности мыслимых положений точек системы образуют так называемые окольные пути.
Отбор истинного состояния из всех мыслимых совершается при помощи принципов механики; некоторые из них мы рассмотрим в 1Н и Н главах. 176 гл. тч, мвхлвикл ллгнлижл. влнилциоиныа принцип»я Разности координат — декартовых, полярных и так называемых обобщенных, разности радиусов-векторов в смежных, близких" ) конфигурациях в один и тот же момент времени будем называть виртуальными, или возможными перемещениями. Важно еше раз подчеркнуть требование того, чтобы смежная, близкая конфигурация системы допускалась связями в рассматриваемый момент времени. В нашем курсе термины «возможные» и «виртуальные» перемещения означают одно и то же "*).
С точки зрения математики виртуальные перемещения — это изохронные вариации координат точек, подчиненных уравнениям связей. Условимся вместо того, чтобы говорить «рассматриваем смежные, бесконечно близкие конфигурации системы, допускаемые связями, и вычисляем раз. ости координат точек при фиксированном времени», применять «раткое выражение: «даем системе виртуальное перемещение»вЂ” это будет наше рабочее выражение. Так как слово «перемещение» ассоциируется с «передвижением», то, может быть, для понимания существа метода было бы лучше термин «виртуальные перемещения»' заменить всюду термином «изохрониые вариации» вЂ” ведь когда мы даем виртуальное перемещение, никакого передвижения не происходит.
Но термин «виртуальные перемещения» принят во всей литературе, поэтому и мы будем применять главным образом этот термин, понимая его в указанном смысле. Если материальной системе дано виртуальное перемещение, то, сравнивая скорости некоторой точки в один и тот же момент времени, мы назовем разность скоростей «пзохронной вариацией скорости». Кроме того, дальше термин «изохронная вариация» мы будем применять, вычисляя главную линейную часть приращения кзкой-либо функции координат и скоростей точек при виртуальном перемещении системы. Состояние движения материальной системы определяется в каждый момент времени координатами материальных точек, либо точек, определяющих положение тел и их производными по времени.
Сравнивать истинное состояние со всевозможными мыслимыми состояниями можно различными способами — в литературе известно много приемов варьирования. Кроме изохроиного варьирования, т. е. сравнения состояний движения в один и тот же момент времени, применяется, например, изознергетичегкое варьи)>ование — сравнение состояний движения с одинаковой энергией, применяется также полное еарьирование, включающее варьирование времени (неизохронное варьироаание) и т. д. Совокупность всех способов варьирования можно рассматривать как совокуп- ") «бесконечно» близких, а лучше сказать скн)ь)еренцнально» близких. ««) ч!«1не! — потенциальный, возможный.
5 Е ВИРТУАЛЬНЫЕ ПЕРЕМЕП!ГНИЯ ность (анабор») инструментов, предназначенных для исследования движения механических (и не только механических) систем. Ясно, что набор этих инструментов должен быть минимальным — в набор нужно включить только те инструменты, которые необходимы для построения курса. Потребности нашего курса в основном покрываются применением способа изохронного варьирования, и лишь в отдельных местах мы, в виде исключения, будем варьировать и время, т. е. применим способ полного варьирования.
Виртуальные перемещения будем обозначать символом 6: бхь бг, 6!р, ... бг! = Рбх!+лбу!+ !гбг!. Сравнивая скорости точки в близких, допускаемых связями, состояниях в один и тот же момент времени, запишем: бп! = гбх!+,убу!+ йбг!. Пусть имеется некоторая функция переменных, определяющих состояние движения системы и точек Р(х„у„г,„..., к„, у„, г„; х„у„г„... х„, у„, г„; 1), которую условимся для краткости записывать так: Р (ха~ Уа~ га ха1 Уа1 га () Обозначив значение функции Р в некотором мыслимом состоянии через Р, представим его в следующем виде: Р— = Р(ха+бха1 Уа+буа~ га+бга~ Ха+бхай Уа+буа1 га+бга ~) (6! = О).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
