В.В. Петкевич - Теоретическая механика (1119857), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Определение, основанное на равенстве (4.22), позволяет включить в класс идеальных и связи, зависящие от времени, например, меняющие свою форму абсолютно гладкие кривые, движущиеся абсолютно гладкие, или абсолютно шероховатые поверхности 4! т. д. Статический принцип виртуальных перемещен и й «). Общий принцип аналитической статики — принцип виртуальных перемещений — заключается в том, что необходимым и достиг!!очным условием равновесия системы материальных точек и ~пел с идеальными и стационарными связями "") является равенство нулю виртуальной работы всех активных сил: а ~~ (его 6»о) =О. (4.23) а=! *) Рппс!р!нгп — основа, первоначало (лат.).
'«) Среди связей ыогут быть я односторонние (см. 4 !), з е стхтичвскип пэинцип виеткхльных пвявмвщании !8г Необходимость немедленно следует из равенства нулю ускорений точек, находящихся в покое относительно инерциальной системы отсчета. В самом деле: сумма сил, приложенных к каждой точке, равна нулю: г +Я,=О.
(4.24г Дадим системе виртуальное перемещение. Виртуальная работа всех сил будет равна нулю: л и (Е„бг„)+ ~', (Ю бг ) =О. а 1 Если связи идеальные, то в силу (4.22) мы получим выражение статического принципа виртуальных перемещений: л ~ ', (Р„бг,„) =О. Достаточность докажем в 8 6. Статический принцип виртуальных перемещений мы сформулировали как теорему потому, что строим механику на основе законов Ньютона.
Возможно, однако, н другое построение, когда в основу кладется тот или иной принцип аналитической механики. Две простые операции — скалярное умножение на бг и суммирование в привели нас от (4.24) к записи общего уравнения статики. Но выполняя эти операции, мы совершили качественный скачок, ибо в общем уравнении статики содержится вся статика систем с идеальными связями: из (4.23) мы можем вывести уравнения равновесия любых систем, в том числе и систем деформируемых. Существенная особенность метода виртуальных перемещений состоит в том, что из общего уравнения статики исключаются все неработающие силы.
Если среди связей встретятся неидеальные (например, связи с трением скольжения), то, привлекая закон трения, касательную составляющую реакции такой связи мы включим в число активных сил. При этом, чтобы вычислить нормальную составляющую, мы должны будем искусственно увеличить число степеней свободы, допуская виртуальное перемещение, запрещенное связью. Виртуальная работа нормальной составляющей реакции связи на таком перемещении будет отлична от нуля.
Мы как бы освобождаемся от связи, вводя силу — реакцию связи, т. е. применяя так называемый принцип освобождения от связи. Рассмотрим пример (рис. 4.5). Однородный стержень длины 21 и массы М может двигаться в вертикальной плоскости, скользя концами А и В по вертикальной абсолютно гладкой стене и по горизонтальному шерохо- !88 гл. пл механика лхгвхнжл, вагихционныв пгинципы бух =був бус(0, ба=0. — Му Ьус+ й ° Ьув = 0. Йвл = Му.
Тогда Отсюда Подставив найденные значения в (4.25), получим !Му( з!паба! (! 2вМд1 сов а ба !. Вариация угла а может быть выбрана не равной нулю, следовательно, (яа -= 2в. Простота приведенного примера позволяет проверить решение другими, более привычными способами. Рассмотрим применение в аналитической статике обобщенных независимых координат. Предположим, что связи, наложенные на систему, голономные, идеальные и стационарные. Пусть число степеней свободы равно 1. Вводим обобщенные координаты д, таким способом, чтобы формулы преобразования не содержали время (выше отмечалось, что если связи стационарные, то такая замена переменных всегда возможна). Вариация радиуса-вектора точки М, будет равна %1 дга Ьг.= ~,— бу,. ,ьв дд в 1 ватому полу.
Коэффициент трения равен й. Найдем угол а в положении равновесия, применяя статический принцип виртуальных перемещений. Если точки А и В не отрываются от связей, то у стержня будет одна степень свободы. Положение его можно определить углом а. Выразим координаты точек у д приложения сил через угол а: а л У ус =1соз а, ха= 21 81п а. С Дадим виртуальное перемещение, со- вместимое со связями, и запишем )49 — яви равенство нулю суммы виртуальных ! работ: б х — Мубус — йв~ бхв = О> (4 25) где Ьус= — 181паба, бхв=21созаба.
На основании закона трения йв,~Мв„. Лля того чтобы вычислить )тв„, введем дополнительную степень свободы, разрешив ,поступательное виртуальное перемещение вдоль оси у: Ф с стхтичвскин пеинцип виэткхльных пвезмвшянин !89 Подставив (4.2б) в обшее уравнение статики н меняя порядок суммирования, получим ! Л 64!л,~' (Ра а )=О. а (4.27) Введем обозначение Л '$~$ (Р дги) ю ! (4. 28) Величины 9, входят в (4.27) так же, как проекции сил в выра- жение виртуальной работы: о ~, '(Р бх„+г' „бу„+Р бг ), Вариации б!), независимы — они не подчиняются уравнениям связей, поэтому из (4.29) следует ()! О.
а О, ..., д! = О. (4.30) Следовательно, необходимое и достаточное условие равновесия голономной системы с идеальными и стационарными связями может быть представлено в виде равенства нулю всех обобщенных сил, и мы приходим к системе уравнений равновесия, число которых равно числу степеней свободы системы.
Укажем на простой способ вычисления обобщенной силы, полезный при решении задач. Обратимся к выражению виртуальной работы активных сил Ад= 'Я (Р„бг„), в котором заменим бг' через г — бд,, Выражение виртуальной С~ дг„ л,л дд с ! работы примет вид ! Аз = ~ Я,б!7. ! ! (4.31) поэтому (7, называют обобщенными силами.
Итак, статический принцип виртуальных перемешений может быть записан в виде равенства нулю суммы произведений обобщенных сил на вариации обобшенных координат ! ~, '9,бд, О. (4.29) 190 гл. нл мех»ника л»гглнж». в»ги»ционныв пгинципы полагая Тогда бд»чьО (А»)» = ~» 6д» (4.32) Символом (А»)» мы обозначили работу активных сил на избранном виртуальном перемещении, при котором изменяется только одна обобщенная координата у». Преимущество этого способа вычисления обобщенных сил заключается в том, что не требуется явно выписывать формулы преобразования координат и, кроме того, работа активных сил вычисляется непосредственно как скалярное произведение векторов силы и виртуального перемещения.
По существу же, оба способа — и основанный на применении формулы (4.28), и основанный на применении формулы (4.32)— эквивалентны. Сумма виртуальных работ внутренних сил изменяемой системы отлична от нуля при виртуальном изменении конфигурации. Если активные силы потенциальны, то . г = — г" дП дц <'» д»„ ' Я» ду» ' г дП д» где П есть функция координат и, может быть, времени. Найдем выражения обобщенных сил: л Функцию П, выраженную в обобщенных координатах, обозначим через П: П (ха (Чм ° ° ю чб ()~ Уа (9»э ° ° ° в УА Ое га (9»э ° ° » Уб ()» П.
Тогда, очевидно, обобщенную силу мы сможем представить в виде частной производной функции П по обобщенной координате: дй Я» = —. дд» ' Уравнения равновесия примут вид — =Π— =*О ... — =О дй дй дй де» ' де ' "'' д» (4.34) Независимость вариаций обобщенных координат позволяет выбрать бд,=бд»=" =бд»-»=О, бд»+»=бд»»»=...=бд( —— О, » с стхтичвскин пгннцип апет»альных паиамащинин 191 или бй=о. Итак, если система находится под действием потенциальных сил, то в положениях равновесия (положений равновесия может быть много) силовой потенциал, а значит, и потенциальная энергия, принимают стационарное значение — минимум, максимум, или мини-максимум. Предположим, что поле внешних сил есть однородное поле тяжести.
Рассмотрим задачу о равновесии системы материальных точек и тел с идеальными связями. Положение точек будем определять координатами х„, у„, г„считая, что ось г направлена вертикально вверх. Из (4.23) следует — ~ т„ябг,„=О. » ! Сократим обе части иа а и вынесем символ 6 за знак суммы.
Получим 6~ т г«О «!=! (4.35) Координата гс центра масс системы определяется формулой » л 1 %» го= м 7 тсА„где М=,~, т . а а ! Из (4.35) следует 6гс=О (4.36) Таким образом, система материальных точек и тел с идеальными и стационарными связями будет покоиться тогда и только тогда, когда центр масс этой системы (центр тяжести) занимает наивысшее, либо наинизшее положение среди всех мыслимых положений в некоторой конечной окрестности. Впервые этот принцип в более простой форме был сформулирован Торричелли в 1644 г. Заметим, что в равновесии центр тяжести может занимать не только наивысшее, либо наинизшее положение: его положение будет вообще «стационарным».
Поясним это на примере. Пусть материальная точка может скользить без трения по кривой, расположенной в вертикальной плоскости. Уравнение кривой имеет вид г=аейп'х (а)О). Ось г направлена вертикально вверх. Так как бг=Заз(п»хсозхбх, то положения равновесия в однородном поле тяжести будут при и 3!! х»м» О, х» ~ +' 9 э х» ~ ! п~ х« ~ И2 гл. цс механика ллгвлнжл, влпилционныв ппинципы Очевидно, что положения равновесия при х=х,, х=ха... отличаются от всех остальных тем, что в этих положениях г = 0 = пи пинах г. Рассмотрим пример (рис. 4.6). Двойной маятник состоит из двух однородных стержней ОА и АВ, длины которых равны (т и („а массы тт и тпе соответственно.
Маятник удер- 0 х живается в положении рав- Ц новесия силой Р, направ- А ленной под углом у к го- Р ризонту. Маятник может с двигаться только в вертикальной плоскости, поэтому число степеней свободы рав- Р 6 но двум. Введем обобщенРнс. 4.6. ные координаты, полагая ~)т=сс, да=В. Задавая виртуальное перемещение ба= О, 6В ) 0 и применяя формулу (4.32), найдем обобщенную силу ٠— Р, — ' з)п В 6В+ Р)а соз ( — т) 6В 6 6 — ** зтп В+г(зсоз( — у). 2 Задавая ба)0, 6В =О, получим — Р,— з1пабсс — Р,1, апсеба+Р!,ов(а — т)6о 1з 2 6сс = — 1 — ' + Рз)), з(п а+ Итсоз(а — т). 'т 2 Трение не учитываем. Если известны Р и у, то углы а и В найдем, полагая 9т = О, аз О: — +Рз Рд с(й = „оз -(йу с(йВ= — „... — (йу 2 Р, Если же задана конфигурация системы (углы а и В) и требуется подобрать силу, удерживающую систему в заданной конфигурации, то Р,+Рз Рз(с)яа — 2с1ИВ) — Ртс1яВ 2(с1и се — с)и В) ' Р,+Р, Рассмотрим абсолютно твердое тело, которое удерживается в положении равновесия внешними силами ').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
