В.В. Петкевич - Теоретическая механика (1119857), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Отсюда, интегрируя, найдем яп <р — =сопз(. Кз й Стационарность связей позволяет в качестве второго уравнения взять уравнение кинетической энергии, а так как трения нет н силы консервативны, мы сразу можем записать интеграл энергии: т»)«(ф»+ з(п» ~р0») + 2Рт» яп' ~рф» — 2й( (т, + т,) соз ~р = Е».
Исключая дз/й из интеграла энергии, мы получим дифференциальное уравнение для угла р, решение которого можно исследовать качественным методом (гл. П, 2 3). Изложенный способ вывода дифференциальных уравнений движения очень удобен и прост: прежде всего надо выяснить число уравнений, описывающих движение системы, затем определить, какие «жесткие» виртуальные перемещения допускают связи.
Конечно, при решении задач не всегда нужно явно выписывать уравнения связей, как это было сделано в разобранных примерах (хотя это н очень полезно для понимания). Независимые «жесткие» виртуальные перемещения при некотором опыте легко определяются н без подробной записи. Возможны, однако, случаи, в которых не удается вывести нужное число уравнений движения, рассматривая лишь виртуальные перемещения системы как целого. В этих случаях нужно либо расчленять систему, вводя реакции внутренних связей, либо применять другие методы (см.
$ 8). 204 гл, пл мвхлннкл ллгилнжл, влиилцнонныв пгинципы Рассмотрим пример (рнс. 4.10). Система состоит из двух материальных точек, М, и М„с массами т, и т„соединенных невесомой гибкой нитью, которая пропущена через отверстие О. Длина нити Е Точка М«может двигаться по горизонтальной плоскости хОу; точка М, находится под плоскостью. Шесть декартовых координат связаны следующими уравнениями: ! «»«Я*.<-г';»«!-!-о. г,=О.
Следовательно, положение системы определяется четырьмя координатами. В качестве обобщенных независимых координат удобны полярные координаты точки М«и сферические — точки М,. Из уравнений связей следует, что существует лишь одно «жесткое» виртуальное перемещение в поворот вокруг оси Ог на угол бт Рис. 4.!О. ~> ((Є— та — „')бга) =0; а=1 (4.40) здесь бга — изохронные вариации координат. Сделаем замену Фа = т!с+ еа! га=гс+га, Кроме того, связи не зависят от времени, значит, мы сможем получить всего два уравнения движения: уравнение кинетического момента и уравнение кинетической энергии. Если трения нет и система движется в однородном поле тяжести, то мы будем иметь два интеграла. Недостающие два уравнения указанным способом вывести нельзя. Рассмотрим движение системы материальных точек н тел с идеальными связями относительно центра масс, точнее, относительно поступательно движущихся осей с началом в центре масс (осей Кенига).
Будем исходить из динамического принципа виртуальных перемещений: Еоа ф а Основные теОРемы динАмики систем со связями где тс и е!с — РадиУс-вектоР и скоРость центРа масс. ТогДа л ((Є— т„( дс+ ф~(бгс+ЬГ4)= О, а=! илн (Ь С ~„(ла Н!а( л + ))) + ~ ((На Тла~ + )) ЬГ а)=0 Допустим, что Ьгс и Ьг'„независимы. Если, кроме того, Ьгс л к! можно выбрать произвольно, то, так как — ~тат!а'=О, мы а получим уравнение движения центра масс относительно системы худ! л М ДРС ~Ч~~ ~Р!л! а=! Выделим из оставшихся членов сумму — ~~)~ ~„) — с 6~„').
а ! аес Так как — не зависит от номера точки и Ьп!„=О, то Л!а( л! Ьга) = (,!! 6 .! Е!а~а) — О а=! а=! Общее уравнение динамики для относительного движения будет иметь вид, отличающийся от (4.40) лишь тем, что вместо абсолютных ускорений входят относительные и вместо Ьна входят Ьг„'! ~„((Є— и!„— „") Ь")=О.
Итак, если Ьгс и 6~„' независимы, а Ьгс, кроме того, произвольна, то исследовать движение систем относительно осей Кенига можно рассмотренным выше способом. В заключение докажем достаточность статического принципа виртуальных перемещений, применяя теорему об изменении кинетической энергии (4.52). Покажем, что если сумма виртуальных работ всех активных сил равна нулю и в некоторый момент времени г, система покоилась (т!„(),) =0), то и при г>8, система останется в покое, ЕОЗ ГЛ. !Ч. МЕХАНИКА ЛАГРАНЖА. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ Связи идеальные и стационарные, следовательно !(Г„геометрически совпадают с одним из виртуальных перемещений и из .~ Я(л'а бл а) = О а=! будет следовать л ,г,'(Е !(г')=О.
а=! Из уравнения (4.62) получим !( ~~ "~ "— — О, а 1 что приведет нас к интегралу энергии л л Х "!а !!а — = сопз( = Егл 2 а ! Определяем постоянную Е, из начальных условий: так как о„(гл) = = О, то Е,=О. Множители и положительны, поэтому т!„'(1)=0 при 1)1, и система останется в покое. 4 7. Уравнения Лагранжа 1-го рода. Множители Лагранжа Рассмотрим систему и материальных точек с идеальными голономными связями, уравнения которых имеют вид ~~(хм у„г„..., х„, ул, г„; 1)=0 (!=1, ..., (А). (4.2) Запишем уравнения связей для виртуальных перемещений л (~6ха+ ~абул+ З бга) =0 Ц= 1» а Р) (4'7) а ! и динамический принцип виртуальных перемещений в виде (4.41): л ((Еал П!а 2а) бга+ (Еау л!а л!а) бала+ (Еал и!а га) бга) = О.
! Временно будем рассматривать (4.41) как линейное однородное уравнение относительно бха, бра, бга. Так как виртуальные перемещения определяются только наложенными на систему связями, т. е. уравнениями (4.7), то уравнение (4.41) должно быть следствием уравнений (4.7) — между коэффициентами этих уравнений существует линейная зависимость.
Коэффициентами в урав- $ Х УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА 1.ГО РОДА 207 ненни (4 41) являются скобки (Р„„— т У,„), (Р,,У вЂ” т,„у„), (Р, — т„й„). Вводя множители Х~ (множители Лагранжа), линейную зависимость между коэффициентами уравнений (4.7) и (4.41) представим в виде системы уравнений: и т„х„— Р„„— т Л! — О, 'ю д)7 1=! (4.57) ! 1 дг„ 1 Мы получили Зи уравнений движения в форме уравнений Ла- гранжа 1-го рода 1171.
Присоединяя к системе (4.57) уравнения связей (4.2), мы получим Зп+р уравнений, в которых неизве- стными функциями времени будут Зл декартовых координат точек системы и р множителей Лагранжа Х~. Суммы 1=1 1=1 !=! представляют собой проекции реакций голономных связей на координатные оси.
Если рассматривается система свободных точек, то указанные суммы исчезают, В динамике одной материальной точки мы уже встретились с выражением нормальной реакции идеальной связи в виде произведения Я„=йдгаб~. В таком виде реакция была записана непосредственно на основании гипотезы об идеальности связи. Отметим, что уравнения Лагранжа 1-го рода могут быть применены и к описанию движения системы с неголономными связями. В уравнения (4.57) войдут проекции реакций неголоном- ных связей, а система уравнений дополнится уравнениями вида (4. 3).
Очевидно, что число неизвестных функций и число уравнений увеличивается с увеличением числа связей (с уменьшением числа степеней свободы). Это затрудняет интегрирование системы урав- нений и поэтому для решения задач уравнения Лагранжа 1-го рода применяются сравнительно редко. Проиллюстрируем применение уравнений Лагранжа 1-го рода на примере, рассматривая систему двух материальных точек, изображенную на рис.
4.10, и несколько упрощая условия задачи. Упрощение заключается в том, что на точку М! наложим допол- , нительную связь в виде абсолютно гладкой вертикальной тру- уоа гл. цп мвхлника ллггхнжл. влрихционныа пгинципы бочки — точка М, сможет передвигаться лишь вдоль оси г. Положения точек М, и Мк определяются шестью декартовыми координатами х„у„г, и х„ут г„подчиненных следующим уравнениям связей: х,=О, ук=О, ~/х',+у,' — г,— 1=0, г,=О, где 1 — длина нити. Уравнения Лагранжа 1-го рода будут иметь вид т,х,— Л,=О, т,у — Л,=О, т,у,+ту+Л,=О, т,.Г,— Ла 'а=О, т,д,— Ла — 'а=О,,.У,— Л,+т,у=О; кэ уэ Гк Г, здесь г, = ргх,'+ у,'. Принимая во внимание уравнения связей, находим Л, =О, Л., = О, Л, =тку.
Уравнения движения точки М, приводят к интегралу площадей: х,у, — у,хк =с,. Для множителя Л получаем следующее выражение: Лк к~у~+у,р~ т, Ук',+у1 и, кроме того, Лк к й1 к 12. т, Здесь удобно ввести полярные координаты точки М,: гэ и Ва. Тогда гзй~ =С21 — = Гк — — + — =~з — г,от г, г, Исключая Р, и а, найдем множитель Л: Уравнения для х„ у„ г, приводят к интегралу энергии: т~ (к1+ у',) + т1к', -1- т,уг, = Ет Записав интеграл энергии в полярных координатах, затем исключая йт мы сможем получить уравнение первого порядка для г,. Применяя метод качественного исследования, можно установить, что г, будет меняться периодически, колеблясь в некоторых пределах, и точка М, не выйдет из кольца между двумя концентрическими окружностями.
$ А УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА 2-ГО РОДА 8 8. Уравнения Лагранжа 2-го рода (вывод из динамического принципа виртуальных перемещений) ~! ((Є— и! ~")бг„)=0. а ! (4 Ао) Уравнения связей запишем в таком виде: !";(х!, ун г„..., х„, у„, г„; 1)=0 (/=1, 2, ..., р). (4.2) Вариации декартовых координат подчинены уравнениям / д(! д(! дй 1 д бха+ д буа+ д бга) =0 (1'= 1, 2, ..., (!). (4.7) а=! Связи голономные, следовательно, число степеней свободы совпадает с числом независимых координат. Переходим к независимым обобщенным координатам, полагая га — га(ч! 1 УФ1 1).
(4.16 Изохронные вариации радиуса-вектора г'„вычисляем по формуле Рассматривая г'„как сложную функцию времени и вычисляя полную производную, находим выражение вектора скорости: (4.58) 1=1 ачу Производные !),=+' называются обобщенными скоросп!Лми. Рассмотрим системы материальных точек и тел с ндга!ьиыми голономными связями и, следуя Лагранжу, выведем урави, ния движения таких систем в обобщенных координатах — уравнения Лагранжа 2-го рода. Как станет ясно из самого вывода уравнений, предположение относительно голономностн связей здесь очень существенно. Кроме того, существенно также, чтобы персход от декартовых координат, определяющих положение материальных точек и тел относительно инерциальной системы отсчета, к обобщенным независимым координатам совершался с помощью конечных формул точечного преобразования (см.
з 4). Будем исходить из динамического принципа виртуальных перемещений: а з!о гл, !ч, мвхлникл лхгглнжл. влгилцнонныв пгинципы Подставим (4.26) в общее уравнение динамики (4АО). Изменяя порядок суммирования, получим ! л л 1 оо, ~(л.~о.)- У(..файф о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
