В.В. Петкевич - Теоретическая механика (1119857), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Систему уравнений (4.77) запишем подробнее: ! з=! 3=! з=! Матрица из коэффициентов системы (4.78) будет иметь такой вид Э18 гл. пс. механики лдгплнжд. вдпидционныа ппинцнпы Из (4.78) следует, что если не все с1,=0, то между столбцами матрицы (4.79) существует линейная зависимость, и ранг матрицы г меньше 1, следовательно, число независимых декартовых координат будет меньше, чем 1, а это противоречит условию (1=3п — р, где р-число уравнений связей). Так же точно, опираясь на ранг матрицы (4.79), можно докааать, что определитель, составленный из коэффициентов квадратичной формы Т, (дискриминант формы), отличен от нуля. Если ! А„Ап, ... Ам ,...,..., .~ — бе((Асс)~с, с !=О, Ап Аса " Ап| то система уравнений с .У, 'АссЛс=О (4.80) с ! имеет ненулевое решение.
Умножая каждое уравнение на Л, и суммируя по 1, получим с с ~", ~', АиЛсЛс=О. с= ! у=! Заменим Асу по формуле (4.72): с ! а Х Х Х "(ФВ)ЛсЛс=О с=!с са=! нли ,'~ то ~Р (э'" Л,)' = О. а ! с-! Отсюда получаем уравнения вида и, э'Ля=О, в=! совпадающие о (4.77). Повторяя приведенное выше доказательст- во, приходим к заключению о том, что де((Ац)с. с-! ФО, т, е. что квадратичная форма Т, определенно положительная (неособенная).
Как извесгно из алгебры, дискриминант этой формы положителен «). Положительны и все его главные миноры Ас! ) О, *) Это можно показать, приводя форму Т, к виду суммы квадратов е неко. псрыми коэффициентами (к !каноническому! виду). $ а. ВыРАжение кинетическОЙ энеРГии 219 АИА„— (Ата)а)0, ... Этн свойства фоРмы Т, очень важны длЯ многих последующих выводов. Приведем пример системы, кинетическая энергия которой состоит из всех трех частей (рис.
4А2). Свободная точка М с массой па притягивается к неподвижному центру О с силой Г= — е,т —,, где г 10М~. По- Г а 1 г 4 ложенне точки будем опреде- М лять координатами уа = $, уа = т1 Ш да = ь относительно системы, вращающейся вокруг осн Ог с постоянной угловой скоростью а. Требуется составить уравне- ./ ния Лагранжа 2-го рода. Заметим, что в формулы преобразованна координат — поворот во- ит круг оси Ог на угол а1 — явно войдет время. Значит, кинетическая энергия в этом случае Риа 4.12, будет определяться формулой (4.75).
Не выписывая явно формулы греобразовання координат, составим выражение для скорости точки М относительно системы луг: 1 У е=е„„+е„„=а$+уц+К+ о о а1. з ч Следовательно„ па Я ат1)а+(т1+а$)а+~а Кинетическая энергия точки будет иметь вид Т = — (Да+ т1'+ Ьа+ 2а ($т1 — тД) + аа ($а+ т1а)). Здесь Т,= — ($'+т1'+~'), Т,=та(йт1 — тД) Та= 9 (с +т1а).
Запишем частные производные от кинетической энергии: дà — = т ($ — ат1), —. = т (т1+ а$), —, = тг, дт дг да дт1 дьа дТ . дТ вЂ” „= ( и+ 'В, — - ( — 1+ "1), — д=о. дт Обобщенные силы будут равны проекциям силы ач на оси $, т1, Ва л тт1 л тая и Й гт ° 220 Гл ип мехАникА лАГРАнжА. ВАРиАционные пРинпипы Запишем теперь уравнения Лагранжа 2-го рода, разрешив их относительно вторых производных: т$ = — —, + 2онаи1 + п1ов тв22 ' 22 вв овт) = — в — 2овы1+ тво гь 1 Ч 2 вв тово гпь = — —.
вв В правые части полученных уравнений входят, кроме проекций силы е:, проекции силы Кориолиса и центробежной силы. Как мы видим, метод Лагранжа позволяет вывеств уравнения относительного движения, не вводя силы инерции: для этого нужно в качестве обобщенных координат взять относительные координаты, а скорости точек вычислять по формуле сложения скоростей. Теорема Эйлера об однородных функциях. Функцию р ($1, зв, ..., $„) будем называть однородной степени ов (порядка т), если при умножении каждого переменного ~1 на отличный от нуля множитель )в мы получим первоначальное значение функции, умноженное на )Р. дР Докажем, что сумма произведений частных производных— ды на Ц равна самой функции г($), умноженной на степень однородности т. Исходя из определения, запишем тождество Р(Л$,, Л5„..., )4„)=Л~Р($Н ..., Е„).
(4.81) Продифференцируем обе части по )' в~в ~~д(3411 Положив )1=1, мы придем к формуле Эйлера Х--.,= 'д дР (4.82) $10. Функция Лагранжа. Функция Лагранжа для релятивистской частицы В первом томе «Аналитической механики» Лагранж, излагая приближенный метод решения задач динамики -метод вариаций произвольных постоянных н приложение его в теории возмущеиий — для упрощения записи уравнений движения ввел функцию Я, которую будем неоднократно применять, например, при выводе обобщенного интеграла энергии.
22! $ ю. Функция лАГРАнжА полагая 2=Т вЂ” У. В обозначениях Лагранжа Т есть кинетическая энергия, а 1/ — потенциальная (термины эти у Лагранжа еще не встречаются). Далее Лагранж записывает дифференциальные уравнения движения с равными нулю правыми частями *). Лагранж, вводя функцию Л, не мог, видимо, предполагать, насколько популярной со временем станет эта функция, которую впоследствии стали называть функцией Лагранжа и обозначать через 1.. Иногда функцию Лагранжа называют еще свободной энергией, либо нинетическил1 потенциалом. Как мы увидим дальше, функция Лагранжа чрезвычайно удобна для описания движения механических систем с голономными связями при условии потенциальности активных сил, — удобна тем, что доставляет основную информацию о характере движения системы.
Но не только в этом состоит значение функции Лагранжа. Благодаря тому месту, которое функция Лагранжа н ее обобщения занимают в теории интегральных вариационных принципов, функция Лагранжа широко используется во многих,— уже немеханических, — разделах теоретической физики. В квантовой теории на основе функции Лагранжа строится оператор, называемый лагранжианом *в).
Обратимся к уравнениям Лагранжа 2-го рода: — д— .— э — — — 11, (з=1, 2, ..., 1). Е дТ оТ (4.67) Е1 д4~ дч, Предположим, что все активные силы потенциальны (но не обязательно консервативны). Тогда, как мы видели (см. 2 4), обобщенные силы можно представить в виде частных производных от потенциала по соответствующим обобщенным координатам: () оП (4.33) дд Символ 11 означает, что потенциал П выражен через обобщенные координаты. Условимся в дальнейшем, для упрощения записи, потенциал обозначать через П, а потенциальную энергию системы через (7, независимо от выбора координат.
Обобщенные силы будем записывать в виде ап аи дев дд ' Функции П и (7 могут зависеть только от обобщенных координат и времени, поэтому д4 — =О. ') См. 1171, т. 1, отдел пятый, 4 1, и. 3. «') Часто свыу функцию Лагранжа также завывают лавранжпаном. (22 гл. пк механика лагранжа. влридционныв принципы Система уравнений Лагранжа 2-го рода примет вид — — — — =О (в=), 2, ..., Е). д дь дь дг д»» дд« (4.83) Если формулы перехода от декартовых координат к обобщенным содержат явно время, т.
е. если т,=к„(д„..., уб «), то т=т,+т,+т~ (4.75) Следовательно, функция Лагранжа в этих случаях будет состоять из четырех частей: ).=т +т,+т — (у. (4.84) Условимся системы, функция Лагранжа которых определяется формулой (4.84), называть классическими и саму функцию Лагранжа — классической функцией илн, короче, просто функцией Лагранжа. Системы, у которых функция Лагранжа имеет иной вид (главное отличие — отсутствие в составе функции с. квадратичной формы Т«), мы будем называть неклассическими, а функции Лагранжа неклассическими, или обобщенными *). В качестве примера неклассической системы рассмотрим частицу, скорость которой сравнима со скоростью света — релятивистскую частицу.
Положение частицы определим декартовыми координатами, полагая»»=х, »з=у, Ч»=г. Функция Лагранжа"') будет иметь вид (д'+»»+ а') тм 1 , — (у (х, у, г), с' ") В литературе есть термин «натуральные системы», которым противопоставляются «ненатуральные». Термины зтн не вполне установившиеся, к тому же нд надо признать не очень удачными, нас «ненатуральный» означает «нв соответству»ошпй прнроде».
«') См., напрнмер [22). В нашем курсе мы не можем касатьсв вопроса о том, как получить функцию Лагранжа в виде (4.85), Заменяя в уравнениях Лагранжа (4.67) 9, через- —, получим: дсг до д дТ дТ д0 дт д» дч» де» Используя независимость функции У от обобщенных скоростей, перепишем систему уравнений в виде д д(т — и) д(т — и) «У д» д» Разность кинетической и потенциальной энергий обозначим через 1, и будем называть грункцией Лагранжа: т-()=); (.=).(»ы ..., »б»„..., »,; т).
$10. ФУНКЦИЯ ЛАГРАНЖА где т,— масса покоя, с — скорость света а пустоте. В формуле (4.85) содержится допущение, что потенциальная энергия релятивистской частицы может быть представлена в виде функции декартовых координат самой частицы (материальной точки). Если предположить, что ~н~)с<'.1, то Р 1 Рс 1 — — 1 — —— сс 2 с»' и, с точностью до постоянного слагаемого, функция Лагранжа приближенно будет равна +" + )-и(», д, г). Мы видим, что при ~ н~/с~! функция Лагранжа частицы в первом приближении может быть выражена классической формулой.
Составим уравнения движения релятивистской частицы, вычислив обобщенные импульсы дв »1сХ Б / а'"''"' ~/'1--"* сс и частные производные от 1. по координатам дЬ ди д» = д» э ° ° э ° ° ° Первое уравнение будет иметь вид У( -2) д* Аналогично получим и два других уравнения. Множитель 'Г'! — РЧс' представляет собой переменную массу. Время 1, по которому производится дифференцирование, есть так называемое »координатное время». Дальше в курсе будут приведены задачи и примеры, в которых мы встретимся с классической функцией Лагранжа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
