В.В. Петкевич - Теоретическая механика (1119857), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Уравнения Лагранжа запишем в следующем виде: (т,+т,) р,— тг,(ф)+б)в1п'ф»)+тз(1 — г) бб — ту сов ф,=О, (4.105) (4.106) дà — (т,г',ф,) — т,г', б) в1п ф» сов ф, + т,лг, в1п фз =* 0 Исключив с помощью (4.104) б, и б„получим систему двум нелинейных уравнений второго порядка относительно г, и ф,. Отметим, что благодаря выбору обобщенных координат мы неявно произвели расчленение системы на две части — получились как бы две точки, прикрепленные к нитям переменной длины. Метод Лагранжа автоматически выполнил зто разделение. Рассмотрим еще пример (рис.
4.13). Материальная точка М массы т может двигаться без трения по внутренней поверхности круглого конуса, ось которого вертикальна. Угол при вершине конуса равен 2сз. Точка движется в однородном поле тяжести. Таким образом, каждой циклической координате отвечает инте- грал вида (4.103) — циклический интеграл. В силу уравнения дви- жения сохраняется обобщенный импульс, соответствующий цикли- ческой к оординате. Обратимся к приведенному выше примеру (рис. 4.10) и вос- пользуемся уже построенной функцией Лагранжа (4.102). Цикли- ческими координатами здесь будут углы а, и 8». Следовательно, д/.
дл — с, и —. с, дв, дв« или 232 гл. 1и. махлникл лхгиинжл. взиихционныв пэинципы Положение точки определяем двумя обобщеннымн координатами— углом 9 и декартовой координатой г. Функция Лагранжа будет иметь вид тс гв А = — ~ — + гвдв 1ява) — тйг. 2 1сов~я Так как —, О, то существует интеграл энергии дл — ( —,„+ ги)' 1д' а) + туг = Е,.
Угол 9 является циклической координатой, поэтому дд —. =ст или г 91д а с. и в дэ С помощью найденных интегралов можно качественно исследовать характер движения точки. Исключая 9, найдем ( — ',) = (й — юг — —,„-;в) соз'а — г (г), где й* — ) О. 2Ев ив График функции Р(г) изображен на рис. (4.14). Очевидно, что координата г меняется периодически, колеблясь в пределах дР от г, до гв. Из условия — = О можно найти дг вг — ~— 'Г' 212ва' Следовательно, если начальная скорость г, равна нулю„а начальная высота равна гв, то точка будет двигаться по круговой траектории, лежащей в горизонтальной плоскости.
При этом постоянные могут быть подобраны так, что будет равна Рис. 4.14. Рис 4.13. нулю функция Лагранжа (частный вид интеграла энергии). Очевидно, что такого вида интеграл, когда функция Лагранжа равна йостоянной (в частности, нулю), может быть получен, например, $!2.
НнтеГРАлы УРАВнении лАГРАБЖА, теОРемА нетеР 233 где 64, !р, (!). По определению производной, !!о*= !!Гп 4*(+ ы о (4.107) Аналогично, (4.108) Из (4.!08) почленно вычитаем (4.107), полагая, что приращение времени А! в этих выражениях одинаковое: Так как т! Имеются в вяау Везамкяутые (вевзолировавяые! свстемы, в еаствос2в, системы со связямз. в тех задачах, в которых рассматривается движение материальной точки по гладкой и неподвижной поверхности вращения с вертикальной осью в однородном поле тяжести.
Получение интегралов уравнений Лагранжа 2-го рода зависит не только от структуры системы и характера силового поля е), но и от выбора обобщенных координат. Разумеется, сохранение импульса (или момента импульса), хотя бы частичное, как это может быть для систем со связями, либо сохранение энергии, не может зависеть от того или иного выбора обобщенных координат, ио при неудачном выборе для получения интегралов приходится формально составлять интегрируемые комбинации дифференциальных уравнений.
Вопросы, связанные с интегралами уравнений движения, будут полнее рассмотрены в следующей главе — для этой цели удобнее записывать уравнения в канонической форме. Здесь же, в заключение, мы рассмотрим способ получения интегралов, основанный на инвариантности функций Лагранжа относительно бесконечно малых преобразований переменных. Предварительно докажем переместительность операций дифференцирования по времени и изохронного варьирования, предполагая, что координаты д, и их вариации бд, независимы. Обозначим через р, измененное значение координаты р,=д,+64„ 234 гл.
пд механика лдгрдихот. вдридциониыа принципы а с другой стороны, в (1+61) 114 ы-а 1пт Ы -р(Ь, (4.109) или, при изохронном варьировании, 6 (йу,) д (6д,). (4.110) В изложенном выводе существенна независимость 6д, «). Если бы вариации координат были связаны неинтегрируемымн соотношениями, то для зависимых вариаций переместительность символов д и 6 не всегда была бы допустима. Рассмотрим, к примеру, дифференциал секторной площади до — г с(у, где г и ~р- полярные координаты точки, движущейся 1 в некоторой плоскости. Очевидно, что для вариации а будет справедлива такая же формула: 2 1 где 6г и 6у независимы в указанном смысле.
Вариация 6о уже не является независимой-она выражена через 6<р. Составим разность 6 (тЬ) - т( (6о) = — (6 (г' с(ю) — т( (г' 6~р)) = = гйг ду - г т)г 6р+ — (6 (т(ф — с( (6~р)), В силу того, что 61р не зависит от других вариаций и может быть выбрана произвольно, 6 (йр) — т((6~р) = О.
))(ы видим, что 6 (Ио) — И (6о) г (6г йр — т)г 6<р). Билинейная форма 6гт(~р — 6гбр может быть не равна нулю «*), Поэтому 6 (до) чь с((6о). ') Независимость бд, вдесь понимается в том смысле, что вариации бдм 64м ..., 6о~ ие связаны между собой и не вависят от вариаций других переменных. / бг кг 1 ") Можно записать 6(оо) — о(бо)=г йрбдд — — — 1. Если орбита врут(бт дч) й бт говея, ю — =О, тогда иаи — может принимать любое аначение. ды бы 5 !к интеГРАлы уРАВнений лАГРАнжА, теоРемА нвтеР 236 Обратимся к динамическому принципу виртуальных перемещений (4.66). Если все активные силы потенциальны, то динамический принцип виртуальных перемещений можно, вводя обобщенные координаты, записать в виде в ! (4.
11! ) Преобразуем левую часть: Х дч, * дг Х 'дд,+Х д,дг( дь а дб дь в ! в ! в ! или тр ~ж +а~ ) « ~~ дГ. в 1 в ! Очевидно, что ,у', фь~,+ —,",, баев) =6~. в 1 -",фвп,") (4.112) Наша цель — установить условия, при которых могут быть получены интегралы уравнений Лагранжа, и, кроме того„вид самих интегралов. Так как в число интегралов может войти интеграл энергии, то мы, как и в 5 6, рассмотрим полные вариации координат, скоростей и функции Лагранжа, вводя не зависящий от времени параметр а и рассматривая в)„!), и Ь как функции параметра а и времени 1.
Параметр а сохраняет свое значение на каждой действительной траектории. Полные вариации запишем в виде Ьв4, = — ' Ьа+ ~' 61, д! (4.113) Аналогично, (4. 114) Итак, динамический принцип виртуальных перемещений для голономных систем, движущихся под действием потенциальных сил, может быть представлен в следующей, очень удобной и выразительной форме: 236 гл. нп махлникл ллгрднжл. вдрндционныа принципы и ЬС вЂ” Ьа+ — 6(.
0). а. да Ьг (4.!15) Очевидно, что изохронные вариации будут иметь вид Ьйа = — „* Ьа, 67(а — ' Ьа, ЬŠ— „Ьа. (4.116) Заметим, что здесь — есть производная по времени от д, при де. фиксированном значении параметра а, т. е. — производная, вычисленная вдоль траектории а). Поэтому мы можем положить ( — ").= ' Выведем выражение полной вариации функции Лагранжа. С этой целью обе части каждого уравнения Лагранжа умножим на 60, и просуммируем по всем значениям гс а 1 1 ! или и~~ (ЬЬ+г) 61) у~~— — г (60а+фабг) л — — О.
Производя простые преобразования, получим ~ — дл~~ — м)д ч-( — (да~ — ш)ч-к)В-О. ~4!1и ') В расширенном ионфигурационном пространстве положение иаоеражаю. шей точки определяется координатами (дм дм ..., ди Г). Здесь, при частном дифференцировании, дуг де~ — ! 0 (! ча /) — 0 дп дф ' йпг Ьг Изменению параметра а и времени ( на независимые между собой величины Ьа и 6( соответствует бесконечно малое преобразование переменных, характеризующих состояние движения системы. дь Частная производная —, входящая в выражение (4.117), берется по явно входящему в функцию Лагранжа времени ! (при фиксиоь рованных 0~ н Ь), тогда как полная производная — вычислена Ф вдоль траектории (при фиксированном значении параметра а). $ !в.
интеГРАлы УРАВнении лАГРАнжА. теоремА нетеР 237 Поэтому можно положить Таким образом, из выражения (4.1!7) находим полную вариацию функции Лагранжа в следующем виде: ди +'т д~ ) Полная вариация функции Лагранжа вычислена в силу уравнений движения. Заметим, однако, что для приложений удобнее выражение (4.117). Свойства той модели реального физического пространства, которую использует механика (однородиость и изотропиость), а также однородность времени, с наибольшей отчетливостью обнаруживаются на примере замкнутой (изолированной) системы материальных точек (гл. 1П, 2 4). Однородность пространства приводит к сохранению импульса системы, изотропность — к сохранению кинетического момента; однородность времени связана с сохранением энергии.
Свойства, присущие пространству и времени, позволяют совершать такие преобразования координат и времени, при которых сохраняют свои значения — остаются инвариантными — основные меры движения. Обобщение и значительное расширение наших представлений о глубокой связи между преобразованиями переменных, определяющих состояние движения материальной системы и инвариантностью обобщенных мер движения принадлежит выдающейся женщине-математику Эмми Нетер. Для распределенных систем— в области теории поля — Э. Нетер в 1918 г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
