В.В. Петкевич - Теоретическая механика (1119857), страница 41
Текст из файла (страница 41)
установила, что каждой группе преобразований, сохраняющей функцию Лагранжа инвариаитной, соответствует определенный закон сохранения *). Докажем теорему Нетер применительно к механическим системам с конечным числом степеней свободы. Теорема Нетер. Каждому бесконечно малому преобразованию, сохраняющему неизменной функиию Лагранжа, отвечаелт интеграл уравнений движения. Обратимся к выражению (4.117) и положим бачьО, 6! О.
Если при этом 6Ь= — ба=О, ! Сведения о самой Нетер и о ее замечательных исследованиях мои!во найти в [23!. хза гл. нл мвхлникл ллгелнжм вхеихциониыи пеинципы то д %~ дп дда сИ ам д4~ да с ! Отсюда приходим к интегралу — — ' = сопз1. Х,;— дн даа дда да (4.! 18) Допустим, что среди обобщенных координат есть циклические, например, дп Пользуясь независимостью изохронных вариаций обобщенных координат, положим 64~ — — 6а, 64, =... = 641, = = 64~+, ...
—— 64~ = О, (61 = 0). Изменению параметра а будет отвечать виртуальное перемещение системы вдоль координатной линии ~у~. Это перемещение не всегда совпадает с перемещением вдоль траектории. Тогда, поскольку дЬ дд~ ( 1, 1=1 Я = — ба=О и — бл=1 =дд, = дч, =1 О, мы найдем / ! а ! (4.119) Отсюда следует обобщенный интеграл энергии Х да д — — Ь=сопз1 =— Е;. зд4, (4.120) Мы видим, что инвариантность функции Лагранжа при варьировании циклической координаты связана с сохранением соответствующего обобщенного импульса; инвариантность при варьировании времени -с сохранением обобщенной энергии. Таким образом, показано, что инвариантность функции Лагранжа относительно некоторого преобразования переменных есть досааточное условие существования интеграла уравнений Лагранжа 2-го рода. Предположим теперь, что функция Лагранжа не зависит явно от времени.
Положим ба=О, 61~ 0. Так как — =О, то из урав- дЬ д~ пения (4.117) получим $ !3. ОБОБЩЕННЫИ ПОТЕНЦИАЛ Наоборот, если некоторая функция от д„!), и времени 1, %~ И. дч, которую можно представить в виде г 8 ††', есть интеграл урав- 4 да' ю ! нений движения, то ее полная производная по времени будет равна нулю в силу уравнений. Отсюда мы заключаем, что интегралу вида (4.118) отвечает бесконечно малое преобразование, сохраняющее неизменной функцию Лагранжа.
Здесь важно добавить, что от параметра а должны фактически зависеть переменные, определяющие состояние движения системы. В качестве примера приведем опять циклическую координату, от которой не зависит функция Лагранжа, но которая входит в число координат, определяющих конфигурацию системы. Подобным же образом можно показать, что наличие обобщенного интеграла энергии свидетельствует о том, что функция Лагранжа не изменяется при преобразовании времени. Относительно так называемых «бесконечно малых» преобразований переменных заметим, что термин «бесконечно малые» нельзя понимать буквально как «исчезающе малые». Координатам, их производным по времени и самому времени при таком преобразовании даются приращения, достаточно малые для того, чтобы можно было сохранять только главные линейные части приращений всех функций от этих переменных.
Это последнее обстоятельство определяется точностью постановки и решения задачи. Важно, что преобразование переменных допустимо в любой момент времени из рассматриваемого конечного интервала. $13. Обобщенный потенциал. Гироскопические силы Обратимся к записи уравнений Лагранжа 2-го рода в явном виде (см. $ 11).
В левую Часть каждого уравнения (4.88) входят суммы вида ! (4.!21) Коэффициенты при !)! антисимметричны относительно индексов. Если мы, изменив знаки, перенесем указанные суммы в правые части уравнений, то сможем рассматривать их как некие обобщенные силы, в частности, как обобщенные силы Кориолиса.
Мы видели, что в тех случаях, когда формулы преобразования не содержат явно времени, коэффициенты В«исчезают и, следовательно. указанные обобщенные силы не войдут в уравнения. То обстоятельство, что суммы вида (4.121) порождаются функцией Лагранжа — именно, дифференцированием функции Т« ~ зло гл. сч. мвхлникл ллгэлнжл. влэилциониыв пэинципы в виде линейной функции с)с, коэффициенты которой могут зависеть от обобщенных координат и времени.
Положим .(.'с Ь+ 1г", (4.123) где Е=Т вЂ” И есть обычная функция Лагранжа (кинетическая энергия может включать функции Т, и Тэ). Дифференцируем с.» пос),и по!),: с д1,~ дд дд ° дг, чт дзгс сл! Далее, %! Система уравнений Лагранжа будет иметь вид д дР дУ дС дс)с дсСл — — — — =О (з 1,$ ... 1), или с д дЕ дЬ э~с ~да! дЯ7с~ дСР сп дд дсС Свг ! дсСл дС С вЂ” — — — = У С вЂ” — -у-'-) с)с--з-к (3 1, 2, ..., 1). (4.124) ! Введем обозначения: с 1 (4.125) д%'у да!! — уо дес де! (4.126) Очевидно, что Обобщенные силы (4.127) Г,= ~ умд, с ! ! = ~ В,с)„— позволяет построить одно из обобщений функции в=! Лагранжа уже независимо от характера преобразования координат.
С этой целью мы будем рассматривать так называемый обобсценнай потенциал эу Я Иаэс!)с, с ! $ ге. ЭАРяженнАя чАстицА В электРОмАГнитнОм пОля 24! будем называть гироскопическими силами. Нетрудно проверить, что сумма работ гироскопических сил на действительных перемещениях равна нулю. В самом деле, в силу (4.127) ! ! ! ~ч~~ Г,!),а ~ч~ ~ уь4со,а=о.
е-!! Упомянутые выше обобщенные силы Корнолиса представляют собой частный вид гироскопических сил. Что касается самого т.рмина «гироскопические», то он будет разъяснен в главе Ч1. $14. Функция Лагранжа для заряженной частицы в электромагнитном поле Рассмотрим заряженную частицу, движущуюся в электромагнитном поле, предполагая, что скорость частицы мала по сравнению со скоростью света и что влияние частицы на напряженность поля пренебрежимо малб. Частицу будем представлять в виде свободной материальной точки и положение ее определять декартовыми координатами. Как известно, на частицу будет действо- вать сила Лоренца Р е(Е+ —, 1НЩ), (4.128) Е= — йгаб ф- — З-, Н го1 А, 1 дА с 3!' (4.129) где <р и вектор А могут зависеть от координат и времени.
В качестве обобщенных координат мы взяли декартовы координаты х, у, г. Следовательно, обобщенные силы будут равны проекциям Е на координатные осн: дф е дА„е !. !дА» дА„1 /дА„дА 11 4«' 4с = — гс + '1У ~ / г'1 Д (4 1ЗО) сх с д! с 1 1дх ду/ 1дг дхд Аналогично можно записать Яг и (ге Так как х, у, 2 — обобщенные скорости, то дл дл дл — „=Π— =Π—,=О и т. д.
дх ' ду ' дг В правую часть выражения (4.130) добавим где е — скорость точки, е — заряд, с — скорость света в пустоте, Š— напряженность электрического поля, Н вЂ” напряженность магнитного поля. Вводя скалярный потенциал гр и векторный потенциал А, запишем 24» гл, цл мвхлникл лхгвлнжх, влэихционныв пгинципы Тогда Я, — е „вЂ” —,-ф+ —,р„- (АА„+9А„+ФА,)— е дА, е Гд („ддА дА, +йдА„~~ или д,= Л ф + (еА)1 д а иА» а д дх а Ж с дх здесь ИА» дА» дА» . дАе дА» — = — +Х вЂ” +у +д —. й дс дх аа дх ' 1.= — (х +у +й") — Е+ — ( (4.131) где — (е4) с «хА +04„+хА») (4.132) есть обобщенный потенциал, порождающий гироскопические силы, дв Вычислим, например, обобщенный импульс — „и частную производную от функции Лагранжа по координате х: де — — пьс+ — А„ дь е с — = — е 3- + — — (еА). дЬ де е д дх дх с дх Уравнение Лагранжа для заряженной частицы в электромагнитном поле будет иметь вид едА, де ед епУ+ — — '+ е — — — — (еА) = О.
с дс дх с дх Аналогично получим остальные уравнения. 5 15. Диссипативные силы. Функция Рэлея Силы сопротивления реальных сред, в которых движутся тела, представляют собой главным образом силы трения. Наличие таких сил приводит к тому, что механическая энергия движущихся тел переходит в другие виды энергии — тела нагреваются, может возникнуть свечение тела, а при больших скоростях тела могут сгореть. Механическая энергия системы, как говорят, рассеивается.
Поэтому силы сопротивления часто называют диссипатив- Нетрудно проверить, что уравнения движения частицы можно записать, если функция Лагранжа будет иметь вид 243 4 !а. диссиплтивныв силы. еинкция калия ными *). Силы сопротивления среды могут быть сложными функциями скоростей точек системы и, кроме того, могут зависеть от параметров, характеризующих среду и форму тела. Мы ограничимся силами сопротивления, представляющими собой линейные функции скоростей точек приложения этих сил. Очевидно, что и обобщенные силы будут линейными функциями обобщенных скоростей. Обозначая обобщенную диссипативную силу через Я„запишем Йа =ь,Я~ р!вй ! (4.133) где коэффициенты р!, могут зависеть от координат, времени и некоторых постоянных параметров.
Работа диссипативных сил на действительных перемещениях должна быть неположительна. Следовательно, ,)", Й,!) й,); ~ р! 4!4,й( О. ! ! ! (4.134) Очевидно, что дФ ддт ~~,> Р!тт!' (4.135) Функция Ф(!у, 4; 1) была введена в мехнику Рэлеем и поэтому называется гйуик!4мей Рэлея. Мы авели эту функцию формально для того, чтобы записать обобщенные силы сопротивления в виде (4.135). Покажем, что функция Рэлея имеет простой физический смысл. Рассмотрим систему, к точкам которой приложены потенциальные и диссипативные силы. Запишем уравнения Лагранжа ') б!аа!расе — рассеивать !латд, **) При р! — рм сумма работ оуае! равна нул!о 1см.
гиросиоинчесиие силы, $ 13). В формуле (4.133) коэффициенты р!, будем считать симметричными относительно индексов**), так как если р„арль то мы можем положить р!,+р,!=2гы и тогда будет гм — — гаь Обобщенные силы сопротивления можно представить в виде частных производных по !), от некоторой квадратичной функции обобщенных скоростей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
