В.В. Петкевич - Теоретическая механика (1119857), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Положим 244 гл. пс механика ллГЭЛНжл. ваэилпиоиимв пеинцнпы 2-го рода: а дь дь дФ (4.136) Умножим обе части каждого уравнения на !),Ж и просуммируем по з. Производя затем выкладки, которые мы делали при выводе да обобщенного интеграла энергии ($ 12) и полагая, что — = О, д! получим Из теоремы Эйлера об однородных функциях следует! ! 1 Таким образом, Если рассматриваемая система классическая и формулы перехода к обобщенным координатам явно не содержат времени, то Х вЂ” 4,— 7 =Т+и, аь а4, ' ! ! где Т есть кинетическая энергия, а 0 — потенциальная энергия системы. Тогда — (Т+У) = 2Ф. (4.137) Из полученного уравнения (4.137) мы находим, что и (Т+Ю=-О, т. е., что производная от механической энергии системы по времени неположительна. При полной диссипации будет — (Т+(7) (О. а и! Следовательно, полная механическая энергия системы убывает со скоростью, равной удвоенной функции Рэлея.
Полезно непосредственно вычислить обобщенные диссипативные силы, предполагая, что к точкам системы приложены силы сопротивления, пропорциональные скоростям точек. Положим Г = — й,т!, где А есть коэффициент сопротивления, ко~орый может зависеть от координат точки и времени. з и. диссипзтивныв силы. езнкция гзлзя Обобщенная сила сопротивления будет равна я,- ~ (к.'— ,'*) а ! (и-число точек системы). Используя (4.60), запишем Здесь векторы е выражены через !)!. После этого выражение обобщенной диссипатнвной силы можно представить в виде В д %1 Фаз!! й д4! а.! 2 а Допустим, что формулы перехода к обобщенным координата!к не содержат времени. Тогда ! оа- „~„-гяя!)!. дд! ! Квадрат скорости можно представить в виде двойной суммы ! ! ~М ! ! ! ! ! 1у-1 формулу для обобщенной диссипативной силы получим, изменим порядок суммирования: ~дг~ дг~~ а ~~ т~ ~ '(Ж~ 'аде!/ .
!=! г-!а=! Введем обозначение: П Ч)1 й (дг„дг„) а Тогда ! ! 1 д 'д з а~,,~ 1 р!гМ! — ~~~„р!.!)!. ! !у=! 1=1 Очевидно, что 2 1~~! ~~! рФ)!!)! ю=!! 246 гл. Нл мехАникА ЛАГРАнжА. ЕАРиАционные НРинципы есть функция Рэлея. Коэффициенты р» симметричны относительно индексов — они похожи на коэффициенты Ал в выражении кинетической энергии (4.72).
Отличие заключается в том, что Т» всегда есть знакоопределенная положительная функция, тогда как функция Рэлея Ф иногда может быть лишь знакопостоянной, т. е., несмотря на то, что не все |), равны нулю, функция Рэлея может обращаться в нуль. Если записать функцию Рэлея в виде то отсюда можно заключить, что равенство нулю функции Ф возможно, когда равны нулю некоторые коэффициенты й«, но среди |)| есть величины, отличные от нуля. Функция Рэлея будет знакоопределенной отрицательной лишь при полной лиссипации.
$16. Интегральный вариацнонный принцип Гамильтона (первая форма) Особое место в ряду всех известных принципов механики занимает ингпегральный вариационный принцип Гамильтона, опубликованный им в первоначальной форме в !834 г. Принцип Гамильтона позволяет выразить в простой, компактной и удобной форме законы механики — механики голономных систем, движущихся под действием потенциальных сил. В 1848 г.
были опубликованы исследования М. В. Остроградского, содержащие некоторые обобщения принципа Гамильтона, в частности, распространение принципа Гамильтона на системы, функция Лагранжа которых может зависеть не только от координат, скоростей н времени, но и от ускорений любого порядкае). Однако в настоящем курсе мы не будем рассматривать обобщения М. В. Остроградского. Принцип Гамильтона важен не только для самой механики— его особое значение заключается еще и в том, что путем обобщения функции Лагранжа удается перенести методы аналитической механики в другие, — немеханнческне, — разделы физики.
Когда мы имеем дело с различными принципами механики, то, в первую очередь, нас интересует сравнение их общности, сравнение, так сказать, размеров «подведомственных» этим принципам областей. С этой целью мы, отправляясь от принципа Даламбера †Лагран (динамического принципа виртуальных ,перемещений), выведем интегральный вариационный принцип Гамильтона. ') См„нвпример, [23), з »в. пяинцип гамильтона !паявля фоя!ча! (4.
140) Предполагая, что система голономна и что все активные силы потенциальны, запишем динамический принцип виртуальных пере- мещений в виде / ! (4.112) 5 ! Рассмотрим конечный промежуток времени, ограниченный. произвольно выбранными моментами 1, и 1,. Обобщенные коорди- наты, обобщенные скорости и обобщенные импульсы представляют собой в действительном движении некоторые функции времени.
Будем задавать в каждый момент времени изохронные вариации этих функций так, чтобы получить дифференцируемые н, следо- вательно, непрерывные функции времени 6!),(1), 6!),(1). Тогда »г 6Е будет днфференцнруемой функцией времени. Умножим обе части (4.1!2) на «(1 н проинтегрируем в преде- лах от 1, до 1»! ) »»а-) '(у !»,")и. Так как система голономная н, кроме того, пределы интегриро- вания не варьируются, то мы можем поменять местами операция! варьирования н интегрирования по времени. Правая часть содер- жит интеграл от полной производной по времени. Поэтому 6 ~ Е б(- ~ 64,,—" ~'. (4.138) ~=! Определенный интеграл от функции Лагранжа по времени носит название дайс»пвие по Гамильтону. Размерность действия для механических систем равна произведению размерностей энергии н временн. Действие по Гамильтону будем обозначать через 8! »~ Я=~ЕЖ. (4.139) Определенный интеграл (4.139) есть функционал, т.
е. число, величина которого зависит от вида функции Ь(д, !); 1). Полагая, что все «окольные» пути пересекаются в моменты. 1, и 1, с действительным, следовательно, что 6Ь!»= «, = (!, 6!7» !»- », = (), мы придем к выражению принципа Гамильтона: 6 ~ Б (д, 4; 1) «(1 =О. «! 24З Гл. Ип мвхАникА лАГРАнжА.
ВАРКАционнын пРинципы Действие по Гамильтону в действительном движении голономной системы принимает спшционарное значение, если все активные силы потенциальны, а вариации обобщенных координат равны нулю на концах промежутка интегрирования. В формулировке принципа Гамильтона говорится о стационарном значении функционала о', во-первых, потому, что устанавливается лишь равенство нулю первой вариации, а, во-вторых, потому, что функция Лагранжа может иметь любой знак ').
Полезно выражение (4.140) получить иначе, непосредственно, более простым способом. На рнс. 4.15 у, сплошной линией условно показана траектория изображающей точки в расширенном конфигурационном пространстве, штриховой линией — один нз окольных путей. Точки Р, и Р, и моменты времени 1м 4е — общие для всех окольных путей и для действительного пути. Положим дз у. + Ьу. д. д*+ 6д' 'Тогда ~=~(у. ч1 г) Вычислим действие для истинного и окольного путей: с ь З= ~(.й1, 3- ~Ай1. н и Найдем главную линейную часть приращения действия, обозначая ее через 65: Ги га 1 Ь 63-л.
ч. (Я вЂ” Я)=л. ч.~~Ей — ~Ей1~-~ л. ч.().— Е)М. ~а ь Очевидно, что л. ч.чŠ— Е)=6" = ~д~„~в — бдз+в бч,). а ! Отсюда ь с 6~=СХй +ХА ) 6 а ° ) Принцип Гамильтона иногда называют принципом наименьшего действия. Ясно, что выражение (4й40) не оправдывает такое название. Минимальность действия можно показать, потребовав, чтобы разность Гз — ц была ограничена достаточно малым числом, н рассматривая знак второй вариации. $ са.
пРинцип ГАмильтонА спеРВАя ФОРмл! Так как 6с), независимы, то л бс)с = у (6с)с) Интегрируя по частям, получим с [.~ (6-6Ч+д0 69,)й- Й ! с, с ! ,Р (6 — — дС ц-) 6с),с(с+ ) д— 6с),~ ! ! Зч 1 а так как бс)с!с-с,=О, 6с)а!с-с,=О, и в силу уравнений Лагранжа д до д/. — — — — =*О, дС дс)с дес то в действительном движении 63 О. Если мы будем сравнивать значения функционала О, вычисленные для различных окольных путей, то не обязательно получим равенство нулю первой вариации действия.
Следовательно, обращение в нуль 63 есть отличительная особенность истинного движения. Рассмотрим теперь вывод уравнений Лагранжа 2-го рода из принципа Гамильтона. Предварительно напомним, что если с, ) 1(г) рИ) с(~=О, где ф(!) есть произвольная функция времени, а пределы интегрирования выбраны также произвольно, то ~(1)=0— функция )(1) равна нулю в каждый момент времени. Для доказательства достаточно положить ср(~) =~(О. Если же сс 1 с (!) Т)(с!с!с= О, где с)(с) — любая функция времени с непрерывной производной, обращающаяся в нуль при 1 = с! и Г= Г„то равенство нулю функции г(~) можно доказать на основе леммы Лагранжа ').
(Если с)(Г!) =О, с)(са)=0, то может возникнуть опасение, что равенство нулю интеграла вызвано этими краевыми условиями; поэтому-то и нужно доказывать лемму Лагранжа.) *) См, любой курс вариачиоииого исчислеиия, например, (16). $ П. ПРИНЦИП МОПЕРТЮИ вЂ” ЭЙЛЕРА ЛАГРАНЖА 25$ На основании леммы Дю-Буа-Реймонда (см. упомянутый курс вариационного исчисления) приходим к системе уравнений Лагранжа в интегральной форме: — ) — й1+~, (в=1, ..., 1), дь г дв ~8 « где с, — произвольные постоянные, верхний предел интеграла переменный.
Система уравнений Лагранжа представляет собой систему дифференциальных уравнений кривых в расширенном (1+1)-мерном пространстве, вдоль которых действие принимает экстремальное (точнее, стационарное) значение. Эти кривые, дифференциальные уравнения которых впервые были получены Эйлером, называются вкстремалями.
й 17. Принцип наименьшего действия Мопертюи — Эйлера — Лагранжа Интегральный вариационный принцип, о котором пойдет речь, возник значительно раньше принципа Гамильтона: в 1744 г., почти одновременно и независимо, появились работы Мопертюи и Эйлера, содержащие в зародыше изложение этого принципа.
Мопертюи, формулировка которого была весьма не ясной, придавал высказанному им принципу некий всеобщий телеологический смысл — принцип выражал будто бы «целенаправленность» действий природы. Эйлеру принадлежит первая отчетливая формулировка математического содержания, которое следует вложить в понятие принципа: принцип наименьшего действия есть интегральный вариационный принцип, позволяющий вывести дифференциальные уравнения движения — уравнения экстремалей. В работах, посвященных принципу наименьшего действия, Эйлером были созданы основы вариационного исчисления и показано значение интегрального вариационного принципа в механике.
Но несмотря на это, сам Эйлер всегда подчеркивал приоритет Мопертюи. Можно предполагать, что выступления Эйлера на стороне Мопертюи в спорах того времени по поводу философского смысла и научно-познавательного значения принципа привели к тому, что имя Мопертюи удержалось в названии принципа. Отметим, кстати, что само название «принцип наименьшего действия», сохранившееся до наших дней, принадлежит Мопертюи. Принцип наименьшего действия был сформулирован Эйлером применительно к одной материальной точке.
Распространение принципа на системы материальных точек и тел со связями принадлежит Лагранжу, который в своих ранних работах, посвященных принципу наименьшего действия, применил развитый им яб2 гл. НА мехАникА лАГРАнжл. ВАРиАционные принципы метод вариацнонного исчисления к решению ряда задач земной н небесной механики (1760 — !761 гг.). Известные нам высказывания Лагранжа свидетельствуют о том, что он не разделял телеологических воззрений на принцип; ему было чуждо использование всевозможных метафизических предпосылок*).
Высказывания Лагранжа против телеологического подхода в науке о природе были подчас довольно резкими. Принцип наименьшего действия Лагранж понимал не как ,некий метафизический принцип, имеющий всеобщее значение, а как простой и общий вывод из законов механики консервативных систем **). Что касается названия принципа, развитого Лагранжем, — «принцип наименьшего дейспмия», то, по словам самого Лагранжа, это название дано им по аналогии с названием принципа Мопертюи. Перейдем к изложению принципа наименьшего действия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
