В.В. Петкевич - Теоретическая механика (1119857), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Вудет также рассмотрено и некоторое иное обобщение функции Лагранжа, связанное с построением обобщенного потенциала. Функция Лагранжа (классическая и неклассическая †обобщенная) определяется с точностью до полной производной по времени от произвольной функции обобщенных координат и времени, имеющей непрерывные частные производные второго порядка по всем переменным, Это означает, что если положить 1.'=Ь+-, д) дГ ° 224 гл. пл мвхлникл ллгвхнжх. вхгихционныв принципы где 1 = ( (»>, .
", »!' »и " »!' 1), Г = ) (»», " , »!' 1), (4.86) Вычислим полную производную по времени от функции 1(д, 1): д) с> д/ . д) — =,~ — » + —. »К»~> дд»» д! » ! Находим, далее, »=! » ! Опираясь на непрерывность вторых частных производных функции 1(д, 1), мы и докажем справедливость тождества (4.86). Следовательно, д И,' дь' »! дь дв »и д»1» дч» д! д»), дч»' Указанное свойство функции Лагранжа полезно иметь в виду при составлении уравнений движения: если, составляя функцию Лагранжа для какой-либо системы, мы придем к выражению вида Е+ — „или, в частности, к !.+г (1), то слагаемые такого рода д) нужно просто отбросить.
й 11. Явный вид уравнений Лагранжа 2-го рода и их ковариантность Уравнения Лагранжа 2-го рода в виде ддТ дТ »К д»» дч» (4.67) или, если активные силы потенциальны, то в виде 2>> — з — — — О (а=1 ° 2» .. ° ° 1)» д дЬ да д» (4.83) то левые части уравнений Лагранжа, составленные с помощью функций Г и !., совпадут. Для доказательства этого утверждения покажем, что э и.
явныя вид ирлвнинии лйгилнжя я-го рода были выведены из динамического принципа виртуальных перемещений. При этом все декартовы координаты были выражены через независимые обобщенные координаты дм д„..., дь Из самого вывода следует, что вид уравнений Лагранжа не зависит от того или иного частного выбора обобщенных координат *). Важно лишь, чтобы соблюдалось непременное условие голономности обобщенных координат, чтобы формулы преобразования были конечными или могли быть приведены к конечному (недифференциальному) виду.
Отсюда можно заключить, что если мы совершим переход от одной системы обобщенных координат к другой, используя формулы точечного преобразования, в которые может войти явно время, то вид уравнений Лагранжа сохранится. Преобразование должно быть взаимно однозначным (может быть, в некоторых пределах) и должно сохранять непрерывность вторых частных производных по всем новым переменным от преобразованной функции Лагранжа. Значит, если вместо координат д, мы введем новые обобщенные координаты Вь число которых равно 1, затем найдем выражение функции Лагранжа в новых переменных, обозначив ее через Л, то уравнения в новых переменных будут иметь вид — — — О (а 1,2." )) в дй дй (4.87) дг ~, Здесь Ве=В~(4м" чб г), л-й(Вт В, ".
Вб Вм" Фг: 1). (Независимая переменная, — время Ф,— не подвергалась преобразованию.) Благодаря этому замечательному свойству уравнения Лаг. ранжа 2-го рода называются коварианвпными (сопреобразующи,иися), Заметим, что ковариантность уравнений Лагранжа 2-го рода можно проверить прямыми выкладками. Чрезвычайно удобная и выразительная, ковариантная форма уравнений движения (4.83) как бы вуалирует структуру левых частей уравнений движения: не видно, как входят в уравнения первые и вторые производные от обобщенных координат по времени. Поэтому, ограничиваясь классическими системами, мы рассмотрим явный вид уравнений Лагранжа 2-го рода.
Пусть дана функция Лагранжа: 3 1 з,~ ~ ~Ам~А~+ ~~ пп4+Ее, с з С 1У где Ее (~7 С) Те — (7. ') Имеется в виду ааписв уравиеиий в виде (4,67) иаи джз). 8 в, в. Петвевве 226 гл. ць мвхлиикл лхгехнжх. вхеихциониыя пгинципы Найдем обобщенные импульсы ! <И. %1 а4 =,7, А!и!)!+Вв, ! затем вычислим частные производные от функции Лагранжа по координатам: ! ! 1 ! ! ' ! , !" Далее находим ! ! 1! ! с ! Подставляя найденные производные в (4.83), мы придем к явной записи уравнений Лагранжа 2-го рода: ~~Р А!,!)!+ ~ ~~Р ~ " '~)!)!4/ ( ! !! 1 ! ! Систему уравнений (4.88) можно разрешить относительно о, н представить в виде ~в=!Р,(!)г, ", 4!1 !)! " 4!' г) так как определитель из коэффициентов при вторых производных от обобщенных координат по времени больше нуля: Йе((Аю!)!.
г-! >О. Уравнения Лагранжа в виде (4.88) будут тоже ковариантнымн относительно точечного преобразования обобщенных координат (они получены из (4.83)). Поэтому, записав уравнения Лагранжа в виде (4.87), мы можем представить их в явном виде, изменив лишь обозначения в уравнениях (4.88): л+~~~,'~ ( — „'; --,,,")~~,+ ! ! !/ ! + Е ( й + (~ ц )) з!+ дх д$ =(). (4.88) $1К ИНТЕГРАЛЫ УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА, ТЕОРЕМА НВТЕР.
АВ! где ап, р! — коэффициенты в новом выражении кинетической энергии. Разумеется, точечное преобразование не меняет число уран. пений. Сохраняется и общий вид системы (4.89) -могут исчезнуть лишь некоторые частные производные от авь ()! по $в и 1. $ 12. Интегралы уравнений Лагранжа. Теорема Э. Истер Будем рассматривать системы материальных точек и тел с идеальными голономными связями, полагая, что активные силы потенциальны.
Движение такого рода систем может быть описано уравнениями Лагранжа 2-го рода д — д— — д ° 0 (в=1, 2, ..., 1). д дЬ дЬ (4.83) в)в Чв Первыми инаеграл А!и системы дифференциальных уравнений (4.83) будем называть такие функции обобщенных координат, обобщенных скоростей и времени, которые обращаются в постоянные в силу втой системы уравнений: Г!(Ч1 "° вв'! !)1 "° в)б 1)=Р!. (4. 90) Постоянные с, определяются из начальных условий. Предполагая, что функция Лагранжа задана, выведем некоторые основные интегралы непосредственно из уравнений. Обобщенный интеграл знер гни. Обе части каждого уравнения системы (4.83) умножим на !)„а затем просуммируем по всем степеням свободы: ! ! ! или в ! в ! С другой стороны, вычисляя полную производную от функции Лагранжа по времени, получим ! 1 Следовательно, мы можем записать, что 228 гл. пл механикА ллгглнжл.
вхгилционные пгинципы Предположим, что функция Лагранжа не зависит явно от времени, т. е. дл — =О. д! Тогда из (4.91) будет следовать ~(у !, '" — !)-о. (4.92) Обратимся к примеру, рассмотренному в э 1О. Функция Лагранжа для релятивистской частицы имела вид г!+ у!+ 2! Е = — л!ос' 1 — — У (х, у, г). б! Очевидно, что здесь ~ —— О. Обобщенная энергия будет равна дд Е* = х — + у —.
+ г —. — Ь. .дб .дл .дь дг ду дг Находим обобщенные импульсы: дк !иох дЬ т,д / ч! дй / и~ дл !!!!о! дг (4.95) Подставляя (4.95) в (4.94), мь! придем к обобщенному интегралу энергии мрг! Э +У(х, у, г)= Е,. (4.96) 1-"' ь!Э В левую часть (4.96) входит релятивистская кинетическая энер- гия материальной точки, выраженная формулой Эйнштейна! ф' Выражение в скобках представляет собой функцию обобщенных координат и обобщенных скоростей, которую мы будем называть обобщенной энергией и обозначать через Е'.
Таким образом, если функция Лагранжа не зависит явно от времени, то сохраняется обобщенная энергия! ! Х !) — — Е сопз( Е,. дл ч ! дд, в 1 $ !2 ИНТЕГРАЛЫ РРАВНЕНИИ ЛАГРАНЖА, ТЕОРЕМА НЕТЕР 2Я Интеграл Якоби. Если рассматриваемая система классическая и функция Лагранжа имеет вид 7. = Т, + Т, + Т, — (7, (4.84) то обобщенный интеграл энергии (4.93) превращается в интеграл Якоби *). По теореме Эйлера об однородных функциях (см.
Ч 9) ! дп дТ, дТ, ~~~~ !)'щ ~~~ !)'дЧ + Х !)'84 — — 2Та+ Т! ° (4.97) ! ! т ! т=! Подставляя в (4.93) нзйдем Т, — Т, + (7 = сопз1. Обратимся к примеру (рис. 4.12, 4 9), валось движение свободной материальной силы тяготения. Выло найдено Т вЂ”,, Ы'+т)'+Г) Т = отй() — т)$) (4.98) в котором рассматриточки под действием Та = — ($'+ т) ') 2 Потенциальная энергия точки в поле тяготения равна и(.) =-' — ". т Функция Лагранжа явно от времени не зависит (то = сопИ), поэтому можно записать интеграл Якоби -2-Ь +т) +Г) — — а +т)а) — — = Е'.
(4 99) (4.100) *) Якоби вывел обобщенный интеграл энергии, решая ограннченну!о задачу трех аел (1838 г.). Отметим, что в этом случае все функции, входящие в (4.99), ' имеют простой смысл. Мы видим, что Т, есть кинетическая энергия относительного движения точки, Т, — потенциал поля центробежных сил. Интеграл Якоби здесь представляет собой интеграл энергии в относительном движении. Отсутствие Т, в интеграле объясняется тем, что функция Т, порождает силы Кориолиса, работа которых на относительном перемещении равна нулю. Интеграл энергии (закон сохранения механической энергии). Предположим, что формулы преобразования координат ие содержат явно времени, т.
е. /дг„ Т.=т.(Ч!. Ч.,", Ч!) 1~ =О) Тогда Т,=О, Т, О. Следовательно, функция Лагранжа будет иметь вид 7 Т~-а ЮО ГЛ. 1Р. МЕХАНИКА ЛАГРАНЖА. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В этом случае мы приходим к обычному интегралу внергии (закону сохранения механической энергии) Т,+() сопз(~Ем или, так как Т= Т„ Т+(1 =Е,. (4.101) Обратимся к примеру 5 б (рис. 4.10). Система из двух точек, соединенных нитью, имеет четыре степени свободы и движется без трения в однородном поле тяжести. Составим функцию Лагранжа. Положим Чд=гь Чд=дрь Оэ Оь Чд=зь' тогда Т = — (гд + г др1 + г, Од здп' <рд) + — (гд + (1 — гд)' Од), У = тдддг, = — тдпг, сов 1Р, (ось г направлена вертикально вверх), Е= — ((т,+пд,)гд+тдгд(ф,'+Од гйп'1р,)+ +пдд(1 — гд) ад)+тдйгд сов 1рд. (4.!02) дв Очевидно, что,— = О.
Кроме того, здесь Т, = ТА= О. Поэтому дд интеграл энергии будет иметь вид Отсюда = сопз1 — с,. дь 66 (4.103) - ((тд+ тд) Гд+ тдгд (фд + йд з(пд ~Рд) + тд (1 - гд)- йд)— — тддгд соз ~рд = Ео Циклические координаты и циклические инте- г р а лы. Обобщенная координата называется циклической (термин Гельмгольца), если в выражение функции Лагранжа входит только производная втой координаты по времени.
Иными словами, коор- дината д, есть циклическая, если дд. дЬ дп, ' дд, — =О, но — ~0. Отметим, что если в выражение функции Лагранжа не входит 1)1, дв то, как вто следует из уравнения, — = О, т. е. функция Лагранжа не ависит и от самой координаты. усть д, есть циклическая координата. Тогда из (4.83) еле. дует, что з 13 интРГРАлы уРАВненнн лАГРАнжА. теоенмз натаР 231 т,г, *б,вш' ф, =ем т, (1 — г»)* бз — — сз. (4. 104) Смысл найденных циклических интегралов заключается, как мы видим, в сохранении моментов импульсов относительно вертикали для каждой точки.
Обратим внимание на то, что интегралы (4.104) не могли быть получены при помощи «жесткого» виртуального поворота системы вокруг оси Ог — так мог быть получен лишь интеграл для суммы моментов. Выведем недостающие в втой задаче уравнения. Найдем обобщенные импульсы и частные производные от функции Лагранжа по г, и ф,: дл дЬ вЂ” (т»+ тз) Рм — —— т»гбфм дауд дФ» дг, — = т,г,(ф',+б, 'вш'ф,) — т,(1-г,) бб+т»дсовфм дн дф» — = т,г, б, в( и «р, сов ф, — туг, в1п ф,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
