В.В. Петкевич - Теоретическая механика (1119857), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Рассмотрим движение материальной системы с конечным числом степеней свободы относительно инерциальной системы отсчета. Предположим, что связи голономные, идеальные и стационарные, активные силы потенциальные, и что функция Лагранжа, построенная для системы, не зависит явно от времени. Следовательно, рассматриваемая система консервптивная (может быть, обобщенно-консервативная). Требование консервативности системы свидетельствует о том, что область применимости принципа наименьшего действия значительно уже области, в пределах которой справедлив принцип Гамильтона. Предположим, что кинетическая энергия системы есть однородная квадратичная функция обобщенных скоростей, т.
е. Т = Т,, В р 9 настоящей главы было показано, что Т, есть знакоопределенная потожипельная функция. В действительном движении кинетическая энергия есть некоторая (сложная) функции времени. Образуем интеграл (1.! 4! ) и назовем его действием по Лагранжу. Докажем, что в действительном движении действие принимает экстремальное значение по сравнению с его значениями при движении системы по «окольным» путям.
В силу того, что Т=Т, есть положительно определенная функция, это экстремальное значение будет представлять собой минимум функционала. Наложим следующие условия: ') «Метафиэические предпосылки» вЂ” предпосылки, не основанные на опыте. ") В эпоху Лагранжа термина «консервативные системы» не было: Лагранж ограничивал область применимости принципа наименьшего действия теми границами, в пределах которых справедлнв »акоп «живых сил» 4 и.
пгинцип мопеетюи-эпле»л-ляг»«нжа 253 1) начальная и конечная конфигурации системы одинаковы для действительного движения и для всех движений по «околь. ным» путям; 2) время движения по «окольным» путям не равно времени действительного движения (они различаются на малую величину); 3) движение по всем сравниваемым путям совершается с одной и той же энергией. Таким образом, мы приходим к исследованию условного экстремума функционала: нужно доказать, что ь 6~та=о, (4.142) ь если бд,~ь-О, бд„ь~О, (4. 143) т+и=е„ (4.144) где У есть потенциальная энергия системы, Е,— постоянная полная энергия, ЬЕ» = О.
(4.145) Символом «6» изображается, как обычно, изохронная вариация. Заметим, что неравенство бд, ~п Ф 0 есть следствие того, что время движения по «окольным» йутям не равно времени действительного движения. Гд,, О Рис, 4лб. Предположим, что нам известна зависимость координат от времени, и что мы можем построить график функции д,=~,(1) (рис. 4.16). На том же графике изобразим аналогичную зависимость для движения по «окольному» пути в виде функции 4 = = 1,(1) (штриховая линия). Через Ы«мы обозначили разность времен движения по истинному и по «окольному» пути. Мы видим, что, если 4»)п)0, то пРи Ж»)0 Ьд,!п(0, и наобоРот, если Ы»(0, то Ь~»(п)0.
При построении графика мы исходили из того, что А (Г»+ Ы») = В (1») ° (4.146) 254 Гл. !ч. мехАникА лАГРАнжА. ВАРиАционные пРинципы Переходим к безусловному экстремуму, вводя неопределенный множитель )!. Положим Г"=Т+) (Т+У вЂ” Ео) (4. 147) и приравняем нулю первую вариацию интеграла от функции Г! !» 81Г!(1 О. (4.148) »» Так как при варьировании изменяется верхний предел, то », (Р ( — бд, + — Ь«,) !(1 + Р (ь Д(~ — — О. с, » Полагая б«,= — (б«,), затем интегрируя по частям, получим »! !» ~ У ( — '" — —" — ")б«, ~1+ „") — '"'б«,(;+Р(, Д(,-0.
» ! ! (4.149) Из условий на концах промежутка интегрирования находим Ьц» ~!, = О, б«» 1», = — «» 1!, Д( (4.150) Заметим, что это условие при 1=1, есть частный вид так называемого условия трансеерсальносл!и. Внеинтегральные члены мы можем представить в виде (- ~ »»»,.»»)»»,. » ! (4.151) » Отсюда — 'У' — '" «,+Р~ Д(,-[ — (2)+1) Т+).(Т+и-Е,)Ъ,Д(,.
» ! Мы сравниваем движения с одной и той же постоянной энергией. Поэтому Т+(7 Е . Следовательно, внеинтегральный член обратится в нуль, если положить )! — Ц2. При таком значении множителя)! функция 1Р Мы предположили, что Т=Т„поэтому, исходя из выражении функции Г" (4.147) и применяя формулу Эйлера, получим ! ,'~,— '".
«.-2(1+~) Т. 255 $ !У, ПРИНЦИП МОПЕРТЮИ вЂ” ВИЛЕРА — ЛАГРАНЖА будет равна Е = — (Т вЂ” У)+ — Ем 1 1 2 ог (4.152) Р= — Е+ — Ее 1 1 2 2 (4.153) 6 $ (3-+ Ео) «(1 =* О, Ьд~ !г, = О. Ьд« ~с, чь О, ЬЕо = О. (4 ! 54) Не следует думать, что мы пришли к выражению принципа Гамильтона: в принципе Лагранжа иные краевые условия и, кроме того, сравниваются движения с одной и той же постоянной энергией *). Теперь мы легко докажем, что первая вариация функционала (4.154) обращается в нуль в действительном движении системы.
Варьируя функционал, найдем ар; (б — Ьд,+Ьд 6!),)«(1+(Е+Ее) 61»=0. г ! Затем, используя равенство Ьд,=~(бд,), интегрируем по частям: ага (ад а лд ) Ьд !((+ ~, (,~~ Ьд«) + Ч.+ Ее)!.61»= 0 ь дд й дд «! (6д 1г, 0) При варьировании мы приняли во внимание различное время движения по действительному и «окольным» путям, Покажем, что сумма внеинтегральных членов обращается в нуль.
Для этого используем выражение (4.150): Ьда 1!.= — д«!г,Ыв ") Следует подчеркнуть, что в выражении подынтегральноа функции вель»я отбрасывать постоянное слагаемое Ее. Отбрасывая множитель !12, запишем выражение принципа наи- меньшего действия в форме, удобной для вывода дифференциаль- ных уравнений экстремалей: 256 гл.
!ч. маханиях лхгелнжл. вхгихциониыв пэинципы Следовательно, ! / ~~„~дф ц~)+( + э) з= ~~ й~ 'Ь+~.+Ео цге~® а ! и=! /с, -( — Т вЂ” и+Ее)! и,- О. В силу уравнений действительного движения, — уравнений Лагранжа 2-рода,— обратится в нуль оставшийся интеграл: с, ! ~ч;! (аь и к! ! ! Т=Т,+Т +Т, где ! 2 ! !! ! Т! = ~, В!!)» То —,~„!па(-а!) !-! а Покажем, что если в этом случае 5! =О, то интегральный вариадб ционный принцип Лагранжа будет справедлив при тех же условиях. Отличие будет в выражении подынтегральной функции: вместо полной кинетической энергии в качестве подь!нтегральной функции нужно будет взять функцию 2Т,+Т„.
Запишем равенство нулю первой вариации функционала 5 ~ (2Т, + Т,) Ф = О, (4.155) при условиях бд,~о=О, 5),~п=-!),1ьбг„ Т! — То+ (/ — Ео = 0 (ЬЕа = 0). (4.156) Мы записали интеграл энергии в виде интеграла Якоби (см. 4!2). Вводя неопределенный множитель Л, приходим к безусловному экстремуму 1~ б)гЙ!=О, !Ф Таким образом, доказано, что действие по Лагранжу принимает экстремальное значение (здесь — минимальное значение) в действительном движении голономной консервативной системы.
Предположим теперь, что выражение кинетической энергии имеет более обший вид, т. е. 2 8 ГЛ. !Ч, МВХАНИКА ЛАГРАНЖА, ВАРИАПИОННЫН ПРИНЦИПЫ гурационное пространство, показав, что экстремалями — линиями, вдоль которых функционал принимает экстремальное значение,— будут обобщенно-геодезические линии, а при отсутствии силового поля — обычные геодезические линии *). Рассмотрим движение голономной консервативной системы, предположив, что кинетическая энергия есть однородная квадра- тичная функция обобщенных скоростей, и задишем выражение принципа Лагранжа, изложенного в у 17: а 6 ~ 2Тс((=0, (4.142) и б!ув ~г, О, баев Ь, М О, Т+ У = Ез (под знаком интеграла для удобства записана удвоенная кинети- ческая энергия).
Кинетическая энергия была выражена форму- лой (4.74): 2Т ,5',,У, 'А!г!)!!)!, ( ! ! ! где А!у — известные функции обобщенных координат. Умножив обе части выражения кинетической энергии на (с(()я и разделив на 2Т, найдем ~ ~ Ап бо! !гчт (Ж) =* Введем элемент дуги траектории изображающей точки, положив (с(з)Я = „У',,У', Ац !(!у! Щ (4.157) ! ! ! дифференциал времени будет равен с(( !- =. бз У~т' Таким образом, подынтегральную функцию в выражении принципа Лагранжа мы можем теперь представить в следующем виде! 2Т с(( ~/2Т с(з, или, используя интеграл энергии, таким образом: 2т!! ! с!е,— о!е (4.158) мы предположили, что „вЂ” ) О).
( '1 Геодезическая линия — кратчайшая среди всех линий, соединяющая авв аостзточно близкие друг к другу точки (нрк виданном выражении оз). 2524 $18. ПРИНЦИП ЯКОБИ Пусть в конфигурационном пространстве начальная и конечная конфигурации системы изображаются точками Р, и Р, соот-- ветственно (см. рис.
4.17, где условно изображена система координат в конфигурационном пространстве в виде прямоугольной декартовой системы). Сплошная линия, соединяющая точки Р, и Р„есть отрезок траектории изображающей точки в действительном движении; штриховые линии изображают «окольные» уг пути. Введем параметр о так, Ф„ чтобы каждому положению изображающей точки отвечало некоторое значение о. В точке Р, параметр о равен о„ в точке Р, »(вг равен о,. Пусть ог(ог. Таким 0 образом, параметр о, непрерывно возрастая от значения о, до значения о„однозначно определяет положение изображающей точки как на действительном пути, так и на любом «окольном». Следовательно, мы можем рассматривать обобщенные координаты как функции параметра о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
