В.В. Петкевич - Теоретическая механика (1119857), страница 47

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 47)

Кратко изложим основы оптико-механической аналогии Гамильтона и рассмотрим нестрогий вывод канонических уравнений в оптике. Будем исходить из принципа Гюйгенса (1690 г.), который заключается в следующем. Волновой фронт, или геометрическое место возмущений в оптической среде, представляет собой в момент времени 1 некоторую поверхность Е. Каждая точка этой поверхности является источником возбуждения элементарных волн о (рис. 5.1). Геометрическое место возмущений в момент времени 1', по принципу Гюйгенса, будет поверхностью Е', огибающей все эле- $ !.

ОПТИКО.МВХАНИЧЯСКАЯ АНАЛОГИЯ где Ьх! — проекции смещения в касательной плоскости. Кроме. дУ того, в силу пропорциональности а„и — мы можем записать дх! равенства дУ дУ дх, дха — — =Л. ат ат ду дх! а! (5.2), Аналогично, в точках поверхности Е', дУ дУ дУ дх, 'дх, 'дхв а,' а', а,' (5.3) Световой луч, выходящий в момент времени Г из точки А в направлении т(ам а„а,), в момент У проходит через точку А' в направлении т'(а3„а,', а,'). Следовательно, если известна функ- '1 Гамильтон рассматриаал и аеиаотропиые — кристаллические — среаы ментарные волны, исходящие из первоначального фронта. Если среда оптически изотропна, то световой луч ортогонален к волновому фронту. С точки зрения математики переход поверхности Е в поверхность Е' есть некоторое преобразование, причем преобразование- контактное, или касательное (С. Лн), т.

е. сохраняющее свойство прикосновения поверхностей. Е тр Точка А' поверхности Е' называется соответствующей точке А поверхности Е, Е А' если волна, выходящая в момент времени 1 М из точки А (хн х„х,), касается поверхности Е' в момент 1' в точке А'(х,', х;, х,'). И если две поверхности касаются в какойлибо точке, то в соответствующей точке будут касаться и преобразованные поверхности. В нзотропной среде время распространения света из произвольной точки А в соответствующую точку А' есть функция лишь шести коорди-.

нат этих точек*): 1' — (=У(х„х„ха; х,', х,'„х,'). (5. 1) Обозначим через а,, а„ аа направляющие косинусы нормали. к поверхности У = сопз1, Тогда 3 3 )';а!=1 и Яабх; О, т=! 3=! 280 Гл. ч. мехАникА ГАмильтонА ция ч' — характеристическая функция Гамильтона, то мы можем описать поведение лучей в изотропной среде.

Из (5.2) и (5.3) получаем 3 з с(ч = с(с'- Й = Х',У~ ас с(хс+ Х Я ас с(хс, (5.4) с ! где с(хс — проекции смещения вдоль луча. Обозначим через п показатель преломления среды. Тогда скорость света в некоторой точке будет равна с/и, где с есть скорость света в пустоте. В дальнейшем все величины отнесем к скорости света *). Время, в течение которого свет пройдет расстояние с(5, будет, очевидно, равно з з с((=пс(Я= и с(3 Я а;=и ~~~ а;исхь с ! с ! Сравнивая с (5.4), найдем, что Л'=и', Положим Тогда псе, = $с, и'а,'. = Ц. з 3 с()с =,'У'„Цс с(хс —,'У, 'Ц с(хс. (5.5) с-! с=! Величины Ц и Ц были названы Гамильтоном компонентами нормальной медлительности**) распространения волн в точках А и А'. Обратимся теперь к бесконечно малому преобразованию поверхностей, полагая, что разность с' — ! есть малая величина, которую мы обозначим через сь!. С точностью до малых первого порядка получим охс х; — х = — бхс = — ссхс, ! с лкс Ц вЂ” Ц— = бЬ= ЦЫ.

ссс (5.6) ') С формальной точки зрения зто означает, что в уравнениях мы положим с= ! (единииа, разумеется, имеет размерность скорости). 'ь) Дальше мы увидим, что место величин Ц в соответствующих уравне лиях механики займут обобщенные импульсы. Следовательно, дифференциал характеристической функции будет равен 3 3 с()с = с((' — Ж = и' с(Я' — п с(Б = п' ~ ', ас с(хс — и ~ ас с(хс.

с с=! $1. ОПТИКО. МЕХАНИЧЕСКАЯ АНАЛОГИЯ 3 в 4[[[7 Д' = Х ($1+ аЬ Д[) (с[х!+ бе) Д9 — Х Ьбх = !1 ! - „'[~ ),— „;1-бх!+ Иб(д — „'„!)) Д[. ! 1 Отсюда 3 Л7= Х Ет[х!+ЬАВУ. Меняя знак и прибавляя в левой и правой частях дифференциал суммы 3 с[ ~', $!2„ ! 1 придем к выражению вида У З 1 а б ~,~~ Ь вЂ” ' — [р) ~[' (х! с[ь — $! с[х;). 1=! г=! (5.7) Будем считать, что все производные ![х!/![4 выражены через х„х„ х, и через компоненты нормальной медлительности $„$„$в.

Введем функцию Гамильтона Н(х„х„х,, '$1, с„йз), полагая Х- $ — — [[У =Н. дх! -' д! ! ! Если обе части (5.8) выражены через одни и те же переменные, то, подставив Н в левую часть (5.7) и сравнивая коэффициенты при одинаковых дифференциалах, найдем дх! дН сГМ дН д! дс! ' д! дх; (5.9) Таким образом, аналитическое описание бесконечно малого преобразования волнового фронта приводит к системе обыкновенных дифференциальных уравнений (5.9), в которой неизвестными функциями являются координаты точки волновой поверхности и компоненты нормальной медлительности.

Система (5.9) есть система канонических уравнений, в которой правые части получены частным дифференцированием по х! и $! функции Гамильтона Н *). *) О возникновении теории Гвмильтонв можно прочесть в следующих кньгек: [!4[, [23[, [33). Кроме того, введем функцию [ет, которую можно истолковать как «безразмерное время», положив ![У =с[йт" Дт. Таким образом„ отбрасывая член, содержа1ций (Д[)в, мы найдем 282 гл. о.

махлннкл гамильтона Некоторая нестрогость приведенного выше вывода системы уравнений (5.9) будет устранена при полном выводе канонических уравнений механики. Исследования Гамильтона в области оптико-механической аналогии продолжил Н. Г. Четаев. В работе «Об оптико-механической аналогиив Н. Г. Четаев рассматривал вопросы развития аналогии динамики с после-гюйгенсовыми теориями света, опираясь на методы теории групп (36). В этой работе им было высказано глубокое суждение о том, что «выражение аналогии состоит в совпадении группы преобразований одного явления с группой преобразований другого явленияв. й 2.

Теорема Донкина. Уравнения Гамильтона Будем рассматривать голономную систему с 1 степенями свободы, движущуюся под действием потенциальных сил. В главе !'11 было показано, что движение таких систем можно описать системой уравнений Лагранжа 2-го рода: и' д1. д1. иа а =0 (' (4.83) ж а4, ад, Йь И д1. дl — ' = ть, пт ' Ж д д (5.10) Формальный переход от системы (4.83) к системе (5.10) связан с переходом от 1-мерного конфигурационного пространства к 21-мерному пространству состояний, в котором координатами изображающей точки будут величины д и Ч.

В некоторых случаях удобно вводить расширенное пространство состояний, взяв время 1 в виде дополнительной координаты. От переменных Лагранжа д и Ц (или Ч) перейдем к переменным Гамильтона — каноническим переменным. Каноническими переменнами будем называть совокупность обобщенных координат д, обобщенных импульсов р и времени 1, причем пары переменных д, и р, с одинаковыми ннпексамн будем *) Условимся иногда ие писать индексы, если подравумеваытся все леремениые. где неизвестными функциями времени являются обобщенные координаты, 1.— известная функция переменных д, 4 и времени 1— функция Лагранжа *). От системы 1 уравнений второго порядка (4.83) мы можем перейти к системе 21 уравнений первого порядка, если введем 4формально) новые неизвестные функции т),=д,.

Система уравнений будет иметь вид и и. ТЕОРЕМА ДОНКИНА. УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА Еаж называть канонически сопряженными и), Обобщенные импульсы определяются соотношениями д!. (5.11) Соотношения (5.11), если рассматривать их как уравнения относительно д„как формулы обратимого преобразования переменных, должны удовлетворять условию разрешимости, т. е. определитель Гессе (5.12) должен быть отличным от нуля. Это условие разрешимости всегда выполняется для классических систем, так как классическая функция Лагранжа имеет вид (. = Тв+ т! + т — и, (4. 84) а следовательно, обобщенный импульс будет линейной функцией обобщенных скоростей (вообще неоднородной): ! о!.

р,= —,- ~ лги),+В,. г=! Таким образом, Ап А,в ... Аг! Ап Агв " Ан (5.13) в силу того, что Тв есть знакоопределенная положительная функция с) (гл. 1Н, $ 9). Поэтому из уравнений (5.11) всегда можно найти г)г: г)!=1! Йгэ ° ° ° э (!г~ Р! э Р»' !). (5. 14). Условимся для краткости обозначать г)г, выраженные по формулам (5.!4) через канонические переменные, символом гт)!. Функцию Лагранжа и другие функции, в которых все г)! заменены по.

формулам (5.14), будем отмечать тем же символом: т-(гг ° ° ° ° г)!' г)» ° ° !)» !) =— Г. Переменные о и г) описывают состоя ние движения некоторой системы; точка, изображающая движение системы, движется в пространстве состояний. Но состояние движения мы можем описывать и при помощи канонических переменных д и р. Усло- э) Каи мы увидим дальше, переменной, канонически сопряженной со. врелгеием г, будет обобшенная энергия, ааятав с обратным знаком и выражен-.

ная в наноничесних переменны». 284 гл. ч. мехАникА гАмильтонА нимся пространство состояний, в котором координатами изображающей точки будут а и р, называть фазовым (фаза — стадия, состояние). Число измерений этих пространств одинаково — оно равно удвоенному числу степеней свободы системы.

Характеристики

Список файлов книги