В.В. Петкевич - Теоретическая механика (1119857), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Здесь а и р — постоянные интегрирования. Образуем комбинацию подынтегральных выражений второй формы принципа Гамильтона в новых и старых переменных вида ! 1 ! (5.81) ) / в 1 предполагая, что (/ и Р выражены через )7, р. Умножим на в(1 и проинтегрируем от г=/в (можно положить /А=О) до переменного /. В силу (5.79) и (5.80) получим ср* р' — и — (й р, р,' — к))в) вв в) р). )в.вв) / в ) Через с обозначена отличная от нуля постоянная, определяющая так называемую валентность преобразования. Если с=*1, то преобразование называется унивалентным. Предположим, что /А! ~ О.
Исключая из (5.82) постоянные а и р, выразив их через )/, А/ н /, получим (~~ рф-)))-(~ р,'в* к))в) рв. !. Е. ). )ввв) / в функция У (/, )/, (/, с) представляет собой некоторое обобщение двухточечной функции Гамильтона и, как мы увидим, играет решающую роль в канонических преобразованиях. Называется эта функция проивводяи1ей (т. е. функцией, которая производит уреобразованне) — это значит, что, задавая произвольно функцию У, мы получаем формулы канонического преобразования.
Наоборот, задавая желаемое преобразование, можно найти функцию У (последнее гораздо труднее). В $ 5 настоящей главы мы рассмотрели вторую форму принципа Гамильтона в фазовом пространстве. Было показано, что в действительном движении функционал (5.70) принимает стационарное значение при условиях (5.57) и что уравнения Гамильтона могут быть выведены из второй формы принципа Гамильтона. При этом изохронные вариации 5)/ и бр рассматривались как независимые, Новые переменные 4 и Ри вариации которых также Э К КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИИ ЗО7 независимы, удовлетворяют уравнениям (5.77). Следовательно, в новых переменных будет справедлив интегральный вариациоиный принцип, аналогичный второй форме принципа Гамильтона с той разницей, что Ь(!1 ие будут обращаться в нуль на концах промежутка интегрирования. Поэтому мы должны несколько видоизменить выражение принципа, полагая 1 Ь ~ ~ Р,— ' — К сЫ вЂ” ~) Р,ЬО,~ '=О, (5.84) з 1 что позволит обратить в нуль внеинтегральные члены.
Имея в виду последовательности канонических преобразований, мы откажемся от требования обращения в нуль 817 на концах промежутка интегрирования, установив тем самым некоторое равноправие между координатзми д и новыми переменными Я: 1,11 1 Ь ~ ~~ р,— „,* — Н~в! — ~~>„р,бб7,!'=О. (5.85) 1, р ! / з ! Если система уравнений Гамильтона (5.24) переходит в систему (5.77), то этому отвечает переход от (5.85) к (5.84) и, наоборот, переход от (5.85) к (5.84) влечет за собой преобразование уравнений Гамильтона. В силу этого мы можем написать 1. ! 1 р (б ! ~ ~ р, з' — бб) бб — ~ р,бз, (,')- 1 =Ь 1 ~~ Р,— з — К~(М вЂ” ~~) РзЬГ)з~, (5.86) г,. ' / з ! где р есть отличный от нуля множитель.
Левая и правая части (5.86) будут иметь одинаковый вид («равноправиез переменных), если множитель р можно внести под знак вариации и под знак интеграла, т. е. если )б=сопз( — с. Тогда 1 Ь ~ с ~ ~~~~ Р, — * — Н~ Об — с ~> Р,бд, ~ ' = 1, 'бб / з=! ! 1 =Ь ~ ~~~ Р,— ' — К~ — ~) Р,ЬО,~ '. (5.87) Г, =! / з ! Очевидно, что 1 ) ~ (АР, р — Й~ — (АР, з' — К))бб-збб,б,б, б~'.
ббббб ГЛ. Ч. МЕХАНИКА ГАМИЛЬТОНА Подставляя (5.88) в (5.87), получим ! ! ! 6)! ~т,— 6У ~!,=(с ~~ р,б!/,— ~~ Р,69~ — (с ) р,б!7,— ~~~ Р,ба . а=! в=! /т! 1 а-! а=! /а, (5.89) Здесь 6У='~',(," 69.+" 6()), а=! моменты времени /, и /, произвольны, а вариации 6!7 и 69 независимы *). Поэтому, приравнивая коэффициенты при независимых вариациях, получим — = ср„— = — Р,. дУ дУ (5.90) дч. Мы пришли к формулам свободного канонического преобразования, которые нужно дополнить условием разрешимости (5.91) Условие каноничности преобразования запишем, используя (5.89), в виде ! Х (ср 6!/, — Р 6!е ) = 6У (5.92) 5=! / а=! / а=! (5.93) Привлекая формулы канонического преобразования (5.90), найдем К =(( —, + сН) .
(5.94) Условие каноничности преобразования, записанное в форме (5.92), не содержит новой и старой функции Гамильтона, поэтому его можно назвать универсальным, Если иметь в виду систему с заданной функцией Гамильтона, то условие каноничности преобразования можно записать н в виде (5.93). *) Если допустить аависимость между бЯ, то мы придем к аависиыости между бд и бр.
Для того чтобы найти функцию К, обратимся к (5.83). Диффе- ренцируя обе части по времени, получим З>О ГЛ. Ч. МВХАНИКА ГАМИЛЬТОНА в 1 Представим левую часть (5.98) в виде б Я~ (срд, — РД,) — Я св),брв+,Я ЯвВРв = ВУ>А>. в ! Положим У!'>,) '„(ср,!1, — Явр,) — У!'>. в ! Тогда ,У, 'с>>,бр, —,5, '~,ВР, =ВУ>з>, (5.99) Формулы канонического преобразования будут иметь вид д>!'в! д =СЧв д„! — в! д>в!!' дрв (5.100) Предполагая, что 6 д(Р' ' ' "'' > '> чь0 д(!>„!>в, ..., !>!) (5.101) >мы сможем выразить д через р и Р и рассматривать Уоп как функцию от р, Р и 1. Представим теперь левую часть (5.98) в виде ! ! б Я ср,>>в — У', с>вбрв — 5 Р,Щ,=ВУ>>>. Отсюда ! ! ~~ св>, бр, + ~, Р,б(), = 6; ~~ срдв — У >>> ~. в =! Положим У "' =- ~; ср,.„ — 1'!'>.
что прн выполнении условия (5.92) существуют производящая функция У и постоянная с, т. е. реально существуют формулы канонического преобразования, применимые и системам Гамильтона с любой функцией Н. Покажем, что можно указать еще три вида формул канонического преобразования. Производящую функцию, вариация которой определяется формулой (5,92), будем обозначать через У<'>.
Тогда ! ! ,У', Ср,бд, — '~~ ~РвЩ = ВУ>Т>. З)Р 8 Е КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ д% ..., С)с) 8 д(ч д) формулы преобразования получим из выражения ;); сд,брс+ ~ Р.б(',), = 6У)8), с ! с=! приравнивая коэффициенты прн одинаковых вариациях: дУ!8! дУ!с! дРс ~с~ф = сс)„— = Р,.
Наконец, преобразуя левую часть (5.98): ! ~ ', ср,бс),-б " , 'РД,+ ~~~~Ясбр,=бУсс) (5.103) с ! и полагая Усс) ~ Р () + Ус!) запишем ~ч~~ ср,бс),+ ~ Д,бр,=бУс~). (5.104) Отсюда получим формулы преобразования дУ"' дУ<4~ — = ср„ дс)с с! дР (5.105) Очевидно, что функция Уни должна зависеть от с), Р и 1. Это возможно, если д(рь Р8 " ° Рс) (5.106): д(РР Р8 " Рс) номера миноров Лс и функций У!') совпадают). Из приведенных выше четырех форм свободных канонических преобразований чаше всего используется первая, которую мьь будем считать основной. В виде иллюстрации приведем простой пример системы с одной степенью свободы — гармонический осциллятор.
Полагая массу равной единице, запишем функцию Гамильтона И =-; (Р'+ «'4') ! где сз есть заданная постоянная частота. Вводим новые переменные Р и Я, положив Г 2Р р = )с 28)Р соз Я, д = ~с — „зсп(~. Функция У)8) должна зависеть от р, 9 и 1, что возможно при условии (5.102) 312 Гл. т. мехАникА гАмильтонА Проверяем, выполняется ли условие каноничности, и находим производящую функцию как функцию д и Я. Так как — ~ О, то дО др в дй р = вд с1я 9, Р = — —., Следовательно, вдс1к1г'6ч — 2 ',и 69=6~ 2 с1йф Преобразование уинвалентное, вполне каноническое с производя- щей функцией Угм ~ с18Я.
2 Новая функция Гамильтона принимает простой вид К= вР. Следовательно, 1',1 будет циклической координатой. Просто находится, например, функция У "1 (здесь — чь О). дО Лля этого выразим д и Р через р и 9. Получим д= -1а17, Р 1 Ри в ' 2в сиииО' 6УМ дбр+РЬ~=-~ 1и1)бр+ —, =6( Р 18Я). Отсюда У1з1 1ь д Р' 2в Аналогично найдем У1п = Р \l 2вР— рт — Р агссоз 1 2в '1У2вр)' Угв = е- ~(2вР— в'д'+ Р агсз)п) й 8. Условие каноничности преобразования, выраженное через скобки Лагранжа и скобки Пуассона дрл дси ди ди др; др; ди ди 15.107) Рассмотрим 21 дифференцируемых функций дь рь зависящих от переменных и, о и, может быть, от некоторых других переменных.
Составим определитель Якоби % к услОВие кАнОничнОсти преОВРАЭОВАния з!з дя! дсп ди ди дрс др; ди ди Х ',и, о!. (5,108) Покажем, что необходимые и достаточные условия каноничности преобразования можно записать с помощью скобок Лагранжа. Обратимся к условию каноничности свободного преобразования в форме (5.92): с Х рбс)! — Х РМ,=Ь)г, г= ! где производящая функция зависит от с), !',) и ( (индексы суммирования обозначены для удобства разными буквами). Условие каноничностн преобразования есть условие существования производящей функции, полная изохронная вариация которой определяется формулой (5.92). Будем рассматривать с) и р как функции (), Р и выразим бс)! через 69, и ЬР;. с 6!)с= з,~~~ (~'ЬЯз+ЬР ЬР,).
с Подставим выражение бс)! в (5.92): ! у с ! 6)с ~) ~а',) рс+ — Р,~~69, + !) с ~~ рсдр! ЬР,. (5.109) г=! с ! з ! Обозначая коэффициент при ЬЯ, через М„а коэффициент при ЬР через су'„получим ! ! ЬУ = ~ ', М,ЬД,+,У', Ь),ЬР,. Условия существования полной вариации будут иметь вид дМ дМА длсз длсз дМ длсз дбз дпз ' дРз др, ' дРз дО (5.110) Вычисляем частные производные и, полагая, что вторые произ- водные де! дес дд! дС)здС)г дРздРг' дРздЯг непрерывны и что, в силу независимости Р и (~, др — О, дг)А Сумлсу определителей (5.!07) по ! от 1 до ! назовем скобкой Лагранжа и обозначим символом [и„о1: '314 ГЛ. Ч.
МЕХАНИКА ГАМИЛЬТОНА находим — — — )=О, ач! ар!! аО» д!), ~ ! ! ! ! ! ! ! !=! — — — )=О, ад, ар!! дР» дР!) — — — )=О (з~й) дч! др! 1 дР д~Ц ! ае! ар!1 дР, д!) / с ' Следовательно, необходимые и достаточные условия каноничности преобразования можно выразить с помощью скобок Лагранжа в виде [9„ Щ = О, ~Р„ Р») =О, Я„ Р»~ †„ 6,».
(5.111) бсУ * с 'Я р,б!д,— ~ Р,б'О„ ! ! ! ! ! Ь'У- ~ч~ рсб"а,— ~ Р,Ь"О,. (5.92') (5.92") В силу независимости вариаций Ь! и Ь' мы придем к равен- ствам Ь!6'У вЂ” б'Ь'У =* О, 6'6"д! — 6"Ьса, О, Ьсб"Я, — 6"Ьс»(, О. Следовательно, с ~ (6'Ч,Ь"р» — 6"у,Ь'р,)=* ~ (Ь'Ц,Ь Р, 6"д,б!Р,) (5 112) ° ! Скобки (5Л11) называются фундаментальными скобками Лагранжа. Равенства (5.111) выражают условия каноничности преобразования при любой функции Гамильтона (напомним, что независимая переменная 1 не преобразуется).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
