В.В. Петкевич - Теоретическая механика (1119857), страница 50
Текст из файла (страница 50)
(6.55) Предварительно, в виде промежуточного этапа, совершим переход от конфигурационного пространства к 21-мерному пространству состояний, в котором положение изображающей точки определяется координатами (д„..., 46 6„..., бг). Такому переходу отвечаег замена уравнений Лагранжа 2-го рода системой 2( уравнений 'первого порядка (5.10). Новыми неизвестными функциями времени являются йь которые мы при выводе канонических уравнений обозначили через т), (см. 6 2). Следовательно, действие по Гамильтону мы должны записать в виде и В=~ 7.(дт, "°, 46 т)„..., т)ю', ))Ш.
(564) ь Функция Лагранжа теперь не зависит от производных — и —, гйп йта поэтому мы не сможем получить дифференциальные уравнения экстремалей а). Построить Я' новую функцию Лагранжа мы сможем, если обратим внимание на то, что вдоль экстремалей в пространстве состояний должно быть э к принцип гамильтона свторья вормас Первая вариация функционала Я обращается в нуль для действшпельного движения при условиях (5.56) и (5.57) а). Новую функцию Лагранжа составляем по известному правилу вариационного исчисления. Положим с Л(с), ~В, т), Х; 1 =1.(ц, т), 1)+ ~), ЛсЯ-ти).
(5.58) с с Вариации переменных с), Ч, —, Л будем считать независимыми. При частном дифференцировании функции Л по любой из указан- ных переменных все остальные рассматриваем как постоянные. Первая вариация интеграла от Л обращается в нуль при соблюдении лишь краевых условий (5.57): с)л(с, на, ч, асса-о, с, дс)с(с, =О, 6с)с(и О. дй дй Замечаем, что так как —.=О, то — =О.
Отсюда находим дпс дпс дс Хс = —. дпс ' Новая функция Лагранжа будет иметь вид (5.59) (5.60) Л(у, —, ц,~: 1)= -ссе а ес.л,'ь — ( — „' — е)- лндр — (Лне — с). с с с с с (5.61) Вместо (5.59) запишем с,у с (5.62) бс)с (с, = О, 6дс (с, О. е) Вараацпа дЧС НЕ раВНЫ НУЛЮ Прп С=Сд Н С Са. Заменяя тс, через с)с и воспользовавшись выражением обобщенной энергии (см.
гл. 1т', р 12), получим выражение новой функ. ции Лагранжа в виде с с зео Гл. ж мехАникА ГАмильтОнА Переходим к выводу дифференциальных уравнений зкстремалей: 1 ! ! + 'У' , †" 6»,~' = О. Внеинтегральные члены обратятся в нуль в силу (5.57). Так кпк все вариации независимы и произвольны е), то мы можем положить 6(д— ) =О, 6!7 Ф О, 6!)1=0 (У Ф $). Тогда На основании леммы Лагранжа получаем ( уравнений вида д И. дЕ' дт д»а дд (5.63) Остальные ( уравнений получим, полагая все 6»=0, 6~ — ) чьО, !дЕ ! ! нз где 6~,— ) пРоизвольны н не обРащаютса в нУль пРи Г=Г'„~=~а, 1дв'! (д»! ) Вторая группа уравнений будет иметь вид !Г!Г! дЕь дт 1дЕ т' (5.64) д~ — ) 1д»!) Нетрудно проверить, что система уравнений первого порядка (5.63) и (5.64) совпадает с (5.10).
Перейдем теперь от переменных д, » к переменным !7, р, т. е, от пространства состояний к фазовому пространству е*). условно изобразим расширенное фазовое пространство (рнс. 5.3). Траектория изображающей точки в расширенном конфигурационном !да! ') Если предположить, что существует зависимость между 6~ — у! то мы ~ д»у'' придем к зависимости между 6» и до. ") См. пояснение к формуле (ЗЛ4). 30! пространстве будет такая же, как и на рис.
5.2. Что касается траектории изображающей точки в расширенном фазовом пространстве, то она может быть иной (в частности, не обязательно будет Р=О, если — „, =О), Напомним (см. 3 3), что 41 (5.65) при условиях Подынтегральная функция в (5.65) зависит от канонических переменных, но не зависит от дй У дт Я Составим функцию Лаг- Рис. 3.3. МЫ ВИДИМ, ЧтО Л Еетъ фуНКцИя ПЕРЕМЕННЫХ (д, —, д, )„; () и). Йт Вариации этих переменных будем считать независимыми.
д Замечая, что Л не зависит от — (4~), запишем дй дь — = = — Л,=О. дв дд, Отсюда дй )м==— = Ра дд, (см. в 32 теорему Девкина). *) Здесь удобнее в качестве новых переменных рассматривать ф, а не р. т к принцип глмильтонл ~вторая еормл> Рт=~,) ° Мт) Р' т) Фа, (.(0 Ф т) Слеаовательно, мы можем записать вариацию функционала ~' =4» Ьу;~ь О, М!ь =О. ранжа для безусловного экстремума, обозначая ее опять через Л: Л (д, ф, о, )ь; ()- т =Е+ У ~,~ф — ~,.).
(5.6У) ! (5.66) (5.57) ГЛ. Ч. МЕХАНИКА ГАМИЛЬТОНА Для новой функции Лагранжа получим выражение Л(д, ф, б, Л; (~~=7.+,'~ р,~~'-7) )1- !-! ! 7 ,7, р! ~ — ~,~ рА!-1.), ач! ! ! ! ! (5.68) в которое входит функция Гамильтона ! и =,'! „'р!!) — !, с-! (5.21) Окончательно новую функцию Лагранжа запишем в следующем виде: л= у' р,ф — и(!, р; 1). (5.69) с-! Здесь производные — не выражены через канонические пере- 4П !и менные. Следовательно, действие по Гамильтону в фазовом пространстве представляет собой интеграл от функции Л по времени (функционал), вычисленный в пределах от 1, до 1,: с.! ! Ф, ! 1 (5.70) Теперь мы можем сформулировать вторую форму принципа Гамильтона.
Пусть голономная материальная система движется в потенциальном силовом поле и состояние движения системы определяется каноническими переменными; тогда в действительном движении обращается в нуль первая вариация функционала (5.70) при краевых условиях (5.57): (5.71) 6!7! 1!, = О, 6!7! 1„О. Изложенный здесь вывод второй формы принципа Гамильтона был предложен Ливенсом 1211. а к вывод хрхвнвнии из принципа глмильтонх зоз й 6. Вывод канонических уравнений из принципа Гамильтона Рассмотрим изохронную вариацию интеграла (5.70), полагая, что вариации всех канонических переменных независимы между собой: с,1 с п)(~ р, ф-й~аь с 1 с с 1 ~ (Вр (ф — ~) с бд ( — й — ~))!!+ 7 рйа),".
!!72) с, с с ! Здесь мы воспользовались равенством 6 (+) — (бс)с) с с ~'(бр!(-ду'- — д )+бс)с(- — ~' — 5 — )) с(1=0. (5.73) ! ! Вариации бс)с н брс независимы и произвольны. Мы можем положить Ьр,=бр, .... 6Р,=О, бс)с~О. На основе леммы Лагранжа (см. гл. 1!с, й 16) получим канонические уравнения для обобщенных импульсов: — — (с = 1 2 ... )). др, дН дС д сСс Ф ° ' Ф (5.74) Вариации обобщенных импульсов не обращаются в нуль при 1=1, и 1=1,. Поэтому вторую группу канонических уравнений выведем, полагая бс)!=О и рассматривая интеграл вида с» с ~~~ 6РЯ вЂ” — д))а =О.
1 с ! !рак как брс независимы и произвольны, то дСс дН сд дрс (5.75) Таким образом, исходя из второй формы принципа Гамильтона, мы вывелн систему канонических уравнений (5.74) и (5.75). (см. гл. 1!С, З 12) и применили интегрирование по частям. В силу (5.71) получим 304 ГЛ. тт. МЕХАНИКА ГАМИЛЬТОНА й 7. Канонические преобразования.
(4еобходимое и достаточное условие каноничиости преобразования Уравнения Гамильтона обладают замечательными свойствами: они сохраняют свой вид при таких преобразованиях переменных, которые уже не являются точечными. В этом заключается одно из существенных отличий уравнений Гамильтона от уравнений Лагранжа 2-го рода. Уравнения Лагранжа сохраняют свой вид (ковариаитны) при точечных преобразованиях переменных, тогда как уравнения Гамильтона допускают значительно более широкий класс преобразований — канонические преобри свакия.
Формулы канонического преобразования были впервые получены Якоби: он вывел эти формулы попутно, применяя метод вариации канонических постоянных при выводе канонических уравнений для возмущений а). В последующее время теория канонических преобразований была широко развита в работах многих авторов.
Пусть движение некоторой системы описывается уравнениями Гамильтона (5.24): й~ дН дрт дН вЂ” — — — (ь=1 2 ..., 1), где Н(д, р; 1) есть известная функция канонических переменных. Введем новые переменные ()о Рь полагая (1е=Фт(ч Р' 1) Р =ту (и Р' 1) (5.76) (время не подвергается преобразованию). Относительно функций Фь Ч", предположим, что они однозначные (может быть, в некоторых пределах) и имеют непрерывные частные производные второго порядка по всем переменным.
Преобразование, определяемое формулами (5.76), будем называть каноническим, если новые переменные удовлетворяют уравнениям вида И4 дК йР~ дК й дРе ' й д4 (1=1, 2, ..., !), (5.77) где К = К (11, Р; 1) есть новая фуккпил Гамильтона. Число уравнений сохраняется. Заметим, что производные по времени от 9; входят в уравнения (5.77), так же как обобщенные скорости в исходные уравнения, однако в силу формул (5.76) (); уже не являются обобщенными координатами: 1;1е утрачивают смысл переменных, определяющих конфигурацию системы (позиционных координат), так как зависят не только от д, по и от р.
') См. 1381 тридцать шестая лекция, стр Хбб. ч т. Капо)и)')гские преовплзовлния Вкобиан преобразования (5.76) должен быть отличен от нуля. Обозначим этот якобиан через Л и запишем в виде д)7» ! д9~ дЯ, до« ,.' др, '" др) )л«) ...: ... )а») д7) ! д«7) д)7) дя» ! др1 " др» дч» д)7) дгп д()7,...., )7н Р„..., Р„ д(Ч»" Чб Р« " р)) дР, др) гд«) дР) др) дР, , 'др, де) ; 'др» (а») .', :° дР, ! др) дч» ! др, др, до1 дР, др» (5.78) Через Л„Л„Л„Л« обозначены миноры определителя Л. Если все Л; отличны от нуля, то преобразование будем называть свободным. При свободном преобразовании за независимые переменные — переменные, от которых будет зависеть так называемая производящая функция,— могут быть взяты переменные д и Я либо )) и Р, либо Р и );) или, наконец, р и Р. Заметим, что в совокупность независимых переменных обязательно должны входить и «новые» и <старые» переменные *).
Точечное преобразование, при котором «',)) = Р)(д, (), не является, очевидно, свободным — переменные д и )',) связаны между собой и, кроме того, Л, = О. Каноническое преобразование общего вида мы получим, если в качестве независимых переменных возьмем совокупность переменных в виде ') Прн переходе от д н р к )7 н Р выражения «новые» в «старые» переменные еще имеют смысл. Но прн повторном применении каноннческнх пре.
образований выражения «новые» в «старые» переменные будут иметь условное аначенне так как «)) утрачивают смысл обобщенных коордннат. Ит. "., Е: Рро "., Р' Ят, ". ® Р;... Р [, где 1((, у -( (может быть )'~!). Подобную совокупность можно выбрать так, чтобь) среди всех переменных не было ни одной пары сопряженных, и, следовательно, тогда нумеровать эти переменные можно в любом порядке [9!. Очевидно, что преобразование такого вида может не быть свободным. Несвободные канонические преобразования, в которых на переменные наложены дополнительные связи, например, связаны между собой д и )',), рассмотрены в [33!.
В настоящем курсе мы ограничимся лишь свободными каноническими преобразованиями. Выведем выражение для производящей функции и сформулируем необходимое и достаточное условие каноничности преобразования. ГЛ. Ю МЕХАНИКА ГАМИЛЬТОНА (5.80) Исходные канонические переменные удовлетворяют уравнениям движения, поэтому в/,=)/,(/, а, 5), р, р,(/, а, ()), (5.79) а так как Я и Р зависят от )/, р, то 9,=Я,(/, а, ()), Р,=Р,(/, а, р).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
