В.В. Петкевич - Теоретическая механика (1119857), страница 53
Текст из файла (страница 53)
1 Рассмотрим еще пример. Пусть исходная функция Гамильтона имеет прежний вид Н вЂ” (р'+ юэд). 1 2 Потребуем, чтобы новая функция была равна К *= иа()Р, (5.138) где 1е — 1. Применим неунивалентное, вполне каноническое преобразование: др д)г — *= ср — = — Р. дд ' дЯ Запишем уравнение в частных производных: 2 1)а дд) + и ) () дЯ' Решение ищем в виде У - —,' (Ад +2Вд()+О() ), (5.139) где А, В, 0-неопределенные постоянные. и ) Если иэве.тен полаыа интеграл Р Рп, то, исключая ое иэ — и дуи М уи п' ' дд ', можно восстановить исходное уравнение 12,127), Полученное решение есть полный интеграл*). Но в качестве производящей функции зто решение непригодно, так как да „ дд до —" = О. $ !О.
ТЕОРЕМА ГАМИЛЬТОНА ЯКОЗИ Вычисляем производные: дУ д — — А!!+ В1~' д0 — В!!+ Щ. дУ Подставляя в уравнение и полагая с 1!о, найдем А=«о», 0= — 1, В=го»3/2. Следовательно, У = — (го»!!» — Я») + гго )/2 Щ 2 (5.140) Очевидно, что — = !'го3/2 чь0. д»У дд д0 Выпишем формулы канонического преобразования! (г = = (Р+ О) Р = ~= (Р— ног!)* ! ! Уй Уй с= — =(Ю-Р), р= —. (0+Р). ! го УЗ Нетрудно проверить, что новая функция Гамильтона будет иметь требуемый вид: К с(0)«, р о, р=!«о()Р.
Отметим, что новые переменные будут независимы не только к и немати ческ и, но и ди н ал! и чески. В самом деле, каждая из новых переменных будет описываться «своим» уравнением! дЕ . дР— ггоЯ вЂ” = — иоР. д! ' «Г Интегрируя эти уравнения, найдем (е = с,е'"', Р = с,е-'"', где с, и с,— произвольные постоянные интегрирования. й 10.
Теорема Гамильтона — Якоби В 2 1 главы Ч была упомянута идея Гамильтона, заключаю. щаяся в установлении родства между общим решением канонической системы дифференциальных уравнений и решением да ух уравнений в частных производных первого порядка. Якоби, развивая эту глубокую идею Гамильтона, создал метод интегрирования канонической системы уравнений, показав, что если известно решение (именно, полный интеграл) одного уравнения в частных производных первого порядка, то общее решение канонической системы находится дифференцированием полного интеграла по !!« Гл.
ц мехАникА гАмильтонА (5.143) ") К. Якоби ((ЗВ1, девятнадцатая я двадцатая лекции) показал, что одно нв уравненвй в частных производных Гамильтона есть следствие другого, обобщенным координатам и по каноническим постоянным а). Так возник плодотворный и гибкий метод интегрирования канонических уравнений, позволяющий найти общее решение в удобной форме при одном лишь условии: уравнение в частных производных должно допускать разделение переменных. Пусть голономная система движется под действием потенциальных сил.
Определяя состояние движения системы каноническими переменными, запишем уравнения движения в канонической форме: — — — — — (в=1, 2, ..., 1), (5.24) где О(д, р; г) есть известная функция канонических переменных. Составим уравнение в частных производных первого порядка: %+О(ч Ю.
1) О (5.141) где У есть неизвестная функция, а частные производные — входу до дят в функцию Гамильтона вместо импульсов. Уравнение (5.141) будем называть уравнением Гамильтона-Якоби. Функция У = У (д, а; ()+а,+, (5.!42) есть полный интеграл уравнения (5.141), т. е. решение, зависящее от произвольных постоянных а, число которых равно(1+1), и удовлетворяющее условию Так как в уравнение (5.141) входят лишь производные от функции У по д, и з, то одна из постоянных будет аддитивной — ее можно отбросить. Сформулируем и докажем теорему Гамильтона- Якоби. Общее решение сиспммы канонических уравнений (5.24) в проинтегрированной форме дается формулами ду др (5.144) два а' ди гдг У есть полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби а р,— произвольные поспзоянные, отличные от постоянных а,.
Мы рассмотрим два доказательства теоремы Гамильтона— Якоби. Первое основано на непосредственной проверке того, что функции (5.144) при условии (5.143) представляют собой независимые интегралы системы (5.24), записанные в виде, неразрешенном относительно всех постоянных. 4 1к теоремА ГАмильтОнА — якови достаточное условие того, что некоторая функ- переменных Г(д, Р1 1) есть интеграл системы Необходимое и ция канонических (5.24), имеет вид (5.39) Положим дУ 1= д — Р др тогда, так как — =О, — =О, дУ др~ др ' др — =О др~ д~ найдем Следовательно, — д(,— )+( —, н)=О.
Теорема доказана: функции (5.144) представляют собой интегралы системы (5.24), Если, кроме того, выполняется условие (5.143), то эти интегралы независимы — они дают общее решение системы (5.24) в проинтегрированном виде. Заметим, что решение системы (5.24) дано в неявной форме, но выполнение условия (5.143) позволит из (5.144) найти д; = д; (1, а, ()), р; = р, (1, а, ()). Постоянные я и р называются каноническими постоянными. Обратимся к другому доказательству, основанному на применении свободного, унивалентного канонического преобразования.
Функция У(д, а„т) есть решение уравнения (5.141), поэтому выражение в квадратных скобках обращается в нуль и тем самым удовлетворяется условие дг (а Р') + 1(а Р ), Н~) — О. (5.39) Положим теперь 7= —. Подставив в (5.39), получим ду дсс, ' д дчц д (дг+ (4' д ' )1 326 Гл. у. мехАникА ГАмильтонА Пусть канонические переменные д, р преобразуются в переменные Я, Р с помощью формул — Є— = — Р„ дУ дУ (5. 90) дчз ~' дЦ где производящая функция У зависит от д, Я, г и удовлетворяет условию (5.91) Новая функция Гамильтона К определяется формулой К=Я+ о) (5.94) Для доказательства теоремы Гамильтона-Якоби применим каноническое преобразование частного специального вида, положив К =О.
Тогда из уравнений М~ дК йР дК <й дРА' сМ д~~ найдем Я, сопз1 = а„Р, = сопз1 = 1),. Функция У (д, и; (), производящая такое преобразование, будет решением уравнения в частных производных первого порядка, которое получается из (5.94) при К = О, — уравнения Гамильтона— Якоби: 'У+ Н((4, ' — У; 1)=О. (5. 141) Условие (5.91) переходит в (5.143) Следовательно, производящая функция будет полным интег р алом уравнения (5.141). Формулы канонического преобразования (5.90) переходят в дУ дУ вЂ” =Р (5. 144) дч~ ' дя~ Канонические переменные д и р в силу канонического пре. образования должны удовлетворять исходной системе (5.24), а так как они зависят от времени и 2! произвольных постоянных а и 5, то решение будет общим.
Второй вывод, как мы увидим дальше, позволяет более наглядно выявить важные свойства фазового пространства. Что касается приемов интегрирования уравнения в частных производных Гамильтона — Якоби, то о них пойдет речь в 4 12 в связи с решением некоторых задач.
ь н. Деиствне с пеРеменным пРеделом 11. Действие с переменным пределом. Теорема Лиувилля Рассмотрим унивалентное свободное каноническое преобразование и обратимся к выражению (5.83), полагая о=1: с( с ,с ((~ р, й* — и — (~ р,"„, — «))рр=рср, р., р,нс.
срнс! ср р=! Заметим, что можно считать 1,=0. Положим К=О. Тогда л0. ссРр — '=О, ссс — 0 сп Я, = сапа( =(;ср (1н), Р, = сопз1 = Рр ((н). Выражение (5.83) переходит в с7 с (~ р,ф-н~)рр=рср. р.н!. (5,145) р=! (5. 150) Предположим, что известно общее решение системы канонических уравнений в виде Чс = Чр ((р Чор Рн) Рс = Рс (с Чн Рь) (5.146) Здесь рн=р при сн=О, Ч,=Ч при сн=Π— начальные данные Коши.
Так как Ян зависят от Ч, и рь, то вместо (5.145) запишем ср ! ! т р,н* — н))ю=нн, р, с„р!. (5. 147) р ! Допустим, что определитель Якоби д(ч„..., сп) (5. 148) дОссн ", Ра) не равен нулю. Тогда из первой группы уравнений (5.146) мы можем выРазить Рн чеРез 1, Ч, Ч,: Р о = Р и (1 Ч Чн). (5. 149) Подставляя (5.149) в (5.147), представим интеграл в виде функции времени, начальных и текущих значений координат: 17 с (~ р, р' — н)ср=нср, р, рн. ь Функция 8 называется главной функцией Гамильтона. При фиксированном верхнем пределе главная функция превращается в характеристическую двухточечную функцию, упомянутую в 5 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
