В.В. Петкевич - Теоретическая механика (1119857), страница 57
Текст из файла (страница 57)
5.6). 2. Система с одной степенью 4гн свободы — неоднородный каток (рис. 5.7). Рассмотрим цилинд. Рнс. 6.6. рический каток, который может катиться без скольжения по горизонтальной абсолютно шероховатой плоскости. Масса катка равна т, центральный момент инерции *а*) равен гс, радиус равен г, расстояние отгеометриче- ") Движение реальной системы может оказаться близким к периодическому. *') Постоянной величине можно приписать любой период. *"*) Момент инерции относительно горнзонтальной оси, проходящей через «ентр масс.
000 ГЛ. Ц МЕХАНИКА ГАМИЛЬТОНА ской оси до оси, проходящей через центр масс С, равно а. Каток движется под действием постоянной силы тяжести'. Положение катка будем определять углом В. и$0 Рис. 5.7. Рис. 5.0. Через точку касания Ои проходит ось мгновенного вращения. Поэтому скорость центра масс будет равна ос р где Р=О*С= На основании теоремы Кенига запишем выражение кинетической энергии т ~с. Т = — (г '+ а* — 2аг соз В) 0'+ — В'.
2 2 Потенциальная внергия катка равна (1 = — тра сои О. Находим обобщенный импульс ри = — = (1 — 2аг сов В) В, дЬ дВ где положено т (г'+ а')+1с = 1. Запишем функцию Гамильтона Ри Н= (, — тдасозВ. дН Замечая, что — =О и, следовательно, Н =сопи(, запишем уран. пение траектории изображающей точки иа фазовой плоскости ри='гг2(1 — 2аг сов В)(тйасоз О+Н). Замечая, что р) О при а<г, построим качественно фазовую траекторию изображающей точки (рис.
5.8). Кривая 1 отвечает 301 а 1з. пннвмвнныв дннстзив-кгол финитному изменению угла 0: угол периодически колеблется в пределах ( — 0ь +0,). С тем же периодом колеблется и обобщенный импульс рв — каток переваливается с боку на бок. При достаточно большой начальной скорости каток покатится по плоскости — изменение угла 0 станет инфинитным, обобщенный импульс будет периодической функцией угла 0 с периодом, равным 2п.
Случай 2 отвечает асимптотическому стремлению угла 0 к и (стремлению центра тяжести С к наивызшему, неустойчивому положению) *). 3. Задача Кеплера — система с тремя степенями свободы. Формулы (5.181) выражают зависимость обобщенных импульсов от координат: Р. = ~l 2аз+ †, — †,.' Рр = ф с4 -,— з , Рв =аз. (5.181) Предположим, что се ( О, и будем рассматривать эллиптическое движение. Вводя для удобства переменную Бине и = 11г, запишем рг в виде з т з,з2у Так как при аз О т периодически изменяется в пределах от г, до г„то на фазовой плоскости (р„и) получим замкнутую траекторию (рис.
5.9). Рис. 0.9. Что касается изменения угла ~р, то, приравнивая рв нулю, найдем — ~ — ~ ( соз ср и--+ ~ — ~. Следовательно, угол <р изменяется в пределах ( — 1, + 1), где 1 есть угол наклона плоскости орбиты к плоскости (х„ х,) (см. рис. 5.4). Фазовая траектория изображающей точки на плоскости (р, ~р) представлена также на рис. 5.9. Фазовая траектория на *) См. 0 3 гл.
11, где рассмотрено качественное исследование движения с вомоитью квздратичного интеграла. Финитное периодическое изменение координаты часто называют либрацлза, ГЛ. Ч. МЕХАНИКА ГАМИЛЬТОНА плоскости (рз, 6) будет прямой, параллельной оси абсцисс, а углу 9 мы припишем период, равный 2п. Приведенные примеры в достаточной степени характеризуют свойства рассматриваемых систем, поэтому мы обратимся к переменным действие — угол. Запишем укороченное уравнение Гамильтона — Якоби н(ч ° А )=сюнн (5.223) где а,+, есть постоянная энергия. Полный интеграл ищем в виде суммы (г = У', Я7~(д~).
(5.224) 1 ! На основании теоремы Гамильтона-Якоби запишем (5. 225) ~чв В выражение обобщенного импульса Р, входят, кроме д„независимые канонические постоянные а (может быть, лишь некоторые из них). Вместо канонических постоянных сс, вводим новые канонические постоянные-«действияю 1,— при помощи интегралов вида )ю = О) Рюш» (5.226) где пределы интегрирования определяются областью изменения координаты д,. При инфинитном изменении координаты действие вычйсляется по формуле ю ю + юю Рюбг)ю, где т, есть период обобщенного импульса, т. е.
Рз (Чю + тю) = Рю (Чю). Если д, есгь циклическая координата, то 1ю = 2пр,. Очевидно, что .7,=$ '~;(ч'")54,=Р,( ). (5.227) Следовательно, действия 1„выраженные через независимые ка- нонические постоянные сюь можно считать новыми независимыми каноническими постоянными. й ! 3. ПЕРЕМЕННЫЕ ДЕНСТВНЕ УГОЛ Из (5.227) находим ат = 1у (2). (5.228) Тогда Я7 (д, а) - ((У (д, 1(У)) = кт ' (7, .)). Так как в силу консервативности Н = сопз( = азы, где азв! есть одна нз старых канонических постоянных, то, переходя к переменным действие — угол (к новым каноническим постоянным), мы найдем К=Н(УН ..„У!); (5.229) К есть функция Гамильтона, выраженная в переменных действ не — угол.
Рассматривая Ф" (!7, у) как производящую функцию, запншем формулы канонического преобразования, которое переводят переменные д, р в новые переменные ') гн,,у: дйг' дЯГ' дв'в ' и дев ' (5.230) Предполагаем, что е(( ~ду ) чьО. Канонические уравнения в новых переменных будут иметь внд — — — О. т(!з дК дз' дК т(т дХи ' т(! (5,231) Очевидно, что координаты тн, — цнклнческне. Из формулы (5.229) следует ак дд — Сонзт = тв (У). Понтом у (5.232) Выясним смысл постоянных т,.
Пусть обобщенная коорднната (1~ изменяется на величину ту (ту есть период изменения координаты !7у, в частности, ту 2п). Найдем соответствующее приращение а!,: С д!зв Г дзйг' а г б ь=у — 'бт)»=у-~ — ~ — бЬ -5 — у р»бг7». $ дч» 'д д» у,У Но $ р»бд» вЂ” — Х». в) Преобразование уннвалентное, свободное. Пронзводящая функция зз.
внснт от новых импульсов н старых координат (см. формулу (б,105)). Пераменные !в в небесной механике получили названне угловых, !й В. В. Петкевич гл. т, мвхлникх гамильтона Поэтому дХв (1, л = в, бвв~ ( д/ в ~Д Ь ЧЬ В Иэ (5.232) находим ад,=т,т,=1. Отсюда (5.233) (5.234) (5.235) Следовательно, постоянные т, равны частотам изменения координат о,. Рассмотрим снова в качестве примера одномерный гармонический осциллятор. В 2 7 мы, рассматривая осциллятор, применили каноническое преобразование, в котором старые и новые переменные были связаны следующими формулами: /2Р Р=У2аРсовй, о= у — в1пЯ (в — частота колебаний осциллятора).
Функция Гамильтона, имевшая в старых переменных вид (Р +м Чв) в результате преобразования становилась равной К =аР. Нетрудно убедиться в том, что введенные в 2 7 переменные ф, Р пропорциональны переменным угол — действие гэ, 1. С этой целью, используя интеграл энергии Н =а, найдем действие г-$ры-Вуж- 9ч (св есть постоянная энергия). Для вычисления интеграла положим 1 7 ° — )/2я в1пр, тогда в' — „соввр 6р 2а Г 2ко Отсюда получим выражение новой функции Гамильтона К=вв ~ А 2з Запишем теперь канонические уравнения в новых переменных: ~йа дК сУ дд й дв' ' вг йа' ззз в ж пвевмвнныв двпствив — »тол или Интегрируя, находим и = — 1+ сопз1, 2п 1 = сопз$ — К.
2п «» Напомним, что в 2 7 переменные !',! и Р имели внд Я=а!+сонэ!, Р = — К. 1 Мы видим, что действительно переменные Я, Р пропорцио. нальны переменным угол -действие: 0=2~~, Р= 2 1 ! Р«== — Р. 1' 2а Нетрудно проверить, что в системе дм р, величины УР =1l — и Я =2п!е У 2а будут полярными координатами изображающей точки. Используя формулы, связывающие д, Р, Я и Р, находим д, и р«: I м.а/2Р у — ь — з!и!1=З~Р жп Я, Р»==~12вР созЯ=УР соз1,'!. Г' 2«» Полученные формулы говорят о том, что изображающая точка на плоскости (д„р!) движется равномерно по окружности радиуса ~/Р с центром в начале координат. Полярный угол Я=2жо отсчитывается от оси р,. Из приведенного примера ясно, почему переменные «е называются угловыми. Подобным же образом можно интерпретировать переменные в, в многомерных случаях как угловые координаты точки на некотором многомерном торе, В случае вырождения чаатбты системы связаны между собой некоторыми линейными соотношениями о целыми коэффициентами.
В частности, если постоянная энергия а!+» есть функция 12* Переменные ю называются «угловыми». Поясним происхождение этого названия. Введем на фазовой плоскости ортогональные кооРдинаты Ры Р„ положив Гл. т. мехАникА ГАмильтонА Полагая найдем р,*+ Таад) = а), Следовательно, 2а4 (74+ УЬ+ 74), Ф дЯ4 44 Л дГА 244 (й 1, 2, 3). й 14.
Вариация канонических постоянных Рассмотрим голономную систему, движущуюся под действием потенциальных сил. Уравнения движения запишем в форме уравнений Гамильтона: дд4 дп др4 д14 з 1 2 . 1) (524 Здесь Н(д, р; 1) есть известная функпия канонических переменных и времени. Предположим, что, как это часто бывает, проинтегрировать систему (5.24) мй ие можем. Разделим функцйю Н на две части, положив Н (д, Р; 1)- Н, (д, Р1 1)+Н,(д, р1 (), и соатавнм уравнения Гамильтона, правые части которых полу- чены дифференцированием функции Н,: — — — — (з 1 2, . 1). (5.236) дд дНТ др 4 дН, а др,' 4п дв, Единственное условие, которому подчиняется операция разделе- ния функции Н, состоит в том, чтобы система (5.236) была интегрируема.
Находим общее решение методом Гамильтона-Якоби' д, д4(1, а, 6), р, р,($, 44, 6), (5.237) где а и 1) -канонические постоянные. Покажем, что мы можем найти такие функции времени и постоянных а, Ь, подставив которые в (5.237) вместо а, 5, по. лучим искомоа общее решение системы (5.24). от суммы действий, то частбты колебаний всех переменных д4 равны и траектория изображающей точки будет замкнутой, Так будет, например, для пространственного осциллятора, интеграл энергии для которого имеет вид 3 2 Х(~ '+ в ! $1С ВАРИАЦИЯ КАНОНИЧЕСКИХ ПОСТОЯННЫХ К (~' +Н) к =(( — "„+ и,+ н,). или Круглые скобки означают здесь, что правые части выражены через новые переменные.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
