В.В. Петкевич - Теоретическая механика (1119857), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Если неподвижна одна точка, то виртуальный поворот возможен вокруг любой осн, проходящей через неподвижную точку. Условием равновесия будет равенство нулю главного момента (вектора) всех внешних снл относительно неподвижной точки*). Записав динамический принцип виртуальных перемещений (гл.
)Ч, $ б) в виде ~ ((У'- —,) Ьг) Ьт+ + Д (Р„бг) Ьо = О (6.35) о 4' Рие. 6.3 выражая виртуальное перемещенне Ьг по формуле Эйлера, мы сможем вывести уравнения движения тела в различных формах, в частности, получить обобщение основных теорем динамики для свободного тела. Рассмотрим некоторые частные виды массовых снл н найдем место приложения равнодействующей. Пусть тело движется в однородном поле тяжести (рнс. 6.3) относительно системы осей х, у, г (ось г направлена вертикально вверх). Очевидно, что здесь ~=й, где а' есть ускорение свободного падения. Находим сумму массовых снл Рт~> 1 й Ьт = Мй.
Прнравняем момент силы Р( ) относительно точки О полному моменту всех массовых снл: '(гсГ("'г)= г)у ЯЬт ') Предполагается, что треииа в аподшипиияаха яетв 376 ГЛ. ГЬ МЕХАНИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА где дс есть неизвестный радиус-вектор точки приложения равнодействующей, г — радиус-вектор точки тела. Обозначая координаты точки приложения равнодействующей через Х, У, 2, запишем М Х 'т' е =) х у а бпт, Где 1, /, Ф вЂ” единичные векторы, направленные по осям х, у, г.
Проектируя векторное равенство на оси координат, убеждаемся в том, что Х и У равны координатам центра масс1 Х вЂ” ~ х бит, У вЂ” ~ убл1. 1 Г ! г Р т и 1 щ е х р б з е (Хе ВЗ1на), ") Повернув тело, мм можем, определяя точку пересечения линий действия равнодействующей, построеиием иайти центр масс, совпадакиций о цеитром тяжести. Координата 2 остается неопределенной. Мы видим, что суммарная массовая сила — сила тяжести — может быть приложена в любой точке вертикальной прямой, проходящей через центр масс (в пределах тела), и тогда ее действие на тело будет эквивалентно действию распределенных алементарных сил тяжести *). У Неопределенность координаты Я не случайна. Дело в том, что если тело абсолютно твердое, то силу, действую«« щую на тело, можно приложить в лю- бой точке линии действия этой силы, ю4 так как при передвижении вектора силы 41 вдоль линии действия не изменяется момент силы.
Следовательно, математическим образом силы, приложенной к абсолютно твердому телу, является «скользящий» (передвигаемый) вектор. Рассмотрим еще пример (рис. 6.4). й Пусть однородный стержень длины Рис. 6.4. покоится относительно неинерциальной системы отсчета — равномерно вращается вместе с системой х, у, г вокруг осн Оь (оси Ог и Оь совпадают). Система $, т~, ь неподвижна.
Стержень находится в плоскости (х, г) и образует угол се с осью г. Суммарная сила инерции будет равна в 3. КинемАтические и динАмические уРАВнения 377 где р есть линейная плотность, бз - элемент длины стержня. Вычисляя интеграл и положив р М(1, где М-масса стержня„ находим г<т! и' 1Н1»!па г! ! р<т! » 2 ~ У Сравниваем моменты сил относительно оси Оу, обозначая через л неизвестную координату точки приложения равнодействующей: ЛР„'"' = ~ м»хгр бз (г з соз а).
о Отсюда 21 Š— соз а. з Мы видим, что линия действия равнодействующей центробежной силы инерции не проходит через центр масс стержня. Точку, через которую проходит равнодействующая сила инерции, можно назвать центром инерции. Поэтому замена термина «центр масс» термином «центр инерции» неудачна.
5 3. Кинематическне и динамические уравнения Эйлера для тела с одной неподвижной точкой. Кинематические уравнения Пуассона. Уравнения Лагранжа 2-го рода Во многих задачах механики абсолютно твердого тела рассматривается вращательное движение тела, одна из точек которого неподвижна относительно некоторой системы отсчета. К такого рода задачам приводит, например, теория гироскопа. И в механике свободного тела в случаях, когда можно отделить вращательное движение относительно осей Кенига от движения центра масс, мы приходим к задаче о движении тела с одной неподвижной точкой — центр масс неподвижен относительно осей Кенига.
Например, в задаче, связанной с ориентацией в пространстве искусственного небесного тела. Проблема вращательного движения тела с одной неподвижной точкой представляет собой одну из наиболее сложных проблем механики. И даже задача о движении абсолютно твердого тела с неподвижной точкой в однородном поле тяжести (без трения)— это труднейшая проблема, занимавшая умы многих великих ученых. В 1749 Р.
были опубликованы исследования Даламбера, где, в частности, рассматривалось равновесие свободного тела *). Создателем же механики абсолютно твердого тела !кинематики ЗТЗ ГЛ. »П. МЕХАНИКА АВСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА Введем орты ет, эи Орт»«направлен по линии узлов. Если одна из точек тела неподвижна, то такое тело представляет собой голономную систему с тремя степенями свободы. Введем три обобщенные координаты — три угла Эйлера: угол собственного ераи(ения д,=ф= ~ (КОх,); д»-3- ~ (у»Ох»); д,=ф= ~ (у ОК). угол нутации угол прецессии На рис.
6.5 все углы положительны. Положение тела относительно системы у„у„у, будет известно в кажный момент времени 1, если мы сможем вычислить координаты у,(() любой точки тела. Так как координаты точек тела относительно осей х„х„х„постоянны, то координаты у, (() мы сможем найти, если будут известны углы Эйлера как функции времени. Для Етого нужно выразить косинусы углов между н динамики) по праву считается Эйлер-ему принадлежит вывод бсновных кинематических и динамических уравнений движения тела. Эйлером дано также полное аналитическое решение задачи о движении тела с любым распределением масс в случае, когда момент внешних сил относительно неподвижной точки равен нулю.
Результаты Эйлера опубликованы в 1758 г. Рассмотрим углы Эйлера, кое торые являются удобными обоб- щенными координатами, и вывез» " дем кннематические уравнения Эйлера. = — — — -Ь вЂ” — — Пусть тело движется отное, =-. е сительно осей у„у„у,. Начало системы координат совпадает У«с неподвижной точкой тела (рис 6.5, где само тело не изо- х, бражено).
Оси х„х„х, жестко К скреплены с телом («вморожеРис. аль ны» в тело) и в наших рассуж- дениях являются как бы «предтавителями» тела. Линия пересечения плоскостей (у„у,) и х„х,) — прямая ОК вЂ” называется линией узлов. Линию пересечения плоскости (х„у,) с плоскостью (хь х,) обозначим через ОМ, а с плоскостью (у„у,) — через ОУ. Очевидно, что ОМ1ОК, ОФ(ОК.
й 3, кинемАтические и динАмические уРАВнения 37В Т ями хг и уг через тригонометрические функции углов Эйлера *). огда координаты у7(г) могут быть выражены через координаты хг с помощью формул з у) (() = Х ап Я хг (6.36) где ап соз (Оу, Охг) = соз (е„э,). Проектируя единичные векторы (например, векторы э, на оси у)), составим таблицу косинусов ал, выраженных через углы Эйлера: (6.37) Мы видим, что углы Эйлера действительно могут быть выбраны в качестве обобщенных координат **).
Обратимся к выводу кинематических уравнений Эйлера, выражающих проекции мгновенной угловой скорости тела на оси х, Рис. 6.6. (нли у)) через производные от углов Эйлера по времени, применив для итого сложение вращений. На рис. 6.6 изображены три системы осей, из которых система у„у„уз неподвижна. Положение тела относительно первой ') В з 7 гл. 1 приведены таблица косинусов н соотношения (ц57) (соотно. щения ортоиормированности) о иными обозначениями осей координат. е*) В механике абсолютно твердого тела с одной неподвижной точкой используются и другие обобщенные координаты (см„ например, (3), (33)).
ГЛ. Ч1. МЕХАНИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА системы КМх, определяется углом ф, относительная угловая скорость равна ю' эвф. Положение первой системы относительно второй системы Кл!уе определяется углом 8. Первая система вращается вокруг линии узлов с угловой скоростью ю'=н9. Наконец, положение второй системы относительно неподвижной системы определяется углом прецессии ф Вторая система вращается с угло* вой скоростью ю = евф. Векторы ю" и юм удобно выразить через составляющие по осям х, х: » хе» Ю" = ый = Э1$ соз ф — Эвй з!и ф» (6.36) ю =авф=э1»р з!п 9 з!п ф+эеф з(па сок ф+эе»р сок а, (6.39) Часто вводят следующие обозначения: ю1= Р» юв =*8» юв =*г Тогда уравнения (6.41) примут вид р $з!паз)пф+9соз1р, д = $ з 1п 8 соз 1р — 6 з1п ф, г $ соз 8+ ф.
(6.42) Мы пришли к системе кинематических уравнений Эйлера, связывающих проекции мгновенной угловой скорости на декартовы оси с углами Эйлера и их производными по времени. Существенно, что левые части этих уравнений мы не можем рассматривать как производные от некоторых углов по времени — мы ие можем найти связь между углами поворота тела вокруг декартовых осей и углами Эйлера, Система (6.42) не может быть проинтегрирована заранее (до решения конкретной задачи). Поэтому проекции мгновенной угловой скорости на ортогональные осн '1 неизвестные векторы удобно прелстввлягь ивпрввлениыми положительно. Предполагается, что все вращения положительные *).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
