В.В. Петкевич - Теоретическая механика (1119857), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Уравнение (5.238) содержит производную по явно входящему в функцию У времени. Следовательно, так как вид функции У не изменяется, то в силу (5.238) дУ вЂ” +Н, 0. 4И Отсюда находим выражение для функции К4 к = (НА). В выражение функции Н, мы подставили д, д4)4, аЯ, 5(Ф)], р, р,((, а(г), р(ю)]4 где сс(Г), ]) щ — новые неизвестные функции.
(б.240) (б,241) Составим уравнение Гамильтона — Якоби д4 +НА(Ъ д ~ г) (5.238) Запишем полный интеграл этого уравнения.' У У(47, 44~ 4), бе((д -5„-) Ф0. Общее решение системы (5.236) находим а помощью формул дУ РΠ— -()4 дУ д444 (5.239) которые мы можем рассматривать как формулы канонического преобразования.
Новая функция Гамильтона, определяемая формулой К --~;+~ (4, —,, ). дУ дУ. здесь равна нулю. Если теперь мы будем рассматривать а и () как новые канонические переменные, связанные со старыми переменными р формулами (5.237) или (5.239), то очевидно, чго характер зависимости производящей функции от д и а не изменится (формулы (5.239) не содержат производных по времени).
Потребовав, чтобы уравнения (5.24) удовлетворялись прн переменных а н 5, мы должны будем положить (в соответствии о теорией канонических преобразований) гл. т. мкхзннка гамильтона Формулы (5.241) представляют собой формулы каноническогс» преобразования. Это позволяет нам сразу записать систему уравнений для переменных а(1), ()(1) в виде системы канонических уравнений: да» д (Н,) дй, д (Н») й д() ' д» да (5.242) Если мы сможем (любым способом) найти общее решение снстемьз (5.242) в виде а,=а,(1, а, Ь), 8» (),(1, а, Ь), (5.243) где а, Ь вЂ” новые постоянные (не обязательно канонические), то общее решение системы (5.24) будет иметь вид д» 4с[1, а(1, а, Ь), 5(1, а, Ь)], р~=р,[1, а(1, а, Ь), 5(1, а, Ь)].
(5.244) Чаще всего, однако, это не удается. Тогда решение системы (5.242) ищут каким-либо приближенным способом. Изложенный здесь метод вариации канонических постоянных был развит Якоби в связи с исследованиями по теории возмущений на основе метода вариации произвольных постоянных Лагранжа. Суть дела заключается в том, что во многих задачах мы можем разделить силы на две категории: основные («большие») и возмущающие («малые»). Как правило, в выражение возмущающих сил входят малые параметры (одии или несколько).
Тогда разделение функции Гамильтона нужно производить так, чтобы возмущения порождались функцией Н,. Наличие малых параметров в правых частях уравнений для возмущений позволит решать эту систему каким-либо приближенным способом. В частности, если в системе (5.236) ввести переменные действие-угол, то при переходе к системе (5.242) постоянные Уз и т«станут медленно меняющимися переменными (разумеется, при наличии малых параметров). В этом заключается большое преимущество переменных действие-угол перед другими переменными в теории возмущений* ).
$ 15. Уравнения Рауса В 1876 э. Рауо опубликовал открытые им уравнения движепия ниотем о конечным числом степеней свободы. Эти уравнения, названные впоследствии уравнениями Рауса, имеют весьма своеобразную форму н занимают промежуточное положение ') Медленно нзменнющнеен «хейнтзнн» называют зхнзозтнческнмн нзззрязнтзмн системы. $ га. УРАВНЕНИЯ РАУСА И,Я р !) -7..
(6.248) г=>а+1 где (5.249) (5.250) Совокупность переменных (6.251) (Ь> !)а> йг> Рг) (а 1, 2, ..., гп', г па+1, лт+2, ..., 1) будем называть переменными Рауса. ') В 1884 г. уравнения Реуса были нспольаоааны Гельмгольпем н его исследоеаниях по проблемам термединамиан. '*) Определитель преобразования для любой классической системы будет одним иа главных миноров определителя, состаелеиногй йй Коэффициентов Положительно определенной каадратнчной функции Ты между уравнениями Лагранжа 2-го рода и уравнениями гамильтона е). Уравнения Рауса, как мы увидим дальше, удобны при опиеании движения систем с циклическими координатами.
Предположим, что рассматривается движение системы с конечным числом степеней свободы под действием потенциальных сил и что связи, наложенные на систему, идеальные и голономные. Разделим все обобщенные координаты на две части: к первой отнесем координаты д„д„..., гг, а конторой >7 „, д +„... !7! (1-число степеней свободы, лг(1). В число переменных включим обобщенные импульсы, соответствующие второй группе координат, определяя их формулами р, — (г лг+1, ..., 1). (5.245) с Рассматривая формулы, определяющие обобщенные импульсы как формулы преобразования переменных, и предполагая, что >определитель преобразования отличен от нуля, т.
е. что де1 (6~-84 ) ! т- О, (5.246) ыа основании теоремы Донкина (гл. Ч, $ 2) запишем формулы >обратного преобразования *') г), — (г = т+ 1, ..., 1). (5.247) орг Здесь тт' есть функция Рауса, определяемая формулой ГЛ. Ч. МЕХАНИКА ГАМИЛЬТОНА Уравнения движения мы также представим в виде двух систем: гп уравнений второго порядка для координат д, и 2(1 — и) уравнений первого порядка для переменных д, и р,.
Запишем первую систему-зто будет система уравнений Лагранжа 2-го рода (5.252) в которой частные производные — и — выражены через передб дг, дд, дд, менные Рауса. Для того чтобы записать вторую сивтему, мы поступим так же, как и при выводе уравнений Гамильтона: запишем промежуточную систему уравнений первого порядка, вводя в качестве новых неизвестных функций ф,: — 4, — 3 — — (г и+1 ... 1). дч, д д1. д1 Ж т' ФГ 3Д дет Затем перейдем к переменным Рауса. Система уравнений примет следуюший вид: Ф. ~~' (д ) (г =тл+1, ..., 1).
(5.253) Обратимся снова к теореме 1(оикина, рассматривая переменные д„д, (з ° 1, 2, ..., т), д,(г =т+1, ..., 1), 1 в качестве параметров. В силу теоремы Доикииа (5.254) (5.255) (5.256) ч1 де, дд, — - — авО (ьази1 2 ... ш); д дя дЯ ° 1 ' ° (5.257) Вводя частные производные от функции Рауса по д и р в уравнения (5.252) и (5.253), приходим к уравнениям Рауса, т. е.
к двум системам уравнений: 1) система уравнений второго порядка $16. УРАВНЕНИЯ РАУСА 2) система уравнений первого порядка до, дй дре — -- — (- +1." 1). др д1с дт дче (5.258) (5.269) Мы видим, что уравнения второго порядка имеют вид уравнений Лагранжа 2-го рода и функция Рауса в зтих уравнениях представляет собой функцию Лагранжа с измененным знаком. Вторая система уравнений первого порядка есть система канонических уравнений, в которой функция Раусз исполняет обязанность функции Гамильтона. Обратимся к системам с циклическими координатами. Пусть обобщенные координаты с, (г т+ 1, ..., 1) — циклические *).
Тогда из второй системы уравнений Рауса мы найдем — =О. дсе о1 Следовательно, р,=сопл(=с,. (5.260) й1, дч от до, ' а сами циклические координаты найдем при помощи квадратур: с с,(1) ~~ — б(+с,. Г дк е 1. ') Если координата о — циклическая, то дЬ дН дтс — О, — О к — =О. даа ' дде дре Подставив р,=с, в функцию Рауса, заметим, что она будет завиСеть от 11„1)„с, и 1. Йозтому первую систему уравнений Рауса — — — 0 (а 1,2,...,т) д дтт дк д1 дда дча мы сможем интегрировать отдельно и найдем все нециклические координаты как функции времени и 2т произвольных постоянных (предполагается, что интегрирование первой системы выполнимо).
Подставив найденные выражения нециклических координат в функцию Рауса, мы снова обратимся к уравнениям второй системы. Уравнения для циклических координат запишем в виде ГЛАВА )гг' МЕХАНИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА $ 1. Тензор инерции Абсолютно гпаердое тело представляет собой идеализированную модель реального тела: конечный объем, заполненный неизменяемой сплошной средой *).
для составления динамических уравнений движения тела "е) важно знать закон распределения плотности вещества и установить количественные характеристики меры инертности для пространственного движения тела. Рассмотрим тело, объем которого равен т. Пусть нам известен закон распределения плотности вещества р(х„х„ха), где х; координаты некоторой средней точки элемента объема бт. Функция р может иметь конечные разрывы. Масса тела определяется при помощи интеграла М=Ц)рбт. (6.1р Радиус-вектор центра масс С вычисляется по формуле, анало- гичной формуле для радиуса-вектора центра масс в механике систем материальных точек; нграт т Гс М (6.2р где г — радиус-вектор некоторой точки элемента объеми.
Мерой инертности тела, кроме массы, является тензор инерции шесть моментов инерции, которые входят в качестве коэффициентов в выражение кинетической энергии и в выражения проекций кинетического момента тела. Как мы увидим дальше, моменты инерции зависят от выбора начала и направления осей координат, относительно которых они вычисляются (мы ограничиваемся прямоуголь- е) Возможность пренебречь деформациями и считать тело абсолютне Г ердым определяется физичйскими условиями в каждом конкретном случае. разных условияк одно и то же вещеспю может вести себя по-разному~ металл течет под большим давлением, летящий в воздухе резиновый мяч можне считать абсолютно твердым и т.
д. е*) В настоящей главе рассматривается только абсолютно твердое тело, поэтому дальше мы для сокращения будем опускать слова аабсолютно твердоеа з с, твнзор инв ции з сз,з Р = 'Я хс — ~ 'Я хсссс ), с ! с ! (6.4) или з з Р *= 'Я х) —,Я,У„'ссаасхэхр (6.6) а=с/=! с=! Умножим обе части (6.5) на 6т рбт, где блс ееть масса ") Осн, !вмороженные» в тело илн жестко свнзанкые а ииы, часто инзы. амот соослыенними осами. ными декартовыми координатами). Распределение моментов инерзтии относительно пучка осей, проходящих через какую-либо точку тела, можно охарактеризовать при помощи тензорной поверхности — зллипсоида инерции. Обратимся к выводу закона распределения моментов инерции. Пусть дано тело с известным распределением плотности.
Объем тела обозначим через т. В некоторой точке тела О поместим начало координат, обозначив оси через хы хз, х, (рис. 6.1). Через точку О проведем прямую Л, направление которой характеризуется единичным вектором и о направляющими косинусами а„сс„осе. Моснвнтом сснерциа тела относительно оси Л назовем величину, вы- л~ Р(хс,х,хз) числяемую при помощи интеграла в ,(аз=ЯР(хз, хз. хэ) Рбт, ст т зЬ (6.3) где плотность вещества р есть известная функция координат, которая может иметь Рнс. З,1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
