В.В. Петкевич - Теоретическая механика (1119857), страница 59
Текст из файла (страница 59)
конечные разрывы, 1 — длина перпендикуляра МсЧ, опущенного из некоторой средней точки М влемента объема Ьт на ось сз. Очевидно, что для невырожденной модели реального тела 1аа) О. Если тело движется относительно осей х„хэ, х,— координаты точек зависят от времени, то время 1 войдет в интеграл (6.3) в качестве параметра. Следовательно, моменты инерции будут функциями времени. Если же тело неподвижно относительно системы х„х„х„то 1аа будет величиной постоянной, хотя сами оси координат могут быть подвижными — в атом случае оси «вморожены» в тело и движутся вместе с ним*).
Выразим Р через хс и ссс.. М4 Гл. т!. мехАникА АБсОлютнО тВеРдОГО телА алемента объема и проинтегрируем по объему т«): з 3 з ?ьь $ ~ч', х! бпт- ~ч', ~ч', аза?5хах?бт. т! 1 «-!т-! Введем обозначения 3 )с ~я~~ х,* бт = 1о ~ хвх? бт = 1а? =?ув. т! 1 т Величина 1« есть момент инерции тела относительно точки О. Момент инерции тела относительно оси Ь будет равен з з 1ьь 1о — ~', ~~'~ ?в)ааар а=!)=! (6.6) Следовательно, момент инерции тела относительно оси б есть квадратичная функция направляющих косинусов вектора е. Воспользовавшись тождеством а ~а,' ! ! ! и вводя другие обозначения ?м '= ?аз+ 1вз ?м ?аз+ 1м ?аз = 1Н+ ?зм ?м = — ?ау (?т чь/), (6.7) представим 1ьь в виде однородной квадратичной функции: з з ?ьь Я ~ч ', ?зуааам (6.8) з !! ! «) Для краткости ннтегрвл по объему т будем обозначать символом ~ ) (хт, х«хз) бт.
«') й4оменты ннерцнн lи, ?а! не зависят от выбора прямой Ь. рдесь 1„, 1„, ?зз — осевые моменты инерции, ?з?(?е~ ?) — центробежные моменты инерции, или произведения инерции ««). Закону распределения моментов инерции, выражаемому формулой (6.8), можно придать наглядную геометрическую форму. Для этого величину момента инерции относительно каждой оси Л будем характеризовать точкой Р, лежащей на атой же оси и 'ыбранной пока произвольно (дальше мы подчиним выбор точек некоторому условию). Выразим направляющие косинусы аа $1, ТЕНЗОР ИНЕРЦИИ через координаты точки Р, обозначая их для краткости через хд, хз, хз: ф'!Р У =Х й =Х ! ! »=1 где аз! —— соз (х~, $!). Составим таблицу (6.11) /1, (=й, 4 """'" = (О Ф. l ть ° ") Слово !епз!оп означает напряжение, натяжение.
Термин «тензор» поя. вился в теории упругости. С течением времени, однако, понятие тензора утратило первоначальный смысл и тензор стал математическим образом различных физических объектов, облалжощих общими свойствами. л! сз! =— 1 где Я есть расстояние точки Р от начала координат. Подставив эти выражения а! в (6.8), получим з з ~к3дд = 5 5 !духах! Р (Хт~ Хз» Хз) (6.9) З 1! ! Коэффициенты квадратичной функции Р зависят от выбора осей координат. Сама же функция Р, равная произведению Яз1дд, не может зависеть от выбора координат — это есть шиариант, т. е. величина, не изменяющаяся при переходе от одной системы КООрдИНат К друГОЙ.
СЛЕдОВатЕЛЬНО, фуНКцИя Р(Х1, Хз, Х,) ЕСТЬ инвариантная квадратичная функция координат, а значит, совокупность коэффициентов этой функции представляет собой симметричный танзер второго ранга (по числу индексов) — тпгмзор инар!(ии «) !'з «ы замзу т — ~уз»зз»ма~. (6.10) зз!»зз зз Если мы рассмотрим ортогональные преобразования декартовых координат — преобразования поворота, то, исходя из инвариантности функции (6.9), мы можем найти формулы преобразования величин Узу. Пусть координаты х„хз, х, и $„$з, сз связаны м лами 366 ГЛ. Ч!.
МЕХАНИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА В силу инвариантности функции (6.9) мы можел! написать равенство 3 3 3 3 Х Х /в/хвх/= Х Х Х!.$!$в. (6.12) ! 1!=! В 1/ 1 Здесь /в-компоненты тензора инерции в новой системе координат. Подставляя (6.11) в (6.12) и меняя порядок суммирования, найдем з з 3 3 3 з в!$в,/'./,У/ /в/ав/а/в =,У~ ~ /!в$!$в =!в ! З-1/-! ! 1в=1 Формулы преобразования моментов инерции получим, сравнивая кожрфициенты при одинаковых произведениях координат $Д,: 3 з ./в = ч"„'„~~,/з/ав!а„. 3-1/-1 (6.13) з з $!$,= 'У', ~ х„х/ав/х„. 1=1/ 1 Компонента симметричного тензора второго ранга при ортогонольных преобразованиях декартовых координат преобразуются по тем же формулам, что и произведения координат.
Поставим задачу: выразить величину момента инерции тела относительно оси Ь через расстояние точки Р от начала координат. Для этого, обращаясь к формуле (6.9), положим Р(х1, х„хз) =/33. (6.14) Уравнение (6.14) есть уравнение центральной поверхности второго порядка — тензорной поверхности — и вместе с тем уравнение геометрического места точек Р, расположенных на различных осях, проходящих через начало координат '). Очевидно, что уравнение (6.14) определяет поверхность с точностью до преобразования подобия. Из (6.9) следует ° что Аз /АА = — 3.
(6.15) в) Уравнение (6.14) выражает условие, которому подчиняется выбор точек Р, лежалых на различных осях А Если мы теперь разрешим уравнения (6.11) относительно $„$„ то для преобразования самих произведений координат найдем формулы, совпадающие с (6.13): э 1, твнзоР нннгции Момент инерции относительно оси Ь обратно пропорционален квадрату расстояния от центра до поверхности (6.14). Очевидно, что если рассматриваемая модель реального тела невырожденная, то для всех направлений лев)0, следовательно, все точки поверхности находятся на конечном расстоянии от центра. Поэтому тензорной поверхностью будет эллипсоид.
В зависимости от распределения плотности и от формы тела эллипсоид будет либо трехосным, либо эллипсоидом вращения, либо сферой. Если рассматривать' вырожденную модель реального тела, например бесконечно тонкий стержень длины 1, то момент инерции относительно оси, совпадающей со стержнем, будет равен нулю и расстояние до соответствующей точки тензорной поверхности обратится в бесконечность. В этом случае тензорная поверхность представляет собой круглый цилиндр с осью, направленной по стержню. Итак, распределение моментов инерции относительно пучка осей, проходящих через некоторую точку тела, в которой помещено начало координат, геометрически характеризуется тензорной поверхностью — вллипсоидом инерции, уравнение которого имеет вид з» ~ч', 'я ./»!х»х~ — — й».
» !! ! (6.16) ,)„„х»+ l„„у«+ У„г' й», (6.17) где У,,,(„е, л„— главные (осевые) моменты инерции. Отметим, что сумма любых двух осевых моментов инерции (не обязательно главных) для невырожденной модели больше Для составления динамических уравнений удобнее выбирать оси х„х„х, жестко связанными с телом («вмороженными» в тело). Компоненты тензора инерции 7»! при таком выборе будут постоянными.
Среди множества осей координат, связанных с телом, самыми удобными являются главные оси инерции. Как известно из аналитической геометрии, существуют три (в случае трехосного эллипсоида т о л ь к о три) взаимно перпендикулярные прямые, ортогональные к поверхности второго порядка в точках пересечения с ней. Направления этих прямых называются главными направлениями. Если путем поворота придать осям координат главные направления, т.
е. перейти к главным осям инерции, то уравнение (6.16) упрощается — обратятся в нуль все коэффициенты с различными индексами. Осн координат, имеющие главные направления, — главные оси инерции — обозначим через х, у, е. Уравнение (6.16), отнесенное к главным осям, будет иметь вид заз гл. кь мвхдникд явсолютно твв»дого твлд третьего. В самом деле, ,7„„=) (у'+г') бт, Х»»= ) (г»+х') 6т, .7„~ (х*+ у') бт. я Отсюда Х + 7»» = ~ (х'+ у') бт+ 2 ~ г' 6т ),7„, (хк+ 7»» (~я.
Часто для моментов инерции применяют простые обозначения, полагая lкк А» I»» = Ву lеа С Уравнение (6.17) запишется так: Ах'+ Ву'+ Сг' = й». (6.18) Длины полуосей а, Ь, с зллипсоида инерции найдем, полагая по очереди у=г=О, г=х=О, я=у=О: я е ь а==, Ь==, с==. УА УВ 1с Уравнение (6.18) можно представить в каноническом виде: х' х- М вЂ” + — -+ — 1. аз ьх»» (6.19) Напомним без вывода теорему Гюйгеиса — Штейиера. Пусть известен момент инерции тела (дд относительно оси Л, проходящей через центр масс. Тогда момент инерции относительно оси Л', параллельной оси сд, будет равен моменту инерции относительно оси о, сложенному с произведением массы на квадрат расстояния между осями, т. е.
/,, / +М»2 где М вЂ” масса тела, е(-расстояние между осями, Вели модель реального тела есть бесконечно тонкая пластинка (вырожденная модель), расположенная в плоскости (х, у), то для всех точек г О и мы получим й к внвшнив силы пддссовыв и повврхностныш 369 $2. Внешние силы (массовые и поверхностные). Уравнения движения свободного тела Абсо..ютно твердое тело мы рассматриваем как сплошную недеформируемую среду. Поэтому, так же как в механике сплошной деформируемой среды, разделим все активные силы на массовые и поверхностные с тем отличием, что будем иметь дело только с внешними силами.
Принимая гипотезу неизменяемости тела, мы тем самым теряем право рассматривать силы взаимодействия между частицами тела. Мы предпологаем только, что силы взаимодействия — внутренние силы — достаточны для того, чтобы деформации были пренебрежимо малыми *). Если в каких-либо конкретных условиях деформации становятся заметными и,пренебрежение ими исказит описание явления, то надо обращаться к более совершенной модели — к сплошной деформируемой среде. Массовые силы действуют на каждый элемент объема тела, поэтому удобно вводить плотность массовой силы, обозначая ее через у. Тогда сила, действующая на элемент объема бт, может быть представлена в виде бЯ "~ =ур бт =габт.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
