В.В. Петкевич - Теоретическая механика (1119857), страница 55
Текст из файла (страница 55)
МЕХАНИКА ГАМИЛЬТОНА Составим уравнение Гамильтона — Якоби а!+ я((а) +.*(ар) + ~(аз)1 Положив У = — ав(+ (ч" (Г, <р, 8), переходим к укороченному уравнению Воспользуемся тем, что угол а есть циклическая (игнорируемая) координата, и положим 97(г, ~Р, 8) =ава+Ж'в(Г, ~Р). Тогда Умножая обе части на гв, запишем (аг ) 27Г 2~ввг (8 ) Функцию (рв(г, у) представим в виде суммы двух функций: (Р (г, вг)=ЫГ)+6(Р) (5.! 78) (относительно пределов интегрирования см.
замечание по поводу предыдушей задачи). Если вычислить гсссиан, то можно показать, что (5.!80) есть действительно полный интеграл. Следовательно, г ~ — ) — 27à — 2авг = — ~ — ) — — ' в Гл!в1в в Я!в гв а1 ~ЛГ/ ~йр ! сов' в' (5.!77) В уравнении (5.177) левая часть не зависит от <р, а правая не зависит от г. Поэтому обе части равны одной и той же постоянной: Ы1, гв Гв ~ — ') — 2уг — 2св Гв = — ав, 1 АГ) 4 (5.179) Запишем выражение для полного интеграла: Т вЂ” ~3+~9 ~.! у 2~+1 — — „'в .~- + ~ ~/ а3 — —,," гйр (5.180) $12.
БАдАчи ИА пРименение метОдА ГАмильтОнА — якОБи 337 На основании теоремы Гамильтона — Якоби запишем обп!ее решение канонических уравнений в неявной форме: дР2 дв' д!' д2 =Р., х,о=Рв ж Рв. дУ д!2 дв' Отсюда Р, = 1Г2 2а4+ — — — „ .2Г, 2у а', 2 а', Рв ~~ а1-,—,„в 2 Рв="в. (5 181) ~22 2ав+ — — — ' 22 г йр Г 4Ь г = — !)„(5. 183) а а1 р2 2244 + , ° / 2у ав СОВВ 4Р р2 4 а, ~ 4р = В+ ()в. (5.184) сов'4р 1,/ а) — — ' с4а' 4р Интеграл (5.182) позволяет найти зависимость полярного радиуса Г от времени. Интегралы (5.183) и (5.184) времени не содержат— это пространственные, или геометрические, интегралы.
Обратимся к исследованию этих интегралов. В левой части (5.184) введем новую переменную, положив !84Р=$ Интегрируя, находим агсв!и( "' $)=В+р. ,)' а1 — а! Отсюда !84р= ~/ — ' — 1 в|п(В+!)2). (5.185) Нетрудно проверить, что (5.185) представляет собой уравнение семейства плоскостей, проходящих через начало координат (через силовой центр). Уравнение вида (5.!85) получается во всех случаях движения под действием любой центральной силы. Рассмотрим теперь интеграл (5.183). Легко находим ав ~ = агсв!и ( в!и 4Р). а„! ) а42 а2 242 2 соФ 4р Для вычисления второго интеграла положим и=1!Г. Обозначая через и,, и, корни уравнения и' — —,и — 2 —,=О 2у а4 (5.186) ав а,' ГЛ. Ч. МЕХАНИКА ГАМИЛЬТОНА и делая замену и= — + — Я и1+и, ии — ии 2 Ф найдем ии — агссоз 3.
)' (и — ии) (и, — и) Таким образом, и= —, ' '+ ' 'соз~(),+агсз(п( з1п~рф (5.187) У сс',— а1 Находим полусумму и полуразность корней уравнения (5.186): сс 2 = )/ —, + —,'. (5.188) Очевидно, что (5.!87) представляет собой уравнение конических сечений, вид которых определяется эксцентриситетом, т. е. величиной (5. 189) ии+ ии Г т~ Величина эксцентриситета, как известно, зависит в первую очередь от постоянной энергии а4. если сс,(0, то е(1 и траекториями ти будут эллипсы; если сии ) О, то И з)1 — траектории гиперболы; на- С конец, при а, =0 траекторией бу- М' дет парабола. Обратимся к выяснению смыс- Щ ла канонических постоянных в геометрических интегралах. На и ~ рис.
5.4 изображена эллиптическая орбита (для определенности). Буквой М отмечена движущаяся з г материальная точка, отрезок ОМ = г есть полярный радиус, 41 углы 3 и Ч~ определяют положение проекции точки М на сфере единичного радиуса, Линия ОК есть линия узлов Рис. 5.4. (если угол 8 возрастает, то К— восходящий узел). Дуги К)т1. и КФ'7. лежат на пересечении сферы единичного радиуса с плоскостью орбиты и с координатной плоскостью (х„х,) соответственно. Запишем уравнение плоскости орбиты в декартовых координатах: стхт+ сихи + сихи = О. (5.190) %!3. зАдАчи ИА поименвнив матодя гамильтона — якози 339 Подставив выражения декартовых координат через сферические и сокращая на множитель г, получим уравнение вида с, соз 6+ се з!п З (5.19!) сз Если теперь положить 1' с', +с, 'ст .
сз '= — 1я1, =з)п5„р, =созрз ъ ' 1;+; " У +1 и, кроме того, (5.192) Юз то полученное уравнение (5.191) совпадет с уравнением (5.185), которое примет вид 1я гр.= !я1з!и (3+ 1),). (5.193) Очевидно, угол г есть угол наклона плоскости орбиты к плоскости ьм,с. и ~, р, рцэр„„,*, „„ссгисз, равна полному моменту импульса (вектор момента импульса перпендикулярен плоскости орбиты). Постоянная аз — проекции момента импульса на ось хз Так как при 8 = — !)з угол у равен нулю, то ( — рз) есть долгота восходящего узла. Из формулы (5.187) видно, что ( — ()з) есть долгота перигелия *). Задача Кеплера относится к такого рода задачам, где разделение переменных можно выполнить не только в сферических координатах, но и в параболических. Это связано с так называемым вырождением движения — пространственное движение вырождается в движение по коническому сечению.
Первая степень вырождения свойственна всем случаям движения под действием центральных сил — все они плоские. Введем в качестве обобщенных координат две параболические координаты и долготу 0. С этой целью рассмотрим семейство софокусных параболоидов вращения, уравнение которого имеет вид х,'+х,'=+ 2зхз+зз. (5.194) Осью вращения является ось х, (рис. 5.5). Корни уравнения (5 194) будут равны ..= — .— У'+:+ .* За новые обобщенные координаты примем величины и, и, положив =-ц=-~*з-';$ яряся.
') Знак минус перед рз и йз появляется а результате того, ято производ. нме полного чнтеграла по сгг мм приравниваем ( — йг), ГЛ. Ч. МВХАНИКА ГАМИЛЬТОНА Рис. 8.8. Три независимые обобщенные координаты и; о, 6 позволят нам определить положение точки М. Из формул (5.195) следует, что ! ! х, = — (и — О), г = — (и+ и), р = ~4+к', Уии.
(5.196) Переменные и, О изменяются от нуля до бесконечности, угол 6 — от нуля до 2Л. Составим выражение функции Лагранжа в новых переменных. Находим квадрат скорости: ~/и АВ+рййи+21 ! ии+ий ! Р=-,= ли=-(й-б). 2 Уии Функция Лагранжа будет иметь вид 7.= — (и+о)~ — + — ~+ й* и, ! /й'" йище ! 8 '!и и) 2 где т 2т У г и+и (масса точки равна единице). (5.197) Корню з, соответствуют параболоиды, обращенные вершинам» в сторону отрицательных значений х„корню з; — в сторону положительных.
Пересечение параболоидов плоскостью 6 = сопз1 дает два семейства софокусных парабол, причем параболические координаты з, и а, представляют собой значение параметров парабол, пересекающихся в рассматриваемой точке плоскости. .Ги '4Г $ !2. ЗАДАЧИ НА ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ГАМИЛЬТОНА — ЯКОБИ Вычисляем обобщенные импульсы д!. ! и+и. дь ! и+и. дЪ Р,= —. = — — 21, Р = — — — Е, Ре= — =ио6. дй 4 и да 4 Р дд Обобщенные скорости выражаем через импульсы и параболиче-- ские координаты: (5.198) Записываем функцию Гамильтона Составим уравнение Гамильтона — Якоби у+ — [и(5 — ) +о(д— ,) (+ 2— (д ) — — =О.
(5.200) Представив функцию У в виде У = — а,!+а,9+%7(и, о), где аг есть постоянный импульс ра, получим укороченное урав- нение Переменные можно разделить, умножив обе части (5.201) на. (и+ о): Г (д —.)'+ (Т)'1+а4'и— .',"- = 2'(+ ) 9Г(и, )=1,(и)+И(о). (5.202). Запишем выражение полного интеграла Р = — аг(+агд+ ~ ~/ !)и+ + ~ у' — 4' —, + ( — а,+ 2) — + 24!го. (5.203) Положим Тогда Н = Т+ У = — „+„(ир. '+ ЕР) + — — р3+(). (5.199). ~и ( ди ) + ™ (ди ) ] + 2— —" — — ам (5.201). /д!,12 а1 ! а4 т и( — ) + — ' — — — и — — = 1ди/+4 и 2 2 Щ12 а,', ! ае т у + ' — о = аг !ди! 4 и 2 2 ГЛ.
Ч. МЕХАНИКА ГАМИЛЬТОНА Находим обобщенные импульсы дУ -з/ а1 '1 / т! 1 до В/ 4оз+! 2) о д1/ Рв = — =аз дз (5.204) (5.205) (5.206) Вычисляя гессиан, можно убедиться в том, что функция У есть полный интеграл. Интеграл, содержащий время, найдем, дифференцируя У по а: дУ даз — „, = — ()з или ди и ~/ — — — з+(аз+ — ) — +— -з/ а!1 / т11 ааа о )/ — — ' — +~ — аз+ — ) — +— 4 ох 1 2)о 2 1 ди а — —,1 из. з +'а,+ ' 1. 4из '1 2)и 2 1 Г до — — аз ) — рз. оз з/ — — — + ~ — аз+ — ) — + -з 4оз ! 2)о 2 Можно показать, что каноническая постоянная а, пропорциональна пРоекции вектоРа Лапласа на ось хз (см.
гл. П1, 2 7; гл. У, 2 4). Проекция вектора Лапласа на ось х, для точки единичной массы, движущейся в поле тяготения неподвижного сило- вого центра, будет равна г= Я х',. (х,'+х',) х,— х,(х х,+х,х,) — т ' Переходя к цилиндрическим координатам, запишем выражение проекции вектора Лапласа на ось х, в следующем виде: р~ тх Рр(ррхз-Рзр)+-з хз — — (Г=1' Р'+хз) Дифференцируя полный интеграл по а, и аз, получим геометрические интегралы дУ 5 дУ д, .з ,3 Гл. у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
