В.В. Петкевич - Теоретическая механика (1119857), страница 56
Текст из файла (страница 56)
мехАникА ГАмильтонА Функцию Гамильтона находим по формуле Н=Р Кр,+фр — )., или, подробнее, Н =с у тос +Р + — Рф — — — тоси. . ° о о о ! а "'от го Г (5.209) Запишем уравнение Гамильтона- Якоби — +с)/ 'с'+( — ) + — ( — ) — т,с' — — 'У =О. Обозначим постоянную знергню через ао, постоянный импульс рф через ао и обычным способом разделим переменные. Положим р = — ао(+ ао!р+ Пг). Тогда ,~/т„сс+Я+"— ;= ж+ — ',"+ .. Отсюда («~)' ( 'т* .;) ', +2т,,(то+ —,",) —,'+а. (т,+ф). Полный интеграл будет иметь вид р = — а ~+аоор+ Вычислим интеграл, допуская, что т,'то а„(0, а,(0. Положим — и= 1 и,+ио и,— ио 2 + — 3 2 где и„ и, — корни уравнения (ф — ао) и'+2тоу(то+,"-,') и+ао(то+"— ') =О.
+ ~ ~/ ( — ",~' — а,') —,+2тоу(то+,—,') —,+ао(то+фо(г. (5.2!О) По теореме Гамильтона в Якоби находим — 0 д — ' — — 0 дао - ' дао ' ' де ' дl — = — Ро, — = — Ро, — = Рф =аз, — = Ро. Обратимся к геометрическому интегралу дг а, и 1 а '1Г( —,', — '),— +2т ( +УУ+ао(т +У) в 12 ВАдАчи нА пынменение метОдА ГАмильтОнА- якОБи З4З Интегрируя, найдем — + Е ' Ом~~/ ! — —,', (1р+ре)1. (5.211~ Здесь о есть скорость света в пустоте, поэтому Находим приближенное выражение для периода Г (в задаче Кеплера иериод Г(ср) был равен 2п): сеи1е «1(те дробь — ',, есть величина безразмерная).
Мы видим, что тк) 2п. Траекторию электрона можно приближенно представить в виде вращающегося эллипса (напомним, что постоянная энергия а отрицательна). 4. Заряженная частица в электромагнитном поле. Предположим, что скорость частицы мала по сравнению со скоростью света в пустоте. Положение частицы будем временно определять декартовыми координатами. Обозначая через Ф (х, у, г) потенциал электрического поля, через А„, Аы, А, проекции векторного потенциала, запишем функцию Лагранжа Ь = — (х'+уе+ г') — ЕФ+ — (хА„+ уА„+ ЗА,), (5.212) где е — величина заряда, с-скорость света в пустоте (см.
гл. 11!', з 14). Вычисляем обобщенные импульсы (т=1) дЬ . е Рк=д —.=Х+ — Ак к дк с к~ дь . е р„= —.=у+ — А, ду с ы дд е р,= — =3+ — А. дг с Функция Гамильтона будет иметь вид Н=Я,Рк с Ак) +(Ры — —.Аы) +(Ре- с А*)1+ЕФ. (б.21З) Предположим, что магнитное поле постоянной напряженности и, направлено вдоль оси г, а электрическое поле создается Гл. тг. мехАникА ГАмильтонл неподвижным точечным зарядом е', в котором мы помещаем начало координат, и определяется потенциалом Ф=ее')г. В этом случае ') — Акк А = — А 2, А=О.
2 ' " 2 ' Выражение функции Гамильтона запишем в виде Н= — [Рк+Ра+Рк ( Ру Урк)+(2 ) (Х +У )1+ В рассматриваемом случае удобнее выбрать сферические координаты. Обращаясь к формуле (5.175) в задаче Кеплера, мы видим, что отличие функций Гамильтона заключается в членах — '(хр„— урк) = — *ре ~~ ) (х +у)=(2') г соззгр; (5.214) кроме того, множитель ( — у) в выражении потенциальной энергии заменяется через ее'. Задачу решаем приближенно, предполагая, что электрон движется в слабом магнитном поле, и отбрасывая член, содержащий /тк.
Составим уравнение Гамильтона — Якоби б'г' в-~.— [(д) -~-,—,(ь) 4. „, — —; д1ч- —,-о. ~гг~п Полный интеграл ищем в виде 1l = — аа1+азб+)уг (г, гр). Тогда где й=е/г,/е, )а=ее'. Положим ))у(г, гр) =/т(г)+) (ф). Затем, умножив обе части уравнения (5.216) на г', разделяем переменные: я l б)т1з я б/3 сг) га ~ — ) — ланг +2рг — 2ачг = — 1 — ) — — = — а$. ~б! '1 ЙР) Сажаю Находим полный интеграл 1 а) ттг = — ааг+аее+ ~ г)сг 2аа+ ьаз — 2р — — — з с(г+ г гз + ~ К ая ф "Ф (5.217) ') Обозначения Ф для потенциала скалярного поля и и, для напряженности магнитного поля взяты лля того, чтобы избежать путаницы.
Векторный потенциал определяется с точностью до Кгаб ж где у — произвольная функция. Это, не изменяя вида траектории, впаяет на нмпульсы. $12. ЗАДАЧИ НА ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ГАМИЛЬТОНА — ЯКОВИ 347 Отсюда дУ «/ яи а! — Р,="~/ 2а +йав — — — — * Г дУ ~ =)за=а (5.218) дУ дав дУ вЂ” = — ))в, дав дУ дав (5.219) Запишем подробнее интегралы (5.2!9), используя формулы (5.2 !8): (5.220) (мы удерживаем знак минус перед 54). Так как для электрона Й= — '(О, С то долгота узла возрастает. Следовательно, плоскость орбиты вращается вокруг вектора 44, в положительном направлении с угловой скоростью — 44/2. Обращая внимание на первое из равенств (5.218) или (5.220) и сравнивая с (5.183), заключаем, что наличие магнитного поля меняет эксцентриситет орбиты.
Обо- значая эксцентриситет через е', найдем еа, ав (Еав+Аа ) ~/ а,(2ав+ — а, 4 1 ! 4 4 Свв ~/ 1+ (ее')в (ее')в Что касается наклона плоскости орбиты к плоскости (х, у) или (х„ х,), то очевидно, что магнитное поле на него ие влияет. Г 4)Г Подставив ~ — =! — !)4 во второе из равенств (5.220), получим 3Р, В+))в+ Е (~ !)4) д в Сравнивая формулы (5.22!) и (5.184), заключаем, что наложение слабого магнитного поля на центральное кулоновское поле меняет долготу узла: она становится равной А !)!(!) = — 5.--,(1- !).) ГЛ. Ч.
МЕХАНИКА ГАМИЛЬТОНА Мы видим, что во многих случаях метод Гамильтона — Якоби весьма удобен для решения конкретных задач (в главе 'н"! мы покажем еще применение этого метода в динамике абсолютно твердого тела). Можно, разумеется, указать и такие примеры, в которых решение обычными элементарными методами получается проще, но в нашу задачу входило лишь дать простые и по возможности наглядные иллюстрации теоремы Гамильтона — Якоби. Метод интегрирования канонических уравнений, основанный на теореме Гамильтона — Якоби, применяли в решении различных задач многие авторы.
Можно указать на [35], [51, [291, [151. й !3. Переменные действие — угол Рассматривая задачу трех тел (Земля, Луна, Солнце), Делоне ввел замечательные по своим свойствам канонические переменные — переменные Делоне, нли, как их стали называть позже, переменные дейсп виг — угол. Эти переменные весьма удобны для исследования малых возмущений в движениях небесных тел. Переменные действие — угол были с успехом применены в квантовой теории, созданной Бором и Зоммерфельдом (имеется в виду старая форма квантовой теории). Одно из основных положений старой формы квантовой механики состояло в том, что каждая переменная «действие» равна постоянной Планка й, умноженной на целое число.
Называются они «действием» потому, что вычисляются с помощью интегралов, размерность которых совпадает с размерностью действия Гамильтона, и для консервативных систем представляют собой канонические постоянные *). Переменные действие — угол удобны также для решения тех задач физики, в которых рассматриваются периодические изменения координат и где в первую очередь нужно вычислять частоты колебаний. Будем рассматривать обобщенно-консервативные системы, т. е. такие системы, у которых функция Гамильтона не зависит явно от времени и, следовательно, существует обобщенный (нли обычный) интеграл энергии**).
Кроме того, предположим, что существует хотя бы одна система обобщенных координат, при которой переменные в уравнении Гамильтона — Якоби разделяются. Относительно движения самой системы материальных точек и тел предположим, что оно условно-периодическое. Зто означает, что при финитном изменении координат ка»кдая пара канонически сопряженных переменных до р, изменяется периодически с одним и тем же периодом, следовательно, траектория изображающей точки в каждой плоскости (д!, р!) будет замкнутой кривой. И если ') См.
]!3] (задача Кеплера в классическом н квантовом рассмотренна]. "*] Снстемы не обязательно замкнутые. й ~а. пеивменныв диистнив- кгол периоды у разных пар равны или соизмеримы, то траектория изображающей точки в фазовом пространстве будет замкнутой. Движение системы в реальном пространстве будет периодическим при условии соизмеримости периодов всех пар канонически сопряженных переменных.
Если же периоды разных пар несоизмеримы, то траектория изображающей точки в фазовом пространстве не замкнется и с течением времени заполнит всюду плотно некоторую конечную область. Движение реальной системы уже не будет периодическим *). Если какие-либо обобщенные координаты изменяются неограниченно, то обобщенные импульсы должны быть периодическими функциями канонически сопряженных координат.
Постоянным импульсам, соответствующим циклическим (игнорируемым) координатам, приписывается период, равный 2п**). Случай равенства периодов всех пар канонических переменных называют случаем полного вырождения — пространственное движение вырождаечся в движение по замкнутой кривой линии в фазовом пространстве. В случае вырождения возможны различные системы разделяющихся переменных. Рассмотрим простые примеры. 1.
Сисгпеми е одной степенью свободы — гармонический осциллятор. Функция Гамильтона имеет вид Н - — (р'+ созда). й где, как обычно, д есть обобщенная координата, р — обобщенный импульс, со — постоянная частота, масса точки равна единице. Изменение обобщенной координаты д при любых начальных условиях финитно. Так как — = О, то дН +тггн бт Н = сопз1 и траектория изобра- „тгй + Ггй жающей точки на фазовой плоскости представляет собой эллипс (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
