В.В. Петкевич - Теоретическая механика (1119857), страница 54
Текст из файла (страница 54)
ГЛ. 7. МЕХАНИКА ГАМИЛЬТОНА Итак, действие с переменным пределом, вычисленное вдоль интегральной кривой (экстремали), можно рассматривать как функцию времени 1, начальных и текущих значений обобщенных координат. Между начальным состоянием движения системы и состоянием ее движения в момент времени 1 должно быть взаимно однозначное соответствие — соответствие между изображающими точками в расширенном фазовом пространстве.
Поэтому на траектории изображающей точки в расширенном пространстве конфигураций накладываются определенные требования: поле траекторий (поле экстремалей) должно быть таким, чтобы через каждую точку поля проходила одна и только одна траектория, и если есть точка, через которую проходит пучок траекторий (общее значение с)о и различные с)о), то, по крайней мере в некоторой конечной области, зта точка должна быть единственной — поле должно быть центральным [16].
Покажем, что 1) переход от начальных значений канонических переменных ссо и ро к их значениям в любой момент времени есть каноническое преобразование (унивалентиое, свободное); 2) главная функция Гамильтона есть полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби. Берем изохронную вариацию от левой и правой частей (5.!50)! ~!' ~бр, ч*+ р,б ф) — — бс), — — бр )сс(1 = в=! с ,! (д бссв+ л бс)во) ° в= ! Затем, пользуясь тем, что — (бс)с) = б (-~'), интегрируем но частям: ~~~, (бр (~' — ~~)+бс) ( — — ' — ~~)) с(1+ ~ р бс) ~— в ! в=! с Х (о бЧ +д бс)во) ° ! Переменные с) и р удовлетворяют каноническим уравнениям.
Поэтому ! ~„„рвоЧв — ~ Рвоос(с!о — ~~~~~ ~ — ос( +д~ ~Чво) ° Ввв! в~! в ! ГЛ. Ьь. МЕХАНИКА ГАМИЛЬТОНА Полученный результат позволяет доказать теорему Лиувилля, важную для приложений, в частности аля статистической физики. Формулы (5.151) определяют унивалентное каноническое преобразование, якобиан которого равен единице: д(д„..., дь, Р„..., Рь) (5.154) д(чьо ", Вьо', Рьо, ", Рьо) Рассмотрим элемент объема фазового пространства, сплошь заполненный изображающими точками. Так как якобиан преобразования равен единице, то величина объема с течением времени не изменится — может измениться лишь его форма. Читатели, знакомые с гидродинамикой, могут вообразить себе непрерывную деформируемую среду, заполняющую фазовое пространство (или некоторую его часть), — «фазовую жидкостыь Начальные значения канонических переменных можно принять за параметры Лагранжа (см. гл.
1, Э 3). При таком представлении уравнение (5.154) можно истолковать как уравнение неразрывности (условие несжимаемости) в переменных Лагранжа. Для реальной несжимаемой жидкости уравнение неразрывности, записанное в декартовых координатах, имеет вид д(х, у, г) (5. 155) д(хо Ро го) Следовательно, «фазовая жидкостно несжимаема. Переходим к конечному объему. Пусть непрерывная совокупность изображающих точек заполняет конечный объем фазового пространства т. Из-за того, что координаты точек меняются со временем, объем т будет деформироваться и перемещаться, но величина его не изменится.
Это следует из того, что на основании (5.154) мы можем записать равенство интегралов ~ буь " бь)ьбрь брь=() ) бь)ьо буьобрьо . брьо, (5.156) ьа ьъь где т, — область интегрирования в начальный момент времени. Равенство (5.156) есть запись теоремы Лиувилля: объем любой части фазового пространства является инвариантоль — он сохраняется при преобразовании координат в силу канонических уравнений. 12. Задачи на применение метода Гамильтона — Якоби Рассмотрим решение некоторых простых задач методом Гамильтона — Якоби.
Ограничимся обобщенно-консервативными системами — системами, функция Гамильтона которых не зависит явно от времени и, следовательно, уравнения движения допускают обобщенный интеграл энергии. ЗЗ) $12. ЗАДАЧИ НА ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ГАМИЛЬТОНА — ЯКОБИ (5.157) и, следовательно, мы можем ввести новую неизвестную функцию, положив )г () 1) = — азызу+((У (~). Тогда др др д%' — = — ам„ Ж а,~, а,~,' Поэтому уравнение для функции Ф'(д) можно записать в виде Н (Д, б ) =Очем (5.158) где каноническая постоянная Осы имеет смысл обобщенной энергии *). Уравнение (5.158) называют укороченным уравнением.
Успех в решении конкретных задач методом Гамильтона — Якоби связан с разделением переменных в уравнении (5.158) *"). Решающее значение при этом имеют структура функции Н и подходящий выбор обобщенных координат. Обратимся к решению задач. 1. Пространственный осциллятор — свободная материальная точка, притягиваемая неподвижным центром с силой, пропорциональной расстоянию от центра до точки. ') Канонически сопРЯженной паРой бУдУт ( — агы) и Ь **) Как известно из теории дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, решение уравнений (В.(бт) или (ВЛВВ) можно свести к интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений характеристик. 'г)о здесь уравнениями характеристик будут канонические уравнения.
Решение задач методом Гамильтона — Якоби опирается на разделение переменных в левой части уравнения Гамильтона — Якоби, что позволяет записать полный интеграл при помощи квадратур. Якоби, решая задачу о движении планеты вокруг Солнца (задачу Кеплера), ввел сферические координаты и применил метод разбиения уравнений в частных производных на несколько уравнений, каждое из которых содержит только одну независимую переменную и производную искомого полного интеграла по этой переменной (1381, двадцать четвертая лекция).
Далее Якоби распространил метод разбиения на любое число переменных. Вслед за Якоби методы разделения переменных развивали многие авторы, с чем можно познакомиться в 119), т. 11, ч. 2, [371. Однако метод разбиения Якоби является и до настоящего времени основным для интегрирования уравнений в частных производных первого порядка. Уравнение Гамильтона — Якоби обобщенно-консервативных систем имеет вид гл. у. мехАникА гАмильтонА Число степеней свободы здесь равно трем.
В качестве обобщенных координат примем декартовы, полагая р! х! (! = 1, 2, 3). Массу точки положим равной единице (!я=1). Функция Лагранжа будет иметь внд з з Е= —,' ~ 2; — "—,*'~х!. ! ! ! ! Следовательно, функция Гамильтона равна полной энергнн, выраженной в канонических переменных: з Н *= — '~Р (р)+ а'х!). ( ! (5.159) Запишем укороченное уравнение Гамильтона — Якоби '): з — ~ ~( — „) + азх!!|=аз. ! ! Ищем решение в виде суммы з йр ) , 'Ф'!(х!). ! ! Подставляя (5.161) в (5.160), получим з [( — !) + а~хг~ = 2сса ! 1 (5.160) (5.161) Введем постоянные сз! н запишем уравнение для каждой функцнн )е'г! ( — „') +азх'!=а!. (5.162) В уравнениях (5.162) переменные разделяются, н мы находим и;=1! л — — д а*м (5.! 63) По поводу Интегралов (5.163) заметим, что верхний предел у ннх переменный, равный хь тогда как нижний — постоянный н не завнсящнй от а!.
Еще заметим, что вычислять интегралы (5.163) на этом этапе нецелесообразно. Лальнейшнй ход решения зависит от того, какие нз четырех постоянных мы будем считать независнмымн — число независимых постоянных здесь равно трем. "! Сокращенные обозначения для постоянных (например, Зсхчжа,') можно вводить только после дифференцирования полного интеграла. $'13. ЗАдАчи нА пРименение методА ГАмильтОЯА якОБи 333 Допустим, что независимыми будут ам аз н а . Тогда для зависимой постоянной получим формулу э 2аА -,5', а1 ° $' — а11+,),' ~ 'р' а) — а'х1 1(х1. (5.
164) Отсюда на основании теоремы Гамильтона — Якоби находим общее решение канонических уравнений в неявной форме: дУ дУ д Р1' да дт1 ' да1 нлн запишем -а11+ — агсз(п1 — х1) а1 . /е а '1 а1 х1 = — 31п ~а1 — — ~. а1 . Г 311 а ( а11' (5.167) Подставив (5.167) в (5.165), получим зависимость обобщенных импульсов от времени р1 а1 соз (а1 — — 1. рй (5.168) Формулы (5.167) и (5.168) представляют собой общее решение канонических уравнений, содержащее шесть произвольных постоянных, в явной форме (сами уравнения мы не выписывали). Покажем, что (5.164) есть действительно полный интеграл. Для этого вычислим определитель Полный интеграл запишем в виде Вычисляя интеграл и замечая, что да4 д да1 Отсюда находим х; как функции времени: (5.165) (5.166) ЗЗА ГЛ.
Ч. МЕХАНИКА ГАМИЛЬТОНА Находим дУ вЂ” =ра а,— еаха, ~ха "" =о дх~ даа а/аа аах»' Б;даа а аа У аа,-аах1 (5.169) У а1 — азха Если мы хотим получить отдельно пространственные интегралы, не содержащие времени, то аа нужно считать независимой постоянной, а одну из постоянных а,, аа, аа — зависимой. Пусть, например, ~-1 2ъ — ~ — Ф (5.170) Тогда найдем в неявной форме интеграл, содержащий полагая дУ Да аа время, или а — ~~ даа (' Лха даа,) Уа) — аах1 (5.171) Интегрируя и используя (5.170), получим аа ха = — „' з(п (в (( — ра)1.
(5.172) Постоянная ()а имеет размерность времени (при 1=()а, ха=0). Сравнивая о (5.167), находим 1 Ра 04 а<~ ' Геометрические интегралы получим из соотношений дУ даа Ра Так как а, даа даа У 2аа — а', — а,' а Э даа у 2аа-а;-а,' аа Следовательно, гессиан в рассматриваемом случае не равен тож- дественно нулю, так как он имеет вид 4 и. БАДАЧИ НА ПРИмвнвниа МБТОДА ГАМИЛьтОНА ЯКОБИ 333 акг чхг аг - иг „= — гггг )Гаг — вгк1 а )га, '— в'к', иг — аг ) = — рг. 1 ахг 'гхг ) а1 вх- г ав вхг Интегрируя, находим явную форму геометрических интегралов /в /в т Кв агсв(п ~ — х,! — агсв1п ~ — хг! * 1аг ! 'гаг ! аг /в /в 1 Рв агсв(п ~ — х,! — агсв(п ( — хг! ~а, (,аг ! аг Отсюда получаем уравнения для проекций траектории точки на плоскости (хгхг) и (х,х,) в виде (5.173) а,аг (5.174) а,' а,' агаг г вг Переменные разделились бы и в случае, когда частоты колебаний разных координат были бы различные, но в качестве траекторий мы получили бы фигуры Лиссажу.
2. Задача Кеплера (сферичсские координаты). Предположим, что силовой центр неподвижен, и введем сферические координаты, положив х, гсовгрсов8, х,=г сов грв(п8, хг=гв1п~р. Массу точки будем считать равной единице, тогда функция Лагранжа может быть записана в виде (.= — (Гг+ггфг+ггзгсовг<р)+ Т. ! 2 г Находим обобщенные импульсы р =Г, р„=ггф, рв г'зсовггр и составляем функцию Гамильтона (5.175) Заметим, что задача о движении электрона в кулоновском поле решается так же, как и задача Кеплера. Отличие заключается в том, что в задаче о движении электрона множитель у может быть не только положительным. ззе ГЛ. Ч.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
