В.В. Петкевич - Теоретическая механика (1119857), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Любое решение уравнения в частных производных первого порядка (5.39) есть первый интеграл системы уравнений Гамильтона (5.24), и, наоборот, если нам известен какой-либо интеграл, то, подставив его производные в левую часть (5.39), мы получим тождество. Следовательно, (5.39) ') Предполагаем, что все функпии, с которымн мы здесь встречаемся, имеао нужные производные по всем переменным, 10* справедливые при любых значениях переменных х„..., х„, т. Предположим, что интегралы )(х, () известны и независимы в указанном смысле.
Тогда систему конечных уравнений 7т(х, ()* ст (7' 1, ..., п) (5.37) мы сможем разрешить относительно х, и, таким образом, получим обшее решение системы дифференциальных уравнений (5.32)'), Это решение будет иметь вид хз гр,(1, с„..., с„). (5.381 Обратимся к системе канонических уравнений Гамильтона Дча дН др дгт' — — — — (з ! 2 ... 1). (5.24) ж др ' дт деа ° > Ф Обозначим через 7(д, р; () первый интеграл системы (5.24). Очевидно, что теперь уравнение (5.34) в частных производных первого порядка будет иметь вид Гл.
ч. мехАникА ГАмильтонА выражает необходимое и достаточное условие того, что функция )'(д, р', т) есть первый интеграл канонической системы дифференциальных уравнений (5.24). Рассмотрим некоторые простые примеры. Пусть функция Гамильтона некоторой системы явно не зависит от времени, т. е. Н Н (т) Р) и д дН дт Но (Н, Н)=О, слеаовательно, функция Гамильтона сама будет интегралом системы (5.24) *)-это будет обобщенный интеграл энергии, выраженный в канонических переменных: ! Н ни,'У,' р,т), — Е- сопз(. $ ! Очевидно и наоборот, если функция Гамильтона представляет собой интеграл канонической системы дифференциальных урав- дН пений, то — =О.
д! Найдем условие, при ко~ором первый интеграл будет иметь вид 1т = ро Так как — с О, то должно быть дл дт (рм Н) О, или — =О. дН дат Следовательно, обобщенный импульс р~ будет сохраняться во все время движения системы, если д~ есть циклическая координата ( дн /дб '1') в силу теоремы Донкина — = — ~ — )~. Заметим, что это следует дот ~дот)!' д дН сразу и из уравнения — у ет дц' В некоторых случаях, зная два независимых интеграла канонической системы дифференциальных уравнений, мы сможем найти третий интеграл, отличный от известных. Докажем теорему Пуассона.
Пусгпо функции канонических перелтенных <р(у, р; 8) и тр(д, р; Ф) е) Заметам, что на равенстаа нулю скобка Пуассона (Н, Н) следует, дН дН что — = —. й й' 293 $ А ИНТЕГРАЛЫ УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА предспи>ваяют собой независимые интегралы системы уравнений Гамильпюна (5.24). Тогда скобка Пуассона ат ф и 4р будет постоянной. Образуем скобку Пуассона Х=(ф. И (5.41) и, применяя (5.39), докажем, что полная производная по времени от функции Х(д, р; 4) обращается в нуль в силу системы (5.24).
Запишем в + (Х, Н) = — (ф ф)+((ф ф) Н (5.42) Используя свойства скобок Пуассона и тождество (5.28), преобра- зуем правую часть (5.42): )в>, 4у(+)ф, в>) — ((4Р, Н)ф) — ЦН, ф)4Р). (5.43) Подставим (5.43) и (5.44) в (5.42). Тогда «д, + (ф Н)) 11+(ф (д, +(4р. Н))1=0 Таким образом, у+(Х, ™)=О и теорема Пуассона доказана.
Теорема Пуассона далеко не всегда позволяет получить новый интеграл. В частности, если функции ф и 4р находятся в ннволюции, то х=(ф, Ф=й. (5.45) В подобных случаях функция Х будет сохранять в силу уравнений о п р е д е л е н н о е численное значение и равенство (5.45) мы отнесем к категории так называемых инвариантных аютношений. Может оказаться, что функция Х=(ф, 4р) связана с функциями ф и ф уравнением вида й(ф, ф Х)=0, (5.45) т.
е. что между тремя функциями, ф, ф и Х, имеется зависимость при любых значениях канонических переменных. В атом случае мы также не получим новый интеграл. По условию функции 42 и 4р — интегралы системы (5.24), следовательно, ау+ (4Р, Н) =0 и в + (4Р, Н) =О. (5А4) 294 гл. ч. механика гамильтона Если консервативная система имеет интеграл, не зависящий явно от времени, !р(д, р)=с, то, так как — =О и — =О, новый др дН интеграл мы не получим в силу того, что (р, и)=О. Если же при — =О мы найдем интеграл, зависящий от времени, ан !р(д, р; 1)=с, то по теореме Пуассона получим новый интеграл х=(р, и)= — —. д!р а!' Потенциальная энергия материальной точки в поле тяготения будет равна т/л и- — —, l Г з где г ~,/,У',х!, у-постоянная з). з! Находим обобщенные импульсы дТ р! ~ — = /их!.
дз! Функция Гамильтона будет равна полной механической энергии, выраженной в канонических переменных: з ! %! в тп! И= — ~~ р,— —. 2п! з~з г (5.47) Полагая пз 1, аапишем систему канонических уравнений йх! ор! = р! (5.48) чз ~1 Р У Р "ь "Р о дзыжеыыы заряда я кулоыозском поле (только з случае очтзлкызжощых сыа вужыо ызмеыыть зазы у множителя т). Рассмотрим в качестве примера пространственную задачу Кеплера (см.
задачу Кеплера в 9 7 гл. П1). Силовой центр будем считать достаточно массивным и, следовательно, неподвижным. За обобщенные координаты примем прямоугольные декартовы координаты х„хз, х, (разумеется, в задаче Кеплера зто не лучший выбор координат). Кинетическая энергия будет иметь вид з т= — 5, х!. Э В. ИНТЕГРАЛЫ УРАВНЕНИИ ГАМИЛЬТОНА Уравнение (5.39) примет следующий вид: з (5.49) где 7(хм х„ха; ЄЄР,', 1) есть некотоРый интегРал системы (5.48).
Так как здесь — О, то одним из интегралов будет дН интеграл энергии з — „Г, рз- — = сопз1. 1 %з 2 .Лз з ! Нетрудно, кроме того, проверить, что независящими от времени решениями уравнения (5.49) будут проекции на декартовы оси момента импульса и вектора Лапласа (см. 2 7 гл. 1Н): )'з = хзрз — хзр! )ма — — хз (р)+ р1) — рз (х) р) + хард) — 1 —,', (5.50) (5.51) где з, 1, й принимают значения 1, 2, 3 или получающиеся из них круговой перестановкой. Таким образом, кроме интеграла энергии мы имеем еще шесть интегралов, причем ни один из этих семи интегралов не содержит явно времени.
Рассматривая задачу Кеплера, мы нашли между семью интегралами две зависимости, тем самым показав, что число независимых интегралов, не содержащих времени, не больше пяти. Теперь мы рассмотрим якобиан д ()н )а )з, )4, )в, )в) д (хь хв, ха, Р,, Р, Рз) и докажем, что ранг матрицы, составленной из элементов этого якобиана, равен четырем (мы не включаем сюда интеграл энергии). Вычисляем минор четвертого порядка: д()„),, )„),) д(х„ха хв, ра) О Рз Рз О -Рз О Рз ха Ра Ра О ~а (:: —. )( р1+Р1- — + — ~ (-Рзр~+ —,~ ~ (-рддр~+ — в~ ( — хз)за-хар~) т тх11 ТХааз1 1 тхахзй з Мы видим, что так как 1а не равняется тождественно нулю, то действительно ранг матрицы Якоби не ниже четырех, т.
е. Гл. т, мехАникА гАмильтонА что среди шести интегралов 1„1„..., 14 мы можем выбрать четыре независимых. То, что ранг матрипы не выше четырех, следует иэ того, что независимых интегралов, кроме Н сопз(, может быть только четыре. Отметим еще, что рассматриваемый случай дает хороший пример применения теоремы Пуассона. Г)окажем, что, выбрав из шести интегралов три: х„р„— х,рв, Х„Р, — хзрв, 14 хв (Р(+ Р() — Рв (хзР~ + кара) — —, мы, используя теорему Пуассона, можем получить все интегралы.
Найдем прежде всего интеграл 1: (14, 14) — я- — — — = хара- хгрз 1,. д/4 д)в д(4 д)а дхв гвв дР, дхв Далее, (1ь 1в) — ха (Р(+ Рз) + Ра (хаРв+ хьпв) + —, - 14 ° Аналогично, (14~ 14) хв (Ра + Р ) Ръ (хаРа + хвРв) ~ 14 Часть скобок Пуассона обращается в нуль. Например, (14, 1,) — О. Обращаются в нуль н все скобки Пуассона вида (1Н О), как вто следует нз общей теории. Составим теперь скобку Пуассона из интегралов Лапласа, например (1„ 14). Опуская простые, но несколько громоздкие выкладки, найдем (144 1в) ®14(2 —,-Ф-Рав-рв).
Следовательно, (1., 1,)- — Ц,н. Как мы видим, скобка Пуассона от двух интегралов Лапласа равна произведению двух других интегралов на постоянный множитель, т. е. интегралу, отличному от интегралов Лапласа. н заключение укажем на интересный прнмер, приведенный в книге Уиттекера [Щ Система уравнений д' А,(д, Р; РК вЂ” '-()4(ч'. Р' () ( -(...., () «к принцип гамильтон« !вторая еормх! 297 обладает тем свойством, что скобка Пуассона (!р, ф), образованная из двух любых (независимых) интегралов !р и ф, является также интегралом. Показать, что уравнения (5.53) имеют форму уравнений Гамильтона.
По условию )(=(ф, ф) есть интеграл системы (5.53). Поэтому д! + ~ (д— А7+д — В!) 0; /=! отсюда ! (7. ф)+ ф. 5+ (А!,д (чь и+В!,~ (ф, ф))=0. ! ! Используя тождества д! + ~~ (д— А!+д— В)=0, д! + ~ (д— А!+д — В)=0, ! ! вычислим скобки Пуассона. Далее, опираясь на независимость интегралов !р и ф, получим равенства вида дд! дд! — + — =О, ... ден др; Поэтому мы сможем положить А= — — В=— дН дН д ' «д Р» Ч! и записать систему (5.53) в виде канонической системы: Щ дН др дН д! д7, ' д! де»' % 5.
Принцип Гамильтона в фазовом пространстве (аторая форма) Мы уже познакомились с так называемой первой формой принципа Гамильтона (гл. 1!7, 9 16). Дни>кению механической системы с 1 степенями свободы там отвечало движение изображающей точки в конфигурационном пространстве, число измерений которого равно числу степеней свободы системы. При переходе к фазовому пространству, в котором положение изображающей точки определяется каноническими переменными и число измерений которого в два раза больше, мы сталкиваемся с необходимостью видоизменить выражение принципа Гамильтона, построив «новую» функцию Лагранжа. Причина заключается в том, что «старая» функпия Лагранжа после перехода к каноническим пере«!енныч не будет сол! ржать производных по времени от коордииа! изображающей точки.
298 Гл. у. мехАникА ГАмильтонА У На рис. 5.2 условно изображено расширенное проРис. 8.2. странство состояний. Кривая А'В'Сг †траектор изображающей точки. Кривая АВС вЂ” ее «проекция» на расширен- ное конфигурационное пространство *'). Таким образом, мы приходим к условному экстлрелуму: 6 ~ (.(д, тй () и = О, с, (5.56) бдг )г, = О, ба !ь = О. (5.57) ь) В главе )Ч мы обращали внимание на то, что если дй дв — =о, то и — =о. л (411 ~ юг «*) Кривой АВС можно поставить в соответствие множество правых в про- странстве рь ть Г), лежащих на «цилиндре», но условие ч,= — будет выпол- Ф. Й няться только на одной иа них.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
