В.В. Петкевич - Теоретическая механика (1119857), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Полученные уравнения известны под названием уравнений Гиббса — Аппеля. Впервые эти уравнения были опубликованы в 1878 г. Гиббсом, но в то время не привлекли к себе внимания. Спустя двадцать лет к уравнениям такого же вида пришел Аппель, решая задачу о движении неголономной системы. Уравнения Гиббса — Аппеля отличаются необычайно простой формой и большой общностью †о приложимы не только к голономным системам, но и к системам с неголономными связями.
Можно, кроме того, показать, что при выводе уравнений движения в качестве переменных могут быть использованы и так называемые квазикоординаты (лучше говорить о квазискоростях, т. е. о некоторых линейных функциях от г)1, которые не являются полными производными функций от 17 и 1). Теория квазикоординат и квазискоростей ие входит в иаш курс, однако для более полной характеристики принципа Гаусса и уравнений Гиббса — Аппеля мы кратко изложим некоторые сведения о квазикоординатах **). Рассмотрим движение системы с идеальными и голономнымы связями и введем линейную дифференциальную форму обобщенных скоростей с коэффициентами, зависящими от д„ ..., «)1 и 1, 272 гл, пх мвхдннкд лагранжа. влвидционныв принципы обозначая зту форму через «;: 11,- Я~ Ис 5 ! Предположим, что (с!!с=с!с (сс.
1)). (4.189) (4.191) 5=! С=! с=! где 1 С л Пс='У„«„а='~ У; «„фГ.). (4.193) Через Пс здесь обозначена обобщенная сила, соответствующая квазикоординате пс. Выразим скорости и ускорения точек через квазискорости и квазиускорения: 'ю дг„. дс'и l. = ~ —,ч+ — = 5~~ дссс 5 дс 5 1 с с 1 5=!С ! 5=! '1 кс не существует как функция обобщенных координат и времени.
с(е1 (71,)с, 1~ О, т. е„что система уравнений (4.189) разрешима относительно С)5. Функцию Ьс можно рассматривать как производную по времени от некоторой переменной пь однако сама переменная не может быть вообще представлена в виде функции от 571, ..., 571 и 1. Переменная пс называется квазикоординатой, а «!†квазискоростью е). Разрешая уравнения (4.189) относительно су„получим ! «,А+ «„ (4. 190) 1 ! где «,с, «,— функции от Сс„..., ссс и 1. Изохронные вариации переменных су и и связаны следующими формулами: 1 бп,= ~ 715857„ с 857,= Я «С,Ьпс (81=0).
С 1 Найдем обобщенные силы, вычисляя виртуальную работу активных сил: с 1 С 1 Аа = 'Я Я, 857, =,'У',;5, 'Д,«ы бпс = ~ Пс биь з иь пгинцип гххссл Отсюда ! а.=у.=~ч е.!й,+.. !=! Следовательно, (4.194) Обе части каждого уравнения (4.188) умножим на Ь„и просуммируем по з: ! Х дд, е Х()' и' ! 1 ! ! Исходя из равенств ! !),= ~ч' Ь,!Ь!+Ь„(),= ~ч, Ь„й,+..., находим дд, дд дя; дй! Следовательно в 8 4 Уравнения Гиббса — Аппеля, записанные в квазикоординатах, будут иметь такой же вид, как и в обычных обобщенных координатах: (4.195) дя! Однако теперь уравнения Гиббса — Аппеля нужно рассматривать совместно с уравнениями ! и = Х 1м!)., (4.189) $=! которые являются как бы уравнениями неголоиомных связей.
Система уравнений будет состоять из 21 уравнений; число неизвестных функций также равно 21 †э функции д, и Й!. Квазискорости удобно применять при исследовании движения систем с неголономными связями. Заметим, что с некоторыми квазискоростями мы уже встречались при изучении уравнений Лагранжа второго рода: при некоторых условиях квазискоростямн являются обобщенные импульсы, 274 гл, нл маххникл лхгэянжл. влэиационныа пэинципы определяемые формулой дЬ а!) ' где Ь есть функция Лагранжа. Если функция Лагранжа имеет вид Ь вЂ” ~~~~~ ~~~~ Ац7)Д~+ ~~~~ В!4!+ Т, — У, 1=!! 1 то обобщенный импульс есть линейная функция от обобщенных скоростей: ! р!= Я А„!),+В!, (4.196) в 1 где Ао и В! могут зависеть от д и !.
Очевидно, что если А„ и В! переменные, то правая часть формулы (4.196) далеко ие всегда будет полной производной по времени от какой-либо функции обобщенных координат и времени. Это значит, что обобщенные импульсы р, мы можем рассматривать как некоторые квази- скорости. Выражая векторы т!, через р!, а ускорения а, через р„ мы увидим, что функция Гиббса — Аппеля будет квадратичной функцией от р!. Запишем уравнения Гиббса — Аппеля, принимая за переменные обобщенные импульсы. Для этого разрешим систему уравнений (4.196) относительно !), (в 59 доказано, что для классических систем де1 (Ац)! ст, Ф 0).
Находим ! б,= ч„и„р!+..., ! ! Р (),= ~ч; н„р,+... (4.197) ! ! (отброшены члены, не содержащие Р). Составим теперь комбинацию уравнений системы (4.188), умножая каждое из них на Н„и суммируя по з: ! ! '~ ,— '.'. Н„= ~~! О,Н и Далее, исходя из того, что д4, Я, д. д'. Р! Р! (4.198) где ̈́— известные функции !7 и ! (здесь выписаны только члены, содержащие р;). Затем, дифференцируя по времени обобщенные око ости, получим 275 9 !к принцип ГАуссА и, следовательно, '~,— „н„= ~,— „—.
=,—., дд д5 дт9 дд дд~ дт др! др! ' 1=! я ! д9Га д9ГС д~ра' — = — '+ —" а!9 Щ' д!9 ' или аа=ас+а,',. Подставив в формулу (4.186), получим а Ю = — Мас+ — Аг' р9, (а,')9, (4.200) а=! так как а а Г..!.~.'!-(~.Г..а1-9. а а ! Здесь а' есть ускорение точки М, относительно осей Кеиига. Заметим еще, что, исходя яз принципа Гаусса, можно выводить уравнения движения свободных систем.
Для свободной системы принуждение равно нулю: в уравнении (4.180) обращаются запишем систему уравнений Гиббса — Аппеля в следующем виде: д. =Р! (1=1, 2, ..., 1). дд (4.199) др! Здесь Р!=,У~ Я,Н,! есть обобщенная сила. Систему уравнений 9=! (4.199) нужно рассматривать совместно с системой (4.196); неизвестными функциями здесь являются обобщенные координаты !7, и обобщенные импульсы Рь Применение квазискоростей р, особенно удобно в тех случаях, когда имеются циклические координаты, — когда функция Я не зависит от некоторых обобщенных координат, а соответствующие обобщенные силы равны нулю (см.
пример в конце параграфа). Уравнения Гиббса — Аппеля, несмотря на целый ряд достоинств, сравнительно мало изучены и довольно редко применяются для решения задач. Можно указать, например, на книгу Парса [2Г), где, кроме основных сведений об уравнениях Гиббса †Аппеля, рассмотрено применение этих уравнений к решению ряда задач. Выведем формулу, аналогичную формуле Кенига для кинетиЧЕСКОй ЭНЕРГИИ. ИСХОДЯ ИЗ РаВЕНСтВа ГА=ГС+У'„', ГДЕ ГС ЕСТЬ радиус-вектор центра масс, а г„' — относительный радиус-вектор точки М„, мы найдем 27б Гл. 1ч. мехАникА лАГРАнжА.
ВАРиАционные пРинципы в нуль все разности (тч,— т,а,). Это означает, что кинематически возможны любые вариации ускорений. Приведем в виде иллюстрации два примера. 1. Свободная материальная точка М с массой и движется в плоскости под действием центральной силы Р. Начало координат расположим в центре силы и примем в качестве переменных полярный радиус г и секторную площадь а.
Из кинематики точки мы знаем, что а = Е, (7 — гф') + Е,Р— — „(гсф), 1 чг а'1 где т и 1р — полярные координаты точки. Секторная скорость определяется формулой х с аа 1 йр гз и 2 Е1' Отсюда ЦР 2 а'о Ж КГ 411' Находим квадрат ускорения а' = (7 — —,а') + —,(а)'. Функция Гиббса — Аппеля будет равна 4 Рис. 4.13. 2 1(7) ~в «1 7+ с (11) ~ ( /аС '1С'1 здесь отброшено слагаемое 81П1 —,) ). Обобщенные силы находим обычным способом: (),=р. а=о. Уравнения движения получим, дифференцируя 5 по 7 и по б: т(7- — ас)=Р, —,'6=0.
кг ') — Ге Из второго уравнения находим Ь=сопз1. Возвращаясь в первом уравнении к полярному углу, получим известное уравнение движения точки в полярных координатах. 2. Материальная точка, масса которой равна и, может двигаться под действием силы тяжести без трения относительно вращающейся плоскости. Плоскость равномерно вращается вокруг вертикальной оси с угловой скоростью са.
Введем две системы координат: неподвижную х у г и подвижную $ ь, жестко связанную с вращающейся плоскостью (рис. 4.19). Положим 1)1=7„ з и. пеинцип глуссл дз=Ь и составим уравнения Гиббса — Аппеля. Выразим декартовы координаты точки в неподвижной системе через $ и ~: к=$соз(в(), у=аз(п(вг), г=~. Дважды дифференцируя по времени, получим У = $ соз (в() — 2о4 зш (в() — в% соз (в(), ф $ з!п (в()+2в$ сов (в() — в'$ 8!п (в(), 2=~. Отбрасывая члены, в которые не входят вторые производные составим выражение функции 3: 3= з (х +У'+Б') = 2 (~'+~' — 2$в'ь).
Далее находим обобщенные силы и частные производные от функ- ции5 по$иь: а 0, Яс = — тй, ав = = т ($ — в'$), —.. = ть. дЯ дс дь Сокращая иа множитель т, запишем уравнения Гиббса — Аппеляг $ — оР$=0, ь= — д. МЕХАНИКА ГАМИЛЬТОНА $1.
Оптико-механическая аналогия Гамильтона В своих знаменитых работах 1824 — 1828 гг., представленных Ирландской Академии наук, Гамильтон, решая проблему оптики о распространении света в оптически неоднородных и неизотропных средах, пришел к уравнениям, впоследствии получившим название уравнений Гпмильтона, или, по предложению Якоби, канонических уравнений. Удивительна судьба этих уравнений. Сам Гамильтон показал, что канонические уравнения могут быть с успехом использованы и в аналитической механике.
Позже уравнения Гамильтона были применены в электронной оптике для описания движения заряженных частиц в электромагнитных полях. Развитие квантовой механики привело к созданию уравнений, совпадающих по форме с классическими уравнениями Гамильтона (Гайзенберг). Уравнения Гамильтона используются в различных областях механики и математики: в небесной механике, в теории управления, в теории устойчивости движения, в теории нелинейных колебаний и т. д. В своих исследованиях по оптике Гамильтон установил тесную связь между интегралами системы обыкновенных дифференциальных уравнений и решением дв у х уравнений в частных производных первого порядка.
Эта идея Гамильтона была развита Якоби, который, обратив ход рассуждений Гамильтона, показал, что если известно решение (полный интеграл) одного уравнения в частных производных, то интегралы системы канонических уравнений можно получить дифференцированием известного полного интеграла по координатам и постоянным. Так возник метод Гамильтона — Якоби, который мы подробно рассмотрим в 5 10 настоящей главы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
