В.В. Петкевич - Теоретическая механика (1119857), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Если движение системы будет свободным, то в уравнение не войдет реакция связи. Обозначая через а„ускорение точки М„в свободном движении, запишем пса««ао = Ра. (4. 173) Е' бра = «га ««ао = ога сс ма Отбрасывая положительный множитель, содержащий (И)о, пред- ставим принуждение в следующем виде: л ЕУУ =,.Л, !Па (аа — ~) а ! (4.174) Сумма активных сил Ра имеет одно и то же значение как в движении со связями, так и в свободном движении.
Здесь существенно предположение о независимости активных сил от ускорений. Принуждение выражено формулой (4.171), в которой приращения радиусов-векторов точек мы можем, при достаточно малом М, заменить приращениями ускорений. Но так как ускорения точек в свободном движении пропорциональны активным силам, то хбб Гл. )и. мехАникА лАГРАнжА. ВАРиАционные пРинципы ~!(х„хз, хз "., хзл' !)=О (1=1, 2, ..., р). (4.!76) Дифференцируя дважды обе части каждого уравнения связи по времени и полагая, что вторые производные от функций )у по всем переменным непрерывны, получим д!т 'кз дгг — + ~~ — х;=О, д! л'з дх; !' = ! Зп Зп Зл Зл З=! !»=! !=! (4.176) В «мыслимых» движениях, с которыми сравнивается действительное движение, координаты и скорости материальных точек принимают в каждый момент времени такие же значения, как и в действительном движении, но ускорения отличаются от действительных.
Поэтому, обозначая через х; проекции ускорения точек в их движении по «окольному» пути, запишем Зл Зп Зл З=! з=! Заметим, что скорости и ускорения, входящие в уравнения (4.176) и (4.177), подчиняются только уравнениям связей, но могут и не удовлетворять динамическим уравнениям движения **). Обозначив через г»Х! разность (х! — х!) и вычитая почленно (4.!76) из (4.177), получим д— Ьх! = О. ХР— ' ! '=! (4.178) *) Исходя из динамического принципа виртуальных перемещений, мы, строго говоря, сможем доказать справедливость принципа Гаусса в пределах той частя механики, которая охватывается принципом виртуальных перемещений.
Но в процессе доказательства и, кроме того, при выводе уравнений движения мы убедимся а том, что принцип Гаусса отличается большей общностью. **) Скорости н ускорения, удовлетворя лщие тол ь к о уравнениям связеи, обычно называют лип«магии«ески лозмомниии, Принцип Гаусса докажем, опираясь на динамический принцип виртуальных перемещений и привлекая уравнения связей *). Предположим, что на систему, состоящую из и материальных точек, наложено )ь голономных связей (дальше мы увидим, что связи могут быть и неголономные).
Определяя положение точек декартовыми координатами (х,, х„х„..., хзп), запишем уравнения связей: й М. ПРИНЦНП ГАИССЛ й(ы видим, что приращения вторых производных от координат точек по времени удовлетворяют уравнениям того же вида, как и виртуальные перемещения — изохронные вариации координат (см. уравнения (4.7)). Следовательно, в выражении динамического принципа виртуальных перемещений (уравнение (4.41)) мы можем заменить изохронные вариации координат величинами Ьх,— приращениями вторых производных от координат по времени и вместо уравнения ,У', (Р« — т«2«) бх, =О, записать за ( ь'; — т, и«) ЛУ« =* О.
«=! (4. 179) Если с действительным движением сравниваются близкие к нему движения по «окольным» путям, то в уравнении (4.179) заменим М; через бх; (б есть символ малого приращения). Заметим, что здесь тт =те=та, т«=та =т«, т =т =тз и т. д. Сравнивая действительное движение с близкими движениями по «окольным» путям, запишем уравнение (4.179) в векторной форме: в ~ ((Є— тоа,) ба„) О. (4.180) ««! а 5' то ~«за ) = О. а=| (4.181) Равенство нулю первой вариации принуждения означает, что принуждение принимает экстремальное значение, но так как принуждение состоит из суммы полон ительных слагаемых, то мы можем утверждать, что действительному движению отвечает минимум принуждения.
Принцип Гаусса доказан '). ") С изложением принципа Гаусса можно ознакомитьсн по статье Берт. рана, перевод которой на русский язык приведен в дополнениях ко второму тому «Аналитической механики» Лагранжа 1171. 1!деи Гаусса были развиты в конце Х1Х века Герцем, которому принадлежит истолкование принципа Гаусса как принципа наименьшей кривизны (наименьшей кривизны траехтории изображающей точки). В силу того, чтоб( О, бг,=О, бт«,=0 и, следовательно, бР =О, мы можем, изменив знак и отбрасывая множитель !/2, представить уравнение (4.180) в виде лба гл.
!ч. мвххннкл ллгглнжл. вх»ихцнонныв п»инцнпы Для того чтобы пояснить смысл замены вариаций координат в выражении динамического принципа виртуальных перемещений вариациями ускорений, обратимся к уравнениям Лагранжа 1-го рода (см. гл. ЪЧ, З 7) Реакции идеальных голономных связей в уравнениях Лагранжа 1-го рода выражены суммами вида тр ар, / ! 1=! Зл — бх! = О.
Х вЂ” '- д1/ дх/ Следовательно, если мы заменим бх/ через бх1 (илн /1х/), то обнаружим, что сумма «работ» реакций идеальных связей на таких «перемещениях» также будет равна нулю: Зл Л Л Зл Хбя/ ХЦФ = ХХ/ХьбУ=О ! ! !=! Это и дает нам право заменить в выражении динамического принципа виртуальных перемещений бх! через бх1. Допустим, что среди связей имеются линейные неголономные связи, уравнения которых имеют вид (4.3)! Зл ~', А»/х/+1/»=О (4=1, 2, ..., т). Уравнения таких связей можно представить в виде равенства нулю линейных дифференциальных форм: ,У, А»1//х!+Олб/= О.
1=! Изохронные вариации координат будут связаны уравнениями вида Зл ~ Амбх;=О (б/=О). 1 1 Легко показать, нулю. В самом лучим Х, так как что сумма виртуальных работ реакций равна деле, вычисляя сумму виртуальных работ, по- л л зл бх/ ~')!/ — — ~ Х/ ~~~„~— бх;=О, 269 $19. ПРИНЦИП ГАУССА Дифференцируя по времени обе части каждого уравнения связи, найдем Зл З» Зл Зл Зл ~), ~, — "' й(й/+ ~), — з(Х(+ — '+ ~~ — «й(+ ~~), АЗУ(=О.
1/ 1 ( ! (=! (=1 Уравнения связей, которым подчиняются приращения ускорений, аналогичные уравнениям 14.178), мы запишем теперь в следую- щем виде: Зл ~~", Ам ЬА('=О, ( ! или ,Я Амбх(=О (й 1, 2, ..., з!). По«ажем, что сумма работ реакций идеальных линейных неголономных связей равна нулю. Уравнения Лагранжа 1-го рода могут быть записаны таким образом: л л((А(* г(+~ тмААи З 1 где ц, — множители Лагранжа. Обычным способом вычисляем сумму виртуальных работ реакций связей и убеждаемся в том, что она равна нулю: Зл л л Зл ,У,' бх( 'Я 91«Аз( °,),' ПА,Я Амбх(=О. (-1 З ! З 1 ( Следовательно, будет равна нулю и сумма «работз реакций связей на «перемешенияхз 6У(: ;5; !(з,'У, 'Амбх(=О, З=! ( что позволяет распространить принцип Гаусса на системы с линейными неголономными связями.
Проблемы систем с неголономными связями не входят в наш курс; мы ограничиваемся лишь краткими упоминаниями о некоторых свойствах этих систем. Обратимся к выводу уравнений движения в обобшенных координатах. Допустим, что материальная система имеет! Степеней свободы и введем обобшениые координаты (/„(19, ..., ((„полагая /»=га И» "° з (/(1 О. а70 гл. !ч.
маханиях ллгвхнжл. вхеихционныв пеинципы .Дифференцируя по времени, находим ! ига дга 'К! дгв, тв = — = — + — 4 а = ц! = д! 7 д, вв в ! двв а 'па = д!в 14.!82) в в ! :Из формулы, определяющей скорость, находим известное соотношение даа дга ддв дчв ' Взяв частную производную от ускорения а, по в)„получим да а дга дД~ д9в Отсюда заключаем, что обобщенная сила может быть представлена в следующем виде: (4. 184) Вариацию ускорения выразим через вариации вторых производных от обобщенных координат по времени: 6!та ) д4 бдв' Здесь мы приняли во внимание, что 61=0, 61),=0, 61),=0. Выражение вариации ускорения подставим в уравнение 14.180)! л 1 ~(!Р— в ! ~в 11.)=в.
а=! в=! Изменив порядок суммирования и знак левой части, найдем л л ~ и, ~ .( .ввв 1 — ~ (г в фЦ~-о. в=! а а ! Сумму ~~ та(а —.)! можно представить в виде дв!а ! а ддв 1' !в =1 а ! 27! Ь 19. ПРИНЦИП ГАУССА Функция н ! %1 Я= — ~ лзна' а 1 (4.186) известна под названием функции Гиббса — Аппеля, или энергии ускорений. Вторая сумма в фигурных скобках есть обобщенная сила.
Таким образом, исходя из принципа Гаусса, мы приходим к следующему уравнению: (4.187) в котором вариации обобщенных ускорений независимы*). Приравнивая нулю коэффициенты при 84„ мы получим систему уравнений движения: а==(г«('=1 ~ " ° 1) (4.188) ') Независимость бр«следует из того, что при переходе к обобщенным координатам уравнения связей (4.)78) илн аналогичные уравнения неголономных связей тождественно удовлетворяются. '") См., например, книгу Гантмахера 19), где применяется термин «псевдокоординатыз. Квазнкоординаты, часто называемые «неголономными координатамиз, в последнее время находят примененне в некоторых исследованиях по теоретической физике.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
