В.В. Петкевич - Теоретическая механика (1119857), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Система (5.!О) при переходе к каноническим переменным примет вид (5.15) гадь ! Чтобы записать выражения ! — !, нужно продифференцировать '(ду,) ' функцию Лагранжа по д„а затем в полученную' производную подставить (5.! 4). Значит, ! — ) — это частные производные, вычис~а). т ' '!ду,) ленные по явно входящим в функцию Лагранжа координатам, т.
е. Система (5.15) есть система дифференциальных уравнений первого порядка в канонических переменных, но сама она еще не является канонической. Для придания системе (5.!5) канонического аида нужно преобразовать правые части уравнений. С этой целью воспользуемся теоремой Допьяна*). Пусть Х есть некоторая функция переменных х„..., х„и параметров а„..., а (может быть т~п), имеющая непрерывные частные производные второго порядка по всем аргументам. Теорема Донкина утверждает, что если с полтощею формул дхт дХ (5.16) совершается переход от перелтенных х к переменным у, то 1) формулы обратного преобразования, выражающие х через д и а, будут илтеть вид л )'= 'кл, 'х,у,— Х а=1 (5.18) (символом х, мы обозначили х„выраженные через у и ап аналогично, Х = — Х (х„..., х„; а„, ..., а )); ') Теорема Донника поаволнет в удобной форме совершить преобрааоваине Лежанвра.
дт' (5.17) дуг где функция )' (ут, ..., у„; а„..., са ) определяется формулой З К ТЕОРЕМА ДОНКИНА. УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА 285 2) чосп«ные производные по параметрам а от функций У и Х связаны соотношениями (5.19) Доказательство заключается в дифференцировании неявных функций. Дифференцируем обе части (5.18), выраженные через у и а, сначала по у«! Ф в ду 'д дх С! дХ дх — х«+ х у,— — ~ = —. дв! «ь«де! ь «дх ду! в ! в ! Так как, очевидно, дХ = — Ув дхв (5.20) мы получим дк я = —. ду! ' в в ! В силу (5.20) обе суммы взаимно сокращаются. Что касается последнего члена, то это есть производная от функции Х по явно входящему параметру а;, выраженная затем через у: (дау) (да!)» Р' Следовательно, Теорема Донкина доказана.
Уравнения (5.16) должны быть разрешимы относительно х. Поэтому должно выполняться условие разрешимости: Вернемся к выводу уравнений Гамильтона и преобразуем пра~вые части уравнений в системе (5.15). Сопоставим переменные х с обобщенными скоростями «), у с обобщенными импульсами р (теперь п=1, где 1 есть число степеней свободы системы). Один из параметров а будет соответствовать времени 1, остальные 1 параметров — обобщенным координатам «) (и! = 1+ 1). Что касается «функций Х и У, то функция Х будет соответствовать функции Для проверки соотношения (5.18) по ар в в=! (5. 19) диффереицируем обе части 266 ГЛ.
Ч. МЕХАНИКА ГАМИЛЬТОНА Лагранжа Е (д, 4 1), а функция )' — функции Гамильтона Н (д, р; 1), определяемой по формуле ! Н= 'Е тиара 1' (5.21) Тогда по теореме Донкина правые части уравнений системы (5.15) будут равны д дН (5.22) др ' (5.23) Системы уравнений (5.15) мы можем теперь записать в виде канонической е) системы уравнений: дд дН др дН дт дра ' то' дчз ' (5.24) Функция Гамильтона Н(д, рч 1) есть функция канонических переменных, имеющая простой смысл **).
Обратимся к формуле (4.93). В эту формулу входит обобщенная энергия Ът . дд Е = г д —. адй, з ! Сравнивая функции Ее(4, 4; 1) и Н(д, р; 1), убеждаемся в том, что Н представляет собой обобщенную энергию, выраженную в канонических переменных. Для классических систем Ее=те — т,+и и функция Гамильтона будет иметь зид Н =те — т,+и.
(5.25) Если, кроме того, формулы, с помощью которых вводятся обобщенные координаты, не содержат явно времени, то н=т+и, (5.26) т. е. функция Гамильтона для таких систем есть полная механическая энергия, выраженная в канонических переменных. Символы т„ т означают, что все д выражены по формулам (5.14). При частном дифференцировании по любой канонической переменной все остальные надо считать постоянными. ') екеноническвяз система †некотором смысле образцовая. "*) В квантовой механике нв основе функции Гамильтона строится опера. тор, назыовемый галнаьвоннаном. Часто свмильтонивном невыввют н саму функцию Гемильтонв. тат $3.
СКОБКИ ПУАССОНА. КОММУТАТОР й 3. Скобки Пуассона. Коммутатор Рассмотрим произвольные дважды дифференцируемые функции канонических переменных и(Ч!. ° " ° Ч!' Р» "" Р»' 1) О(Ч» "° Ч!' Р1, . ° °, Р!' 1) в(Ч» ° ° ° г Ч! Р» ° ° ° ~ Р»' 1). Дифференцируя и и о по переменным Ч и Р, составим суммы определителей вида Х Суммы определителей будем кратко обозначать символом (и, о) и называть скобками Пуассона: (и, о) ив ~~( (5.27) Отметим некоторые очевидные свойства скобок Пуассона: 1) и, и)ии О; 2) и, о) — (о, и); 3) и, с)= О; 4) си, о) с (и, о) (с- постоянная)," 5) ((и+и), в)=(и, в)+(о, в); 5) д-',(' )=ф о~+(и, Ц За пишем, кроме того, тождество Пуассона — Якоби Ци, о) в)+Цо, в) и)+Цв, и) о) ~О, (5.28) которое мы докажем. Введем понятие дифференциальных операторов первого порядка, действующих на некоторую функцию 1(х» ..., х„): 1! !! Х7ии ~~~ Х, д, )'7 — ~~~ 1'1д— , ! ! 1 ! где Х!, 'г1-известные функции переменных х.
Образуем так называемый коммупшлюр г~ Х (О')) — )' (Х~), г~ (ху — ух) 1. или ди дч! др де! ди др, др др; ди ди дч! др! др дР аВ др, 28з З Х СКОБКИ ПУАССОНА. КОММУТАТОР Тогда, принимая во внимание равенства д»С» ( (, З= С» д»С д»Сс ( 0 а~с дрс и вычисляя скобку Пуассона, найдем дН (сс„Н) = —. др ' (5.29) Если теперь положить и=р„о=Н(сс, р', 1), то в силу того, что '— ,' =0» получим (р- Н)= — д —. дН две ' (5.30) Используя (5.29) и (5.30), мы запишем уравнения Гамильтона (5.24) в симметричной форме: (5.3!) Такая запись канонических уравнений (аналога классических уравнений) применяется, в частности, в квантовой механике, 1(С в. В.
пе»еееее Меняя порядок суммирования и дифференцирования, найдем, что с с=с Следовательно, Ци, о) ис) = ((с'У вЂ” У(/) ис. Подставляя найденные выражения в (5.28), приходим к доказательству тождества Пуассона — Якоби: ((и, о) ис) + Цо, ис) и) + ((ис, и) о) = ((су — ус/) и + (уц — (су) ис — 0. Скобки Пуассона позволяют записать канонические уравнения в симметричной форме. Лля этого выберем функции канонических переменных и и о следующим способом: и=о„о=Н(сс, р', с). ГЛ.
У. МЕХАНИКА ГАМИЛЬТОНА Отметим еще, что если даны п функций канонических переменных ис(д, р; 1) таких, что скобка Пуассона от любой пары из этих функций равна нулю, то говорят, что система функций находится в инвплюции э). й 4. Интегралы уравнений Гамильтона. Теорема Пуассона Рассмотрим систему дифференциальных уравнений первого порядка, приведенную к нормальному виду, -систему уравнений, разрешенных относительно производных: — '=Хс(х, Ф) (с 1, 2, ..., п), (5.32) где хс — неизвестные функции времени, а Хс — заданные функции от х„ ..., х„ и времени 1 э*).
Первым интегралом системы (5.32) называется 4ункция ~(х, с), обращающаяся в постоянную в силу рассматриваемой системы уравнений )(х, 1)=с. (5.33) Иногда первым интегралом называют само соотношение (5.33). Для приложений гораздо удобнее другое определение первого интеграла, которое по существу эквивалентно приведенному выше. Именно, первым интегралом системы ди44еренцпальных уравнений (5.32) называется 4ункция ) (х, с), полная производная которой по времени равна нулю в силу данной системы ди44еренциальных уравнений: д) д) -+ ~ х,,-„-о. (5.34) с Из теории дифференциальных уравнений известно, что (5.34) есть необходимое и досспаточное условие существования первого интеграла системы дифференциальных уравнений (5.32)**э).
Поэтому на (5.34) мы можем смотреть как на линейное уравнение в частных производных первого порядка, и независимых решений которого представляют собой совокупность независимых первых интегралов системы (5.32). Обозначим какой-нибудь из этих интегралов через /с(х, г). (5.35) ') Инволюция — соответствие между элементамн некоторого множества, сохраняющееся прн каких-либо повторных преобразованиях этих элементов (см 4 7 — канонические преобразования). Если в правые части дифференциальных уравнений системы (б.ай) время С явно не входит, то такие системы часто называют аэпюномныли. "') См. любой курс дифференциальных уравнений.
4 а. интеГРАлы уРАВнении ГАмильтонА Условие независимости (функциональной независимости), как известно из математического анализа, записывается в виде неравенства нулю определителя Якоби: д/д д)з дг'„ дх, дх, "' дхт -'-т - — "ы, о. д(хт, ..., х„) (5.36) д/д д(з д(а дх„дх„" ' дх„ Если выполняется условие (5.36), то зто означает, что между функциями )т (х, () не сушествуют зависимости вида Р д„ ..., 7„) - О, или )д91+ У, Н)-О, (5.39) где (7", Н) есть скобка Пуассона.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
