В.В. Петкевич - Теоретическая механика (1119857), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Производные — „' обозначим через 41, 'и предположим, что оии непрерывны. Запишем интеграл от кинетической энергии в геометрической форме У2 (Ео — (1) йэ, (4.159) сгР4Р4 или, вводя параметр о, в виде определенного интеграла а, 1»ги.-и1)»г,гге»14!4. 4»~.а»4, 44.4444 а, 1 П р и нци п Якоби, В действительнолг движении еолономной консервативной системы с конечным числом сп»епеней свобода Функционал аг 11/ггг,:аг)»г.
Р,л„г;4,4. а, 4 принимает экстремальное значение'), если б»1»1а=аг =О, б»»41а=а, =О. ') Если точки Р, и Р, достаточно близки дру» к другу то функционал принимает минимальное знкчсиис. в» 260 гл. сч. мвхлникл ллгплнжл. влпилционныв пвинципы ! — (2' А»» ) )/2 (Е, — У) 2 '~/ ~ Ас сс,'!7,' сс ~Д Ае!»') аи + дч У2 (Я,— 77) д ;У, 'Л„д,д,' — )/'2(Е,-и) О и 2 1/~ А!7!7,«с Г и (з=1, 2, ..., 7).
(4.162) мы для краткости обозначили через ) ,'. и Двойную сумму 'Я "С Мы предполагаем, что варваавв дс)с веааввсвмы в вто пров»впалые д до — (дрс) непРеРывны. Выведем дифференциальные уравнения экстремалей, обозначив для краткости подынтегральную функцию через 7! сс! !с — пс~ГЯ ЯА, ! !' с сс, с с, сс !с!! с Обычным способом варьируем функционал, заменив изохронную вариацию вариацией «изопараметрической», т. е.
сравнивая значения обобщенных координат с)с и производных с7,' в действительном движении и в движении по «окольным» путям при одном и том же значении параметра О. Итак, обозначая, как обычно, вариации через 6, найдем а, о с 6 ) 7 ('7! с7 ) с(О = ) ~~ (д— 6!7!+ дв ° бс)с) с(О. о о с=! В силу независимости вариаций бс7с мы можем поменять местами варьирование и дифференцирование по параметру О '): бс7,' = — (бс)с). Затем, интегрируя по частям, найдем: а ! ~А~ (д— — «с д —,)бс7сс(О+ ~ д— ,бс7с~ =О.
с=! Вариации бс7с при О = О, и О =О, равны нулю. Опираясь на лемму Лагранжа, получим систему дифференциальных уравнений экстремалей в виде системы уравнений второго порядка: с) д7 д7 да дс7,' дсс — — — О (в=*1 2 ... 7) Ф Э ° ! иля, подробнее: э ск пгинцип якови Предположим, что силовое поле отсутствует, т. е. что У=О. Тогда, сокращая обе части на общий множитель )сс2Е„мы придем к следующей системе дифференциальных уравнений: д (Сс 7 Ассс(сдс,. и (з = 1, 2, ..., ().
(4.163) ~ Ацд,'сс'. сс В этом случае интеграл (4.169) пропорционален длине дуги, элемент которой равен с(з, а решение системы дифференциальных уравнений (4.163) будет описывать геадезичесние линии в пространстве конфигураций. Следовательно,.
если сйловое поле отсутствует, то механическая система движется так, что траекторией изображающей точки в пространстве конфигураций будет геодезическая линия. Если силовое поле отсутствует, то кинетическая энергия консервативной системы постоянна. Следовательно, изображающая точка в этом случае будет двигаться по геодезической линии с постоянной скоростью. Величина скорости изображающей точки находится из интеграла энергии (4.168): „— =Р 2Е,. Если функция 0 не равна нулю (или постоянной), то интегральные кривые системы дифференциальных уравнений (4.162) мы будем называть обобщенно. геодезическими линиями.
При этом обобщенная метрика (длина элемента дуги) будет определяться следующей формулой: =агтсс.-и~. Допустим теперь, что параметр о есть некоторая функция времени с непрерывной первой производной. Положим о=1(О и дс допустим, что — „, ) О. Тогда с с — ' = ~' „— = с)с —.,~~~~ ~~~~~ Ассусг(с = —., ~~~~ ~~'„Асс((сс)с сс с сссс Преобразуем систему (4.162), переходя к независимой переменной (с — (2Т)1 д юи — (2Т) д Е ) с2(ЕО Юдс(с О 2 У22' 262 гл.
пл мвххникх лхгэлнжл. влеихциониыв пгинципы Теперь мы имеем право воспользоваться интегралом энергии и записать у~ц, — и~ -у гт. Затем, сократив на общий не равный нулю множитель ~-', мы придем к системе уравнений Лагранжа 2-го рода — — — — + — =О (з 1,2,...,1). а дт дт ди й д4 дч, д~~~ Подчеркнем, что мы перешли к независимой переменной 1 после варьирования функционала, когда уже не имеет значения разница во времени действительного движения и движения по «окольным» путям, В заключение применим принцип Якоби в случае движения свободной материальной точки, предполагая, что силовое поле консервативно: ь1 гтд — и а-о.
(4.164) Здесь У есть потенциальная энергия точки, Е0 — полная механи- ческая виергия, г(з †элеме дуги траектории (г(з = оЮ). Выра- жение принципа Якоби совпадает с выражением известного инте- грального вариационного принципа Ферма, относящегося к лучевой оптике и устанавливающего связь между формой лучей и време- нем распространения света. Форма лучей (траекторий), по которым распространяется свет в оптически неоднородной среде, должна быть такой, чтобы время распространения света было наимень- шим. Поэтому принцип Ферма называют часто принципом ско- рейшего прибытия.
Если обозначить через а=я(х, и, г) показатель преломления и считать, что скорость распространения света в пустоте равна единице, то скорость распространения света в среде будет равна а-', а дифференциал времени определится формулой й = и бз, где дз есть элемент дуги луча. Следовательно, принцип Ферма может быть записан в таком виде: Р б ~ пг(з=О. (4. 165) Р, Сравнивая выражение принципа Якоби и принципа Ферма, мы заключаем, что форма лучей света в среде с показателем прелом- ления и и форма траекторий свободной материальной точки, дви- жущейся в силовом поле с потенциалом П = — У и с полиои энер- гией, равной Е„должны совпадать при условии - ~ гтгк о~, где Й есть размерный постоянный миожизель, 263 э ~в, поинцип якови Зто есть одно из проявлений оптико-механической аналогии, развитой Гамильтоном (см. гл. Ч, 2 1).
Проиллюстрируем аналогию на простом примере. Лопустим, что в некотором слое земной атмосферы показатель преломления изменяется по следующему закону: п =,(1+ — '), (4. 166) где в есть малое положительное число, г — расстояние от некоторой точки до центра Земли. Обозначив через р радиус Земли и через Лр — толщину слоя, в пределах которого справедлива формула (4.166), мы запишем неравенство ао(1+ —.) = п ~ по(1+ — ) (4.!67) Используя аналогию между принципом Ферма и принципом Якоби, найдем форму лучей света в среде с таким показателем преломления.
Положим ! l ( 1 о —,) - й Оттооео, у Отсюда й'2(Ео — Й = .,( + 2о+ оо),( +2о) Находим функцию У: Мы видим, что потенциальная Рис* 4.!8. энергия точки, определяемая формулой (4.!68), имеет такой же вид, как потенциальная энергия свободной материальной точки в поле тяготения, еали положить а)о — ут. ао Пос1оянное слагаемое Е, — ао/(2йо) можно во внимание не принимать, так как потвнциальная энергия определяется с точностью до постоянного слагаемого. Следовательно, свет в среде с показателем преломления и = п,(1+е)г) будет распространяться по кривым, совпадающим по форме с траекториями материальной точки в поле тяготения, т. е.
по коническим сечениям (эллипсам, в частности) с фокусом в центре Земли (см. решение задачи Кеплера в гл. П1). Наблюдатель, находящийся в точке Р„ увидит скрытый от вето предмет Р, в положении Р, '(рис. 4.18). Таким образом, опираясь на оптико-механическую аналогию, мы можем объяснить явление миражь. 264 гл. пп мвхкникл лкггкнжл. вльихционныв пьинцнпы й 19. Принцип Гаусса В 1829 г. Гаусс опубликовал открытый им принцип наименьшего принуждения — один из самых общих дифференциальных вариациониых принципов.
Принцип Гаусса охватывает механику систем с идеальными связями; связи могут быть как голономными, так и неголономными. Общность принципа Гаусса проявляется еще и в том, что при выводе уравнений двигкения этот принцип разрешает использовать в качестве переменных так называемые квазикоординаты (неголономные координаты). Связи, наложенные на материальную систему, изменяют движение точек, заставляя (принуждая) их отклоняться от свободного движения — от движения под действием тех же активных сил, но без связей. Принцип Гаусса утверждает, что принуждение, окозываемое связял»и в действительном движении, меныие принуждения в движении по любому «окольному» пуп!и — в любом «мыслимо»!» движении.
В качестве меры принуждения Гаусс ввел сумму произведений масс материальных точен на квадраты отклонений их радиусов-векторов (разностей радиусов-векторов точек в движении со связями и в свободном движении). Принцип Гаусса не связан с вычислением интегралов по времени — это принцип дифференциальный. Истинное движение системы и ее движение по «окольиому» пути сравниваются со свободным движением в каждый момент времени, причем координаты точек и их скорости во всех сравниваемых движениях считаются совпадающими. Ускорения точек будут различными — в свободном движении отсутствуют реакции связей.
Обозначив радиус-вектор точки М„ в свободном движении через г„а, в действительном движении — через га, а в движении по <окольному пути» вЂ” через еа„ найдем их приращения за время и!', полагая, что приращение времени малб и сохраняя члены второго порядка малости: Га» (1+й() ! аа (1) =~ аа й й1+ 2 Раа ~! Ф1)» г, (! + Л!) — г (Е) = г, ~, Л1 + — й, ~, (ст!)», 1 Га ((+ Л1) — Га (1) = Га )! й( + — Га !! (!-«() ° Здесь Р, есть скорость, а г,— ускорение точки М, в ее движении по «окольному» пути. Введем обозначения Ьга = Га — пап, ага = ра гаа кйа = га г „Ьйа = Ра — йа,. Затем, принимая во внимание равенства Е'а (() =г'аь (() = Яа Я» а (() = ьаь (1) = га (1) 265 $ !О.
ПРИНЦИП ГАУССА вычислим отклонения в момент времени ! +Ж радиусов-векторов точек в истинном движении и в движении по «окольному» пути от их значений в свободном движении. Получим следующие формулы: 1 КГа !! !. Ас = 2 1» Га /с (М)), ЬГ« '!!+А! — Ьг'а 'Г (Ы)О. (4.169) (4.170) Обозначим принуждение символом глу (Хсуапи) и запишем неравенство, выражающее принцип Гаусса: л л Угу= ~ч~ т,(бг,)о( У, 'т,(ЛР,)о (4.171) а а=! (и — число материальных точек системы). Для доказательства принципа Гаусса представим принуждение в виде функции ускорений материальных точек и приложенных к ним активных сил. С этой целью рассмотрим движение механической системы относительно ннерциального базиса и запишем в векторной форме уравнение действительного движения точки М вЂ” «представительницы» системы: сп лога = Ра + 77«с (4. 172) где а, есть абсолютное ускорение точки, т, — ее масса, Р,— сумма активных сил, )г,— реакция связи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
