В.В. Петкевич - Теоретическая механика (1119857), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Рассмотрим два ряда различных, независимых изохронных вариаций, обозначая их'через Ь' и Ь'. Так как в формуле (5.92) вариации произвольны, то мы можем записать й В. УСЛОВИЕ КАНОНИЧНОСТИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ зв которая называегся билинейным ксзариамтом формы (5.92) е). При помощи равенства (5.112) нетрудно установить полезные соотношения между частными производными при каноническом преобразовании — их «взаимностьв (см.
[211). Так как преобразование свободное, то мы можем принять за независимые переменные д и Я. Пусть, далее, Ь' есть символ вариации (!, а 6'-вариации Я. Тогда нз (5.112) получим ! ! с,), '6'ц,Ь"р,= —,5'„, Ь'Р,Ь"Я, (6"д=О, 6'9=0) Выразим 6"р, и Ь'Р, через вариации независимых переменных; 6'Р, ~ Р' Ь'Щ Ь'Р, = ~~> — ' 6'сп с-! ! ! Отсюда ! с др«6, Ь„~ т~~~ ~«~~ дР !! ! !! ! В силу независимости можно положить б'двФО, 6'д, О (з~й), 6"Я,~О, Ь'!Л~=О (з~г). Сокрзяцая обе части на произведение Ь'двЬ"Я„ найдем С ав — — т. дРА дР« (5.114) Ж дч„ Принимая за независимые переменные р и Я и полагая Ь'РА~О, 6'р, О (ЗФй), 6"(),Ф.О, Щ,=О (ЗФй), получим дев дР с— дО, дрг, ' (5.115) Пусть теперь независимыми перел«енными будут с н Р; положим б«дв ~ О, 6 д, = О (з ~ й), 6'Р, ~ О, 6" Р, О (з ~ г).
Тогда с— дРА дО, дР« дев ' (5.116) '1 Вид определителей и величине нх суммы не нем«ив!отея прн унввелент. нем квноничееком преобрвзоввннн. Если преобразование уиивалентное (с=!), то сохраняется сумма определителей вида (5.113) '316 гл. ч. механика гамильтона Наконец, если независимые переменные р и Р, то при 6'р»чьО, 6'Р,=О (зчьй), 6"Р,~О, 6"Р,=О (з~г) найдем дР, др» ' (5.117) Формулы (5.114) — (5.117) устанавливают взаимность частных производных при каноническом преобразовании. Если обе части каждого из полученных равенств выразить через одни и те же переменные («новые» или «старые»), то мы получим тождества. Необходимые и достаточные условия каноничности преобразования можно выразить через скобки Пуассона (см.
З 3). С этой целью частные производные, входящие в фундаментальные скобки Лагранжа, заменим по формулам (5.114) — (5.117): ! ! 1 ! с ! с д Г дв! др; дд! др! ! )Р Р»'1= ~~~(,дР! дР» дР» др,! ! ! ! С» (д>7 дс7» дС)» дс7 ! ! - — —,г ! — ' — — — — ') = — я !>) с»»Гс (дрс дд! др, д«!) дт с ! с-! ! ст (дР! дс7» дс7» дрс! ! --,г ! — ' — — — — ')= — Я» Р), «т»~с '1др; ддс др! дд! ) с! с ! Используя формулы (5.11!), получим (ЄЫ) =О, (с'>» Щ =О, (с,>», Р,) =о6,», (5.1!8) где 6,» — символ Кронекера.
Формулы (5.118) дают выражение необходимых и достаточных условий каноничности преобразования с помощью фундаментальных скобок Пуассона. Выясним, как изменяются скобки Пуассона от каких-либо функций и и о при каноническом преобразовании. Пусть дана скобка Пуассона с=! з З. УСЛОВИЕ КАНОНИЧНОСТИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 317 Требуется вычислить скобку *) 1=1 Используя свойства определителя Якоби, мы запив и д(и, и! ~т ЧД/ д(и, о) д(О», Ч',) д(и„и! д(РИ РД д(дь рД ~ы~ы)(д(О», 0~) д(сп РД д(рь Р ) д(д1, РД + д(и, и) д(Ои, РД) д(!7, Р,) д(41, РД /* В силу (5.118) ! Х д(Ои 0з) 0 д(о;,РД = 1 д(Р"' Р') =О, ч' д(~ ' РД = б,.
Х;,,= Х д(рч рД ' х'.и д(41, РД ! 1 Поэтому Х;=Х д(и, и) ~! д(и, и) д(рь РД ми д(0м Р,) ' ~=! =! или (и, о),,=с(и, п)е,р. (5.119) дЬ~ '" д0 '; д!)~ "' д1) ди1 ди1.:' др, д01 "' д01 до! ди, де! : 'др, дР, '" др, !др, др, д()! Д ! (5.121) др! др, д!)! ди! дрт дР! "' др1, .:дР! др! др! ") Мы сохрвияем обознвчение функций и и и при переходе к новым переменным, несмотря на то, что вид зтих функций может измениться. Если преобразование унивалентное и с = 1, то (и, о), р —— «и, п)о. р (5.120) Следовательно, скобка Пуассона от любых двух функций канонических переменных есть один из инвариантов канонического преобразования. Формулы (5.114) — (5.117) позволяют легко вычислить якобинц «аноничесного преобразования (5.78). С этой целью запишем якобиан обратного преобразования: з)в ГЛ.
Ь. МЕХАНИКА ГАМИЛЬТОНА дРь дРэ ! дРэ дРь дрт '" дрг [ ддг '" д)г дР~ дР~ ! дР, дрг др, "' дрг [ дрэ " дчг д9, "' дЯ,"':" ' 'д~К"'""""'"' ""д()ь др, "' дрг, :дд, "' дрг Ь-1 1 сэг (5.122) дЦс дг)г '. дЧг дЯю др, "' дрс ! дрт " дд~ или, в краткой символической записи, с [( )) Дт Аэ где Ь„Ь„Ь, и Ь,— миноры определителя Ь. На основании теоремы Лапласа* ) запишем выражения определителей Ь и Ь-'. Ь = ЬьЬ,+( — 1)г Ь,Ьм Ь ',и (ЬаЬ,+( — 1)' ЬтЬэ) сэ, (5.124) (5.125) А так как ЬЬ-' 1, то Ь' с", Ь = +.с'. (5.126) Если преобразование унивалентное, то Ь = .+-1 *э).
Рассмотрим в виде примера систему с одной степенью свободы и применим линейное преобразование канонических переменных) Я = а„г)+ атер, Р = аээг)+ аээр. Енли — ага~О, то мы можем выбрать в качестве независимых дй др переменных а и (;). Тогда Š— а аэ а, ' аээ а,э Найдем вариацию производящей функции 6У = србр — Р6Я=* 6 ~ — — (са„дэ+ 2аф+ аваев)~. 2а„ ') См., например, [6). ь*) Можно покаэвть, что определатель, элементами которого служат скобки Пуассона, и определнтелгь составленный иэ скобок Лагранжа, взаимно обратны (см., найример, [201). В силу формул (5.114)-(5.117) определитель Ь-' можно пред- ставить в виде Ыз з к отыскании пгоизводяшнн фгикции Следовательно, производящая функция будет равна У вЂ” — (са„д'+ 2сдЯ+ а,Д'). 2ам Здесь с = — (амаы — аман) = — Ь.
$9. Производящая функция для заданного вида уравнений в новых переменных Пусть свободное каноническое преобразование переводитсистему уравнений Гамильтона (5.24) в новую систему (5.77). Вид новой системы определяется функцией К Я, Р; 1), которая связана с исходной функцией Гамильтона формулой (5.94): К=( — +сН) Будем считать У функцией д, Я и 1.
Тогда в силу формул канонического преобразования (5.90) мы можем записать — +сН(д, с а ~ () — К(1~, а , 'С) =О. (5.127) ау Здесь Н есть известная функция от д, — и 1. Если мы зададим дд ду зависимость функции К от Я, — и 1, то придем к уравнению в частных производных первого порядка, решением которого будет функция У, производящая нужное преобразование. При атом необходимо, чтобы определитель, составленный из вторых смешанных производных по старым и новым переменным, — гессиан — не был тождественно равен нулю, т. е.
(5.128) Уравнение (5.127) есть нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка. Известно, что уравнения типа (5.127) имеют решения трех и только трех видов: 1) общий интеграл — решение, зависящее от произвольных функций; 2) полный интеграл — решение, зависящее от (2!+ 1) произвольных постоянных', 3) особый интеграл — решение, не содержащее ии произвольных функций, ни произвольных постоянных [301.
Решение уравнения (5.127) может быть получено методом разделения переменных, что приводит к вычислению квадратур. Конечно, далеко не всегда удается фактически найти зто реше. ние и записать его с помощью известных функций. Решение 32д ГЛ. У. МЕХАНИКА ГАМИЛЬТОНА в виде полного интеграла, содержащее нужное число постоянных, мы будем рассматривать в связи с применением метода Гамильчона — Якоби в следующем параграфе.
Там же укажем некоторые приемы разделения переменных. Для решения задачи, связанной с получением нужных формул канонического преобразования, нам достаточно найти решение любого вида (в том числе и особый интеграл) — важно, чтобы выполнялось условие (5.128).
Отыскание производящей функции определенного вида очень важно для приложений, однако, насколько известно, в литературе этот вопрос поччи не затрагивался *). Мы покажем на простых примерах, каким образом, задавая функцию (ч, можно фактически найти производящую функцию. В качестве исходной примем систему с одной степенью свободы— гармонический осциллятор, к которому мы уже обращались в2 7.
Полагая инертный множитель (массу либо момент инерции) равным единице, запишем Н = 2 (Р + ы"Ч ), 1 где ы — постоянная частота. Начнем со случая, где новая функция Гамильтона равна гоР (см. Ч 7). Составим дифференциальное уравнение (5.127) и найдем производящую функцию. Преобразование в этом случае унивалентное и вполне каноническое, поэтому уравнение (5.127) примет вид (5.129) Полагая (5. 1ЗО) находим частные производные дУ д) дУ дг — -Р(()) —, — =ПЧ) — ° до до ' дЯ Щ Подставим в (5.129): 2( (дч) + р~ 7 д)Щ' Если положить 2 7' то переменные разделяются: дэ(пэдэ 1 э) двэ Щ' ") На возможность найти нроиаводящув функнищ укааано в [1].
е Е. ОТЫСКАНИВ ПРОИЗВОДЯЩВН ФУНКЦИИ зш У вЂ”" де с12 ег. 3 (5.! 31) Очевидно, что (5.131) представляет собой особый интеграл уравнения (5.129) (ниже мы зто доказываем). Определитель (5.128) состоит здесь из одного члена ЮУ ~а~ Ждд ап~Я' который, очевидно, не равен тождественно нулю.
Переменные в уравнении (5.127) можно разделить и другим способом, положив У=ф(ф)+ФИ). (5.132) Подставляя (5.132) в уравнение, приравниваем обе части одной и той же постоянной: (5.133) (левая часть не зависит от Я, а правая — от д). Отсюда находим (5.134) где постоянную ае можно отбросить. Кроме того, — =+а ~/ 1- — де. дф -Г Фе Выбирая верхний знак и интегрируя, находим ф(д): (5.135) ф= — Ч у 1 — — е) + — агсз(п~ — ~~.
ае а/ Фе ае . (ФЧ! Решение уравнения (5.127) будет иметь вид У =У, — д ае-ез д + — агсз(п( — 1 — — Я. ! е Е Е ае1 ° /ФЯ! ае а 2ее (ае( 2Ф (5.136) (5.137) 11 В. В. Пеекееае Неопределенную постоянную а примем равной ы. Тогда для функции Р найдем простое дифференциальное уравнение — = — (1+ Р'). др де) Разделяя переменные и интегрируя, получим Р= с(й() (постоянная интегрирования отброшена).
Таким образом, для производящей функции мы находим то же выражение, которое было получено в $ 7: ГЛ. Ч. МЕХАНИКА ГАМИЛЬТОНА Нетрудно показать, что производящая функция (5.131) есть действительно особый интеграл. Лля итого из (5.137) исключаем постоянную ат, положив дуя — "=О. дя, Вычисляя частную производную, находим — ' (агсз(п Я - 1ф = О. Отсюда а,= —, (ах~О). юд юп О Подставив найденное значение а, в (5.137), получим У„= — ад~ с1я Я.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
