В.В. Петкевич - Теоретическая механика (1119857), страница 60
Текст из файла (страница 60)
(6.20) Вектор у' имеет размерность ускорения и может зависеть от координат точки, от проекций скорости и от времени. Примерами массовых сил являются силы тяготения, силы инерции в случаях, когда рассматривается движение тела относительно неинерциальной системы отсчета и силы электромагнитного проясхождения.
Интегрируя (6.20) по объему тела, найдем суммарную массовую силу ~'"'=) убт. (6.21) *) Имеется в виду изменение расстояний между точками тела с течением времени. Интегрирование распределенных по объему векторов, как и вычисление конечных сумм в механике материальных точек, основано на принципе независимости действия сил и, следовательно, на сложении сил по правилу параллелограмма. В некоторых задачах возникает необходимость указать точку тела, в которую следует поместить вектор тст 1, чтобы действие его было эквивалентным действию всей совокупности элементарных сил убт, распределенных по объему. Очевидно, что координаты такой точки зависят от закона распределения плотности массовых сил, от плотности вещества и формы тела. дальше, рассматривая 370 ГЛ.
)П. МЕХАНИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА уравнения движения и равновесия тела, мы обратимся к этому вопросу *). Поверхносткыв сила распределены по внешней поаерхносги тела и обязаны своим происхождением взаимодействию тела с внешней средой. Например, аэродинамические силы, приложенные к поверхности самолета, силы, действующие на корпуо корабля со стороны воды, и т. д. Поверхностные силы удобно относить к элементу плошади, записывая их в виде бР)а) Ра бо. (6.22) Здесь Є— напряжение (индекс и указывает направление нормали, внешней по отношению к объему т), ба — элемент поверхности.
Угол между вектором Р„и внешней нормалью к поверхности может быть любым. Суммарная поверхностная сила будет равна интегралу по замкнутой поверхности тела о: Р)о) = Д Р„бо. (6.23] о Среди сил, приложенных к поверхности абсолютно твердого тела, могут быть и сосредоточенные силы — силы, приложенные в точке. По отношению к поверхностным силам также можно ставить вопрос о месте приложения равнодействующей, например, можно определить центр аэродинамического давления на крыло самолета, Перенесем силы Р)") и Рга) в некоторую точку и геометрически сложим. Сумму векторов Р™) и Р) ) обозначим через Р и будем называть ыавным вектором внешних сил: Р Рне) („Р)а) Главный вектор может быть или не быть равнодействующей всех внешних сил в зависимости от того, где ои приложен.
При составлении уравнений движения тела мы столкнемся с необходимостью вычислять суммарный момент всех массовых и поверхностных сил относительно какого-либо центра. Выражение момента элементарной массовой силы получим из (6.20): бай<-) = (~Р1 бт, (6.24) где г есть радиус-вектор точек тела. Интегрируя по объему т, найдем ЯЙ)'") = ~ (гу) бт, (6.25) ') В механике сплошной деформируемой среды заменять распреаеленныа силы одной силой яельая.
э з. внешнив силы <мхссовыв и поввэхностныв) зп Аналогично, для поверхностных сил, Щ<л) Д (гР ]бо 6Щ<~) =[гР„) бо, (6.26) а Сумму моментов всех внешних сил будем называть глазным моментом и обозначать через Щ: Щ Щ(т)+Щ)а) Обозначим элементарную работу сил на действительных перемещениях символом «Ал», как и в предыдущих главах. Тогда элементарная работа массовых сил на действительном перемещении будет равна А)лл"л = ~ (7"))г) бп). (6.27) Для элементарной работы поверхностных сил получим выражение Ал)'э — — Ц (Р„дг) ба. (6.28) л Действительное перемещение точки приложения силы )(г= по) вычисляется по формуле Эйлера (см. кинематику абсолютно твердого тела).
Виртуальная работа массовых и поверхностных сил вычисляется по формулам (6.27) и (6.28), только вместо )(г нужно подставить Ь . Если тело не свободное †движен его стесняется связями, то будут действовать реакции связей, представляющие собой неизвестные функции координат, скоростей точек и времени. Известны лишь места приложения этих сил: они могут быть приложены в отдельных точках (например, реакции шарниров) либо аспределены по некоторым участкам внешней поверхности тела реакция плоскости, по которой скользит брусок) и т. д. Зависимость же реакций от координат, их производных и времени заранее, до решения задачи, указать нельзя. Так же, как в механике систем несвободных материальных точек, мы можем выделить класс идеальных связей, определяя их как такие связи, сумма виртуальных работ реакций которых равна нулю на любом виртуальном перемещении.
При решении конкретных задач, если не нужно специально вычислять реакции связей, уравнения движения тела надо составлять так, чтобы исключить лишние неизвестные — реакции связей. Конечно, это не всегда возможно. Положение свободного тела определяется шестью координатами, которые можно выбрать различными способами. Обычно, рассматривая движение тела относительно инерцнальной системы ауг Гл. чт. мехАникА АБсОлютнО тВБРдОГО телА отсчета, вводят еще оси Кенига и в качестве обобщенных координат выбирают три координаты центра масс и три координаты, определяющие ориентацию тела относительно осей Кенига. Чаще всего применяют углы Эйлера, которые мы рассмотрим в следующем параграфе.
Шесть уравнений движения тела мы получим, постулируя обобщение основных теорем динамики систем материальных точек: теоремы о движении центра масс и теоремы об изменении кинетического момента (см. гл. 17). В некоторых случаях удобно применять обобщение теоремы об изменении кинетической энергии.
В случаях, когда рассматривается движение свободного тела или тела с голономными связями, удобны уравнения Лагранжа 2-го рода или уравнения Гамильтона *). 4 Рис. 6.г. Итак, пусть свободное тело движется относительно инерциальной системы отсчета, с которой связаны оси кх, х„ха (рис. 6.2). Штрихами отмечены оси Кенига. Основными мерами движения тела будут: импульс (количество движения) Р= ~ тзбтл= — ~ лблз=Мттс', Г а,] кинетический момент (6.29) 0с = ~ [г'е'1 блз, (6.30) т где Ос естьскорость центра масс, г' — радиус-вектор точки тела относительно центра масс, тт' — скорость точки тела относительно осей Кенига. Обобщение основных теорем динамики систем материальных точек связано с переходом от дискретного распределения масс ') По существу мы имеем здесь дело с обобщением основных понятий механики Ньютона.
Необходимость обобщения вызвана тем, что абсолютно твердое тело есть сплошная среда, а ие совокупность материальных точек. Э В. ВНЕШНИЕ СИЛЫ (МДССОВЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ) зтз к сплошной среде и выражается в замене конечных сумм интегралами по объему т и по поверхности о. Запишем для свободного тела общие теоремы динамики в векторной форме. Производная по времени от импульса тела равняется сумме всех внешних массовых и поверхностных сил, или произведение массы тела на ускорение центра масс равно сумме всех внешних массовых и поверхностных сил: М вЂ” с = ~~бт+ Д Р„бо, (6.31) (6.32) Производная по времени от кинетического момента тела равна сумме моменпюв всех внешних массовых и поверхностных сил.
Кинетический момент и моменты сил вычисляются либо относительно начала координат, связанного с инерциальной системой отсчета, либо относительно центра масс «). Следовательно, уравнение движения тела относительно осей Кенига запишется в виде — ~ [г"Дбт+ Д(г'Р„1бо, или лпо = мгас ш (6.33). Шесть дифференциальных уравнений (6.32) и (6.33) образуют связанную систему и должны интегрироваться совместно. В сравнительно простых случаях система распадается на две группы, по три уравнения в каждой. В небесной механике движение тела, описываемое системой (6.32) и (6.33), называется поступательноврагцательным. Решение системы дифференциальных уравнений (6.32) и (6.33) вместе с начальными условиями определяет состояние движения тела в каждый момент времени. Значит, если мы можем заменить распределенные силы одной силой, приложив ее так, чтобы не изменились правые части уравнений, т.
е. чтобы действие этой силы было эквивалентно действию распределенных сил, то мы найдем равнодействующую силу. ') При исследовании движения свободного тела удобнее пользоваться осями Кенига. $74 ГЛ. ТЬ МЕХАНИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА ) Цбг)бт+ Д (Р„бг) бе=О, т а (6.34) где бг есть виртуальное перемещение точки тела. Применяя фор- мулу Эйлера, запишем бг = бгс+[е бу г'). Через гс обозначен радиус-вектор центра масс, г' — относительный радиус-вектор, бу — угол виртуального поворота вокруг оси, проходящей через центр масс в направлении вектора е.
Таким образом, вариация радиуса-вектора точки выражена через вариации бгс и е бу, которые не зависят от координат точки (см. рнс. 6.2). Преобразуем левую часть уравнения (6.34): ) (убг) Ьл = (бгс ) габт) + $ Яебуг')) бт = (Ь с Р1 1) + (е буЯИ~~ ') ° Д (Р„бг)бе=(бгс Д Р„бат+ Д (Р„[ебуг''1)бо=(бгсР1 1)+ о о / о + (е б уЖ1со1) (в смешанном произведении векторов применена циклическая перестановка сомножителей). Подставив в (6.34), получим (бгсР)+(ебрр)ГС) =О. В силу независимости и произвольности вариаций бгс и ебу Р=О, ИВ =О. ') Здесь рассматривается свободное тело.
Очевидно, что главный вектор внешних сил будет представлять собой равнодействующую силу, если момент главного вектора относительно начала равен главному моменту, т. е. суммарному моменту всех внешних сил относительно того же начала. Абсолютно твердое тело будет находиться в покое при следующих условиях: сумма всех внешних сил равна нулю, сумма моментов всех внешних сил относительно центра масс (илн другого начала) равна нулю н, кроме того, скорости точек тела равны нулю в некоторый (начальный) момент времени е).
Выведем условия равновесия тела, исходя из статического принципа виртуальных перемещений (см. гл. 1Ч, 3 4), сформулировав его применительно к телу (или системе тел), на которое действуют распределенные силы. Необходимое и достаточное условие равновесия тела(свободного или подчиненного идеальным связям) заключается в равенстве нулю виртуальной работы внешних активных сил: з а внвшннв енлы <массовыв н повврхностныв> зтб Таким образом, необходимым и достаточным условиел равновесия свободного абсолютно твердого тела будет равенспмо нулю суммы всех внешних сил и суммы моментов внешних сил относительно центра масс (или любой другой точки). Если у тела неподвижны две его точки н единственным внртуальным перемещением будет виртуальный поворот тела вокруг осн, проходящей через неподвижные точки, то условием равновесня тела будет равенство нулю суммарного момента внешних снл относительно осн.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
