В.В. Петкевич - Теоретическая механика (1119857), страница 64
Текст из файла (страница 64)
6.8). Рис. 6.8. костях х = х, и г = г, представляют собой П ы можем утверждать — ые непересекающиеся кривые окру- б " осей эллипсоида жающие соответственн но концы малой и ольшой мые эллипсами 1 и 2, всюду Два семейства полодий, разделяемые эл 395 $ а случАи эилвРА плотно заполняют поверхность эллипсоида. От начальных условий зависит, по какой нз полоднй будет перемещаться полюс — точка 0«. Рассмотрим так называемые перманентные (постоянные) вращения в случае Эйлера.
Уравнения (6.64) имеют три системы очевидных решений: у=с О; г=р О; р =г)=О. р = сопз1 = ро, \) 2) 3) д = сопз1 = д„ г=сопз1 =с„ (6.86) Постоянные р„де, ге могут быть любыми и по величине, и по знаку. Так как йв Не еу ги ' Ю« «) Определение устойчивости движения дано в следующей главе. то очевидно, что в каждом из трех указанных случаев тело вращается относительно неподвижной системы отсчета с постоянной по величине и направлению угловой скоростью. Можно показать, что по своим свойствам перманентные вращения 1) и 3) резко отличаются от вращения 2), Допустим, что, стремясь задать перманентное вращение вокруг оси г, мы ошиблись и в начальный момент времени мгновенная ось не совпала с осью г. Полюс попадет на одну из полодий, окружающих ось г, и будет перемещаться по этой паладин. Ясно, что чем меньше будет ошибка в начальный момент времени, тем ближе окажется движение тела к перманентному вращению вокруг оси г.
То же можно сказать и про перманентное вращение вокруг оси х. Перманентньгв вращения вокруг наименьшей и вокруг наибольшей осей вллипсаида инерции устойчива «). Если же мы ошибемся, стремясь задать вращение вокруг средней оси, то попадем на одну из полодий либо из семейства, окружающего ось х, либо из семейства, окружающего ось г.
Начнется движение, резко отличающееся от перманентного вращения вокруг оси у. Перманентное вращение вокруг средней аси вллипсоида инерции неустойчива, Если в начальный момент времени мгновенная ось пересечет один из эллипсов, 1 илн 2, то тело начнет переваливаться на другой бок и полюс будет асимптотически стремиться к противоположному концу средней оси. В этом случае 0=В, следовательно, т = и и у' = 1. Интеграл (6.73) будет иметь вид зйв ГЛ. Щ.
МЕХАНИКА АВСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА где о тх. впв-м АС ' и' Очевидно, что Г в(в — с) ' рг в(в — с) =' Вычисляя интеграл, находим й(( — (а) = — ~!п — — !п 1 1 1+И 1+Фе1 ~Ю При д, стремящемся к гл=з, переменная тэ будет стремиться к +1. Следовательно, время будет неограниченно расти (1-ь-)- со), а нз (6.70) и (6.71) мы найдем, что р и г устремятся к нулю. Значит, действительно полюс будет асимптотически приближаться к противоположному конпу средней оси *). Обратимся к регулярной прецессии в случае Эйлера, полагая, что эллипсоид инерции есть эллипсоид вращения. Пусть А = В, следовательно, ось вращения эллипсоида совпадает с осью г. Решение можно получить из общих формул — эллиптический интеграл (6.73) может быть выражен через обратные тригонометрические функции.
Однако полезно найти решение непосредственно. Положим А = В и запишем динамические уравнения Эйлера (6.64): А у~' + (С вЂ” А) дг = О, А Я+(А — С) гр=0, С вЂ” =О. Ф Ж (6.86) Из третьего уравнения находим г = сопз1 === ге. (6.87) пр — — Ьар, Лт (6.88) ") Имеется н энду конец средней осн, противоположный тому, полкан которого в начальный момент времени мгновенная ось пересекла понерхность аллнпсонда. Обозначим (С в А))А через А.. Тогда система уравнений (6.86) может быть записана в следующем виде: 397 З 4.
СЛУЧАЙ ЭЙЛЕРА Умножая обе части второго уравнения (6.88) на 1 и складывая почленно, придем к одному уравнению д 3 (Р+Ю 1Ь (Р+й() Введем комплексную функцию о=р+17, где (з — 1. дифференциальное уравнение для функции о(1) будет иметь вид ЗΠ— (Ь" Оо. Ог Отсюда находим и — и ейгн ! или Р+ щ =(РО+ 1ЧО) ~соз (Ь О1)+(зш () г,()1. (6.89) Отделяя действительную и мнимую части, находим общее реше- ние динамических уравнений Эйлера в виде р = Р, соз (Ь'Ог) — дО ебп (Ь.О(), д = дО соз (Ь О() + РО зш (Ь О(), (6.90) ГО Р + Ч Ро+ Чо.
Очевидно, что 2 ~ "го~ Приведем пример. Будем рассматривать движение Земли относительно осей Кенига, предполагая, что Земля есть абсолютно твердое, слегка сплюснутое тело вращения (сфероид или геоид). Известно, что для Земли С~А и Х-17300. Угол между осью геоида и мгновенной осью вращения мал, поэтому можно считать, что 2л ГО=О>, ОЗ= —. 24 ч. Следовательно, период обращения полюса Земли будет равен 2л ° 300 т„— „24 ч.- "300 сут. Период обращения полюса Земли (точки пересечения мгновенной оси с поверхностью геоида) носит название периода ЭйлзРЛ Мы видим, что вектор равномерно относительно (подвижный аксоид есть полюса равен мгновенной угловой скорости движется системы х, у, г по круглому конусу конус вращения). Период обращения 398 ГЛ. УЬ МЕХАНИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА Переходим к вычислению углов Эйлера.
Наиболее простая форма решения получается, если направить неподвижную ось у, (ось прецессии) по постоянному вектору 0э (рис. 6.9). Оси у, и у, будут расположены в плоскости п. Проекция вектора О, на ось г равна Сгэ. С другой стороны, О, =Ое сов 8. Отсюда находим соз 9 = — ' = сопз1 соз Ое. (6.91) о Для того чтобы найти скорость прецессии, выразим проекцию вектора О, на ось уэ через его про- у екции на главные осн инерции: 7 (0евэ) =Ое=Арут+Аоуэ+Сгуэ = = Аф э 1 п' 9, + Сга соз Е,. Отсюда а,— Сг,с е, ф — „ = сопз( = ф,. (6.92) Угол прецессии будет линейной функцией времени: Я .Р(1) =фэ1+Фе Из третьего кинематического урав- х пения Эйлера находим ф: Рнс, 6.9.
ф = ге — фэ соз 8е сопз1 фэ. (6.93) Угол собственного вращения будет также линейной функцией времени: ф(1) =фэг+Че Постоянные фе и фэ могут иметь любое значение. Итак, если момент внешних сил относительно неподвижной точки равен нулю и вллипсоид инерции есть эллипсоид вращения, то движение тела при любых начальных условиях есть регулярная прецессия. Угол нутации, отсчитываемый от неподвижного вектора 0э, будет постоянным. Тело равномерно вращается вокруг оси собственного вращения г.
Ось собственного вращения равномерно прецессирует вокруг вектора Оэ. регулярная прецессия есть общее решение уравнений движения. В зависимости от знака Л=(С вЂ” 'А)/А прецессия будет либо прямой, либо обратной (рис. 6.10). Если эллипсоид инерции вытянут (А)С), то Л(0; если сплюснут (А(С), то Л) Оэ).
*) Отметим, что если А < С (а ) с), то иэ неравенства А+ В > С или 2А )С следует, что А (С С 2А. Значит, полуоси эллиасоида в этом случае должны удовлетворять неравенству а(с г'й — эллипсоид и не рцин не может быть наи угодно силгоснутым. з с случАЙ эилаРА Для того чтобы выяснить характер прецессии, построим подвижный и неподвижный аксоиды, представляющие собой в случае регулярной прецессии круглые конусы. Ось неподвижного аксоида направлена по вектору 0„ а ось подвижного в по вектору аз. Вектор мгновенной угловой скорости направлен по общей образующей аксоидов и определяется формулой ез=эзф+езф (6=0).
На рис. 6.10, а изображен вытянутый эллипсоид инерции, и мы видим, что знак проекции скорости собственного вращения дса Рис. 6.!о. на направление вектора Оз совпадает со знаком скорости прецессии. Движение тела представляет собой прямую прецессию. На рис, 6.10, б — сплюснутый эллипсоид инерции — знак проекции скорости собственного вращения на направление вектора Оз противоположен знаку ф.
В этом случае прецессия обратная. Если неподвижная система выбрана произвольно (не связана с начальными условиями), то удобно решать задачу методом Гамильтона — Якоби. Принимая углы Эйлера за обобщенные координаты, составим функцию Лагранжа (,=2' — г (,4(р +4)+Сг'). Подставим выражения р, д, г из (6.42): 2 (А (зрз з(изб+ аз)+С (зр сов б+ф)з), (6.94) ГЛ. Ув. МЕХАНИКА АБСОЛЮТНО Твнвддого ТЕЛА Находим обобщенные импульсы р„= —. = С(фсозд+ф) =Сг, д). ре — = Аб, дз р,в= —.
Аврз(пад+С(врсозд+ф)соз9 ддр = Аф з1п'9+ р„соз 9. (6.96) (6.96) (6.97) Запишем функцию Гамильтона Составим уравнение Гамильтона — Якоби (6.98) дд [(М д ) (дд) (дд) ] Система консервативная, углы вр и вР— циклические координаты; повтому полный интеграл ищем в виде к' = — а41+ а,др+ извр+ ) (9).
Подставляем в (6.99) н рааделяелв переменные: 40 з/ А, ав — ав сов З)в — = "тг 2Аа, — — а,'— С в)нв З Находим полный интеграл р= — и~г+аЛ+азвр+ ) 1/ 2Аи,— ~ и) — .',9 Ж (6100) На основании теоремы Гамильтона — Якоби (гл. Ч, 9 10) запишем общее решение канонических уравнений в неявной форме е) дв' де' де' — = — РВ, — =* — ()4. да, ' див ' дад др дк — = Р =ав — = Ре=свз дед е ' ддр др .в / А ., (аз — св, сов З) — = ре = р 2ав — — а— дз С нп' в — 1 — ()в (6.101) 1./.,„ м / ~~ А ив — ид соз 9)в $/ ив ~' одд «) Канонические уравнения мы яе выписывали.
Найдем, например, зависимость угла нутации от времени, дифференцируя полный интеграл по ав: во! в а. случАи эилеРА Интеграл в левой части (6.101) вычисляем, положив сов в=ам — А~ -~/ А (2Аи — — а' (1 — эао) — (ио — ааэа)о С а/ Введем обозначения А — С $ = 2Аа' с а' о) а'а А А ь = 2Аао — — а', - ао 1( с А — С 2Ааа — — а1 с 'Тогда интеграл можно записать в виде — мо+ ~аа+— Положим где Г~Г=~ иаьо — "-з- ~~ "— +— 1 — У1 — корни уравнения гвз--~-по--~-= О. 2ч $ Уравнение примет вид Йо -х ~ —; — =,. -1-6..
у 1 — Бо Отсюда Я=сов[' Следовательно, сов 8 = — + ф — + — сов [ — ~~, ч /ч' з г! — рз1 У'2' 1 ~ х!' Выразим постоянные через кинетический момент и его проекции! ц ааааа бо Пасов В З А — С, Са — С Созб, 2лаа — а-," с где 6 есть угол между вектором Оо и осью у„ Ч Г а; о аоо АЬР Ь вЂ” 0; Соо-01 —,-1- — 6,* созоб+ ', * — '~з — зш'6, о о А А ~ о.' 2Ааа — — а1 с 402 ГЛ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
