В.В. Петкевич - Теоретическая механика (1119857), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Из уравнения (6.121), отбрасывая фо, приближенно находим о тфо= Е ю или Яофо Мй1. Мы пришли к известной формуле приближенной теории быстро вращающегося гироскопа, который движется в однородном поле тяжести без трения (см. следующий параграф). В заключение приведем пояснение термина «гироскопическая сила».
Для этого представим выражение кинетического момента в виде 0 = Сгой+ А ]йй], (6.! 29) где й — единичный вектор, направленный по оси собственного вращения. Производная по времени от кинетического момента геометрически равна главному моменту внешних снл. Следовательно, Сгой+ А ]йй] =~И!Мй1 (6.130) где ! = ОЦ есть расстояние от неподвижной точки до центра тяжести тела. Умножнм обе части уравнения (6.!30) справа векторно на вектор й. Вводя еще вектор от =й(, получим л ] и й(й!ч)] М, й(йМ,)+~г ]й)~] Уравнение (6.131) можно рассматривать как уравнение движения изображающей точки, масса которой равна А/!о. Левая часть уравнения содержит составляющую ускорения, ортогональную к радиусу-вектору точки !т.
В правой части — ортогональная к Я составляющая вектора Мд и осил໠— !йЯ], ортогональная Сго к вектору скорости точки, называемая гироскопической. Если го=О, то тело движется как физический (в общем случае сферический) маятник — гироскопической силы нет.
Если же го~О, то, как мы видели выше, тело ие падает-ось собственного вращения начинает прецессировать вокруг вертикали-возникает, как говорят, гироскопический эффект, а в уравнении движения изображающей точки появляется гироскопическая сила. Возникновение гироскопического эффекта есть простое следствие из теоремы об изменении кинетического момента. 4 т. ннкотопын свнднння о гироскопах $7.
Некоторые сведения о гироскопах 415 Своеобразное поведение быстро вращающихся тел издавна привлекало к себе внимание не только теоретиков — исследователей, но и практиков — инженеров и конструкторов. Быстро вращающиеся тела входят в состав многих машин: винт самолета, турбина судового или турбореактивного двигателя и т, п. Управление движением таких машин связано с некоторыми специфическими трудностями, Например, при изменении положения в пространстве самолета с работающим двигателем пилот должен преодолевать дополнительное сопротивление, связанное с наличием «гироскопической жесткостигн пилот ощущает влияние «гнроскопического момента».
Гироскопы нли роторы иногда намеренно вводятся в некоторые сооружения: с помощью гироскопа удалось добиться уменьшения качки небольших судов (успокоитель Шлика), гироскоп применялся для придания устойчивости вагону однорельсовой железной дороги и т. д.
Эти весьма интересные с точки зрения механики приложения теории гироскопов имели главным образом экспериментальный характер и широкого распространения не получили. С помощью гироскопа можно обнаружить собственное вращение Земли. Напомним, что в случае Эйлера частными решениями являются постоянные (перманентные) вращения тела вокруг главных осей инерции, при которых ось вращения сохраняет свое положение относительно инерциальной системы отсчета. Если прибор, совершающий такое вращение, установлен на Земле, то ось вращения гироскопа все время будет направлена на одну н ту же «неподвижную» звезду.
Относительно окружающих земных предметов ось гироскопа, перемещаясь, опишет конус. На то обстоятельство, что с помощью гироскопа можно обнаружить суточное вращение Земли, одним нз первых обратил внимание Фукб. В )852 г.— спустя год после демонстрации своего знаменитого маятника — Фуко сообщил об этом Парижской Академии наук. Почти одновременно с Фукб эту идею высказали и некоторые другие исследователи — идея «носилась в воздухе». В том же 1852 г. Фукб доложил Парижской Академии наук об изобретенном им приборе, с помощью которого можно в любом месте Земли определить направление линии Юг — Север. Прибор Фукб был прообразом современных навигационных приборов— гирокомпасов, причем само название «гироскоп», образованное из двух греческих слов, означающих «вращение» и «наблюдение», принадлежит также Фукб *).
*) Первая попытка построить гироскопический навигационный прибор относится к 1752 г. Создатель первого гироскопического прибора Серсон погиб вместе с кораблем, иа котором был установлен его прибор. е16 ГЛ. ТЬ МЕХАНИКА АВСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА Идея Фукб состоит в том, что если гироскоп лишить одной степени свободы, разрешив, например, осн собственного вращения перемещаться только в горизонтальной плоскости, то ось вращения будет подобно магнитной стрелке компаса указывать направление на Север (дальше мы рассмотрим эту задачу).
Однако техника во времена Фукб не была еще достаточно развита н его идеи не могли быть реализованы. Лишь в начале нашего века появились совершенные гироскопические приборы, получившие широкое распространение в морской навигации, причем первоначальная идея Фукб подверглась значительным изменениям.
В настоящее время бурного развития всех видов навигации— морской, воздушной н, главное, космической — необычайно возросло значение навигационных гироскопических приборов, возросли требования к точности н надежности этих приборов. Конструкция приборов стала весьма сложной н достигла большого совершенства. Однако главной частью всех гнроскопнческнх навигационных приборов остается быстро вращающееся вокруг своей оси осеснмметричное тело в гироскоп н работа этнх прнборов основана на свойствах движения гироскопа.
Мы рассмотрим здесь только некоторые простейшие положения теории гироскопов, несколько видоизменяя полученные раньше уравнения движения осеснммет- Уг рнчного тела. Обозначим, как х обычно, главные ося инерции тела через х, у, г н положим гг(а А =ВФС. Предположим, кронху ме того, что центр масс гнро- скопа либо совпадает с непоыв О двнжной точкой, либо находится на осн Ог (см, регулярную прем у и' цессню в случае Эйлера н слу- чай Лагранжа).
Уг х Для описания движения гн- роскопа введем подвижную сн- Н стему осей, не участвующих Рис. 6.!7. в собственном вращении тела: ось ОК, направленную по линни узлов, ось ОМ, перпендикулярную линии узлов н лежащую в плоскостн (х, у), и ось Ог. Трн указанные оси носят название осей Резаля; нх положение относительно неподвижных осей рь у„ уа определяется двумя углами Эйлера *) — углом прецессин гр и углом нутацни 6 (рнс. 6.17). ') Часто применяют углы Резала 1р, и еь связанные с углами Эйлера соотношениями грг гр — я72, зг я/2 — 6, но мы сохраним углы Эйлера. 417 а 7.
ИекОТОРые сведения О ГЯРОскОпАх Оси Резаля вращаются с мгновенной угловой скоростью гви которая складывается из угловой скорости вращения вокруг линии узлов ОК и угловой скорости вращения вокруг оси прецессии уе. Следовательно, е, хй+ еаза, где х — единичный вектор, направленный по линии узлов, ее — еди. ничиый вектор, направленный по оси у,. Проекции вектора ез, на оси Резаля будут равны Ь7ен — — (аЕ,Х) = О, «чен —— (ае,ф = ф з)п 8, ы„=(м,й) = ( за. Здесь )А — единичный вектор, направленный по оси ОМ, и — единичный вектор, направленный по оси г. Оси Резала ОК и ОМ, расположенные в плоскости (х, у), будут главными осями инерции осесимметричного тела.
Позтому кинетический момент тела может быть представлен в виде О=ИАО+)ААфз(ПО+йС(фсоз8+ер). (6.132) Уравнения движения гироскопа запишем, применяя теорему об изменении кинетического момента: —, + (га, 01 = М)с, аа или х 7А Ф вЂ” + О чР е'и О чР сне 8 = й)е, (6.133) а АО Ач) япз С(ч)созз+ф) где — „— символ относительной производной, 9Ж вЂ” сумма момент тов внешних сил относительно неподвижной точки. Проектируя векторное уравнение на оси Резаля, запишем динамические уравнения в виде АО+ СГ р зш 8 — Анре з(п 8 соз 8 = Инн А — (чр з(п 8)+ АОчр соз 8 — СГО - И„, (6.134) С д, —— Ин (г чрсозО+ер). Здесь И„, ИР и И,— суммы моментов внешних сил относительно осей Резаля.
Пользуясь тем, что оси Резаля ие участвуют в собственном вращении тела, мы можем выделить слагаемые, 44 В. В. Пе~неннч 4!8 ГЛ. Ть МЕХАНИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА содержащие угловую скорость собственного вращения. Перенеся эти слагаемые в правые части уравнений, запишем А0+ (С вЂ” А) фв в!и 0 сов 0 = Я)?„— С+р в?п О, А„—,(фв?п8) — (С вЂ” А) ф0 сов0 =У?„+Сбф, С д' =Э)?,.
(6.136) 8)?~ = (С вЂ” А) фо в?п 0о сов 0о+ Сфофо ввп 8о. й??„= О, й??, О. (6.136) Следовательно, постоянный по величине момент внешних сил должен быть направлен по линии узлов. Из формулы (6.132) следует, что в случае регулярной прецессии вектор (у находится в плоскости (у„г), величина его постоянна; скорость конца вектора О, равная моменту внешних сил Ш, параллельна линии узлов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
