В.В. Петкевич - Теоретическая механика (1119857), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Найдем зависимость угловой скорости собственного вращения от скорости прецессии и от величины угла нутации. Для этого воспользуемся выражением момента внешних сил относительно линии узлов (6.136). Разрешая относительно фо, находим (А — С) т' в!и во свого+У?х ( А 1)ф сов 0 + ~~„~ (6 137) Сфо в?п Во (С ! ' ' Сипо ф',' Предположим, что О (8о ( и!2, 3)?„) О, и построим график зависимости фо от фо при заданном значении отношения А?С, момента 0)? и угла нутации 0„(рис. 6.18). Будем, кроме того, для определенности предполагать, что фо) О.
Пусть А!С) 1 (эллипсоид инерции вытянут вдоль оси Ог). Регулярная прецессия возможна только при достаточно большой скорости собственного вращения, удовлетворяющей неравенству фо » ~фо ) О. Последнее уравнение оставляем без изменения, имея в виду, что обычно Ф,=О и, следовательно, г =сопв1 =г,. Это достигается тем, что влияние сил трения в подшипниках компенсируется дополнительной подкруткой.
Левые части первых двух уравнений не содержат скорости собственного вращения; слагаемые — Сврф вш 0 и Сйф, входящие в правые части этих уравнений, обычно рассматривают как проекции гирооколического момента. Поставим следующую задачу: каков должен быть момент внешних сил относительно неподвижной точки, если движение гироскопа представляет собой регулярную прецессию вокруг оси ув? Регулярная прецессия характеризуется тем, чтоб = сопв1 = =э„ф=сопв(=ф„ф=сопв? =ср,.
Из уравнений движения нахо- дим 4!9 $ Х НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ О ГИРОСКОПАХ Каждому значению ф„которое превосходит ф;, отвечают два значения скорости прецессии: Фо, (медленная прецессия) и фо, (быстрая прецессии), знак которых совпадает со знаком скорости собственного вращения. Следовательно, как и в случае Эйлера, при А/С) 1 наблюдается прямая прецессия.
Наименьшей скорости собственного вращения соответствует одно значение скорости прецессии, равное фо". Величину ф; можно вычислить, Рис, 6.18. если выражение для момента З)1„(6.!36) рассматривать как квадратное уравнение относительно фо, и найти условие равенства корней. Можно также фо" и фоо найти, приравнивая нулю произ. водную —..
Выполнив простые вычисления, находим о1фо "Фо / ж„ 1~ (А — С) о1п 2Во Следовательно ОО= — о РТА:с>~юоо,. Здесь 0<8,<п/2, И„>0; знаки скорости собственного вращения и скорости прецессии совпадают. Рассмотрим регулярную прецессию гироскопа, у которого эллипсоид инерции сжат (А1С<1). Здесь каждому значению скорости собственного вращения отвечают дв а значения скорости прецессии: ором знак которой совпадает со знаком ф„ и Фоо противоположного знака.
По абсолютной величине фоо меньше, чем фоо. Следовательно, в этом случае возможна быстрая обратная прецессия. Заметим, что если фо=0, то -о Н1о (С вЂ” А) апзосооао ' АЕО ГЛ, Щ. МЕХАНИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА Из формулы (б.137), предполагая, что скорость собственного вращения гироскопа весьма велика, мы можем получить приближенные выражения скорости прецессии хя ~ — — 1) Е, ~с Найденные приближенные выражения скорости прецессии могут быть получены в виде приближенных значений корней упомянутого квадратного уравнения для Ч,.
Если гироскоп движется в поле тяжести (случай Лагранжа), то проекция момента силы тяжести на линию узлов будет равна Мй( Б1пее. Для скорости медленной прецессии мы получим приближенное выражение, совпадающее с найденным ранее при иссле. довании движения волчка. У Сокращая на Б1пе„найдем Мф ! сь' Заметим, что в задаче о движении волчка не могло быть быстрой прецессии в силу того, что в начальный момент времени при большой скорости собственного вращения начальная скорость прецессии была равна нулю.
В любом случае, когда возможны различные скорости прецессии, характер действительного движения определяется начальными условиями. Для того чтобы на пракРнс. 6.19. тике получить тело с одной неподвижной точкой, применяется остроумное устройство, называемое по имени матема. тика Кардано (Италия, ХН! век) кардановым аодеесом. Кардаиов подвес сосгоит из двух колец (рис. 6.19). Внешнее кольцо ! может вращаться вокруг оси, неподвижной относительно некоторой системы отсчета (обычно относительно Земли).
Внутреннее кольцо 2 может вращаться относительно диаметра внешнего кольца, перпендикулярного неподвижной оси. Наконец, диаметр внутреннего кольца, перпендикулярный оси вращения этого кольца, служит осью собственного вращения гироскопа. Система имеет три степени свободы. Направив неподвижную ось ух по оси вращения внешнего кольца, линию узлов ОК по оси вращения В К НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ О ГИРОСКОПАХ 421 внутреннего кольца и, как обычно, ось Ог по оси собственного вращения гироскопа, положение системы определим углами Эйлера или углами Резаля. Если указанные оси пересекаются в одной точке, то эта точка и будет неподвижной относительно основной системы отсчета. Если, кроме того, центр масс гироскопа и центры масс каждого кольца совпадают с неподвижной точкой, то моменты сил тяжести относительно неподвижной точки будут равны нулю. Для описания движения гироскопа в кардановом подвесе удобно применить уравнения Лагранжа 2-го рода, приняв в каче- стве обобщенных координат углы 10, 70 и 0.
Обозначим через А и С главные моменты инерции гироскопа, через С, — момент инерции внешнего кольца относительно оси у„ через А„ В„ С, — моменты инерции внутреннего кольца относи- тельно осей ОК, ОМ и Ог соответственно (А, = С1). Найдем выражение кинетической энергии гироскопа и колец Т„„Р— (А (фт з1пз 0 + АА) + С (17г созэ+ Ч1)1), Т = — 'СУ, 1 Тио = — (А, (ф' созз 0+ 01) + В,ф' з(п' 0). 2 Здесь мы воспользовались тем, что оси Резаля — главные оси инерции гироскопа и внутреннего кольца, а ось р,— главная ось инерции внешнего кольца. Полная кинетическая энергия системы будет равна Т вЂ” ((А+ Аэ) й'+ЦА+ В,) з1п'О+ А, соз'О+СД ф'+ + С (7(7 соз 0 + <р)'). Обычным способом, вычисляя виртуальную работу, находим обобщенные силы ОЧ = 0)11 17е = й7111 ()ч = Э)1„ где %,— момент внешних сил, приложенных к кольцу 1, относительно оси р,.; Э)1,— момент сил, приложенных к кольцу 2, относительно оси ОК; Ю1, — момент сил, приложенных к гироскопу, относительно оси Ог.
Уравнения движения гироскопа в кардановом подвесе запишем в виде (А+ Ат) 0 — 70'(А+ Вз — А,) з(п 0 соз 0+С(7р соя 0+ Ф) фа!п0 = И„, „—,11(А+ В1) з(п'0+ А, созз 0+С1) ф+Сг соз 01= 071,, (6А39) С вЂ” ' Ю1, (г ф соз 0+ ф). 422 ГЛ. Чь МЕХАНИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА Второе уравнение можно записать иначе: ((А + В,) в(па 8+ А, сова 9+ С,] ф+ +(А+В,— Аа)рйебп20 — Сгйв1па=й)1,— 6)1,сова. (6.!40) Отметим, что систему отсчета, с которой связаны оси ум у„у„ мы при выводе уравнений Лагранжа считали инерциальной. Обратимся к задаче Фукб и рассмотрим один из вариантов гирокомпаса, предложенных Фуко, именно тот, идея которого лежит в основе многих современных приборов. Внешнее карданово кольцо расположено в вертикальной плоскости и может свободно вращаться вокруг вертикальной оси ра.
Внутреннее кольцо перпендикулярно внешнему и составляет с ним Рис. 6.20. одно целое. Ось гироскопа при этом сможет перемещаться в горизонтальной плоскости. Ось у, направим к Северу, а ось уев к Западу е). Направление оси у, может не совпасть с направлением линии Юг — Север: на эту неточность укажет сам прибор. На рис. 6.20 показано направление осей у„у„уа, причем неизвестный заранее угол между осью у, и линией Юг — Север (линия 0)ч) обозначен через е.
На том же рисунке отдельно показан сам гироскоп (кардановы кольца не изображены). Из всех движений, совершаемых Землей, примем во внимание только ее суточное вращение, считая его равномерным. Угловую скорость вращения Земли обозначим через аа. Обозначая через сй орты, направленные по осям уь запишем Я = (еа соз и+ ее в)п е) Й сов са+ еа ьа з(пса; (6.141) се-широта места, где находится гироскоп.
е) Здесь удобно иное расположение осей по сраанению с их Расположением а задаче о маятнике Фукб. 423 9 ь некотоРые сведения О ГиРОскОпАх Для решения задачи используем оси Резала. Угловая скорость вращения осей Резаля относительно поступательно движущихся осей будет равна Кроме того, (етх) = соз»р, (е»х) = з(п ф, (еах) (). Уравнение (6.144) примет вид ~»»ф — Сфа„= 8))Р, где Й„1)созаеоз(ф — е). (6.145) где е, = хй + е»ф есть угловая скорость вращения осей Резаля относительно осей й„ у„ у». Применим теорему об изменении кинетического момента гироскопа в кардановом подвесе.
Число степеней свободы системы сократим после составления уравнений движения. Кинетический момент самого гироскопа выражен формулой (6.132). Кинетический момент первого кольца будет равен О' и = е»С,ф = )»С,ф з (п 0 + йС,ф соз 8. Кинетический момент второго кольца О" = хА»8+ !»В»ф з!и 0+ ФА»ф соз 8. Следовательно, кинетический момент системы может быть записан в следующем виде: О = х(А+ А,) 8+)»(А+В,-1-С ) ф з!и 0+ + й [Сг+ (А, + Ст) ф соз 0].
(6.142) На основании теоремы об изменении кинетического момента "— + [(а, + щ О] = 9МО>, (6. 143) где Шм> есть сумма моментов внешних сил относительно неподвижной точки. Второе слагаемое левой части запишем подробнее: х !» Ф [(е»1+»)) % = (»»»+ н)х (»»»+ ~)ы (е»+ ~)» ° ОР О» Обозначим для краткости А+В,+С, через 1»» и рассмотрим проекцию векторного уравнения (6.143) на ось ОМ. Получим /»» (ф з1п О+ ]8 соз О)+(Гв, + ())» бк — (ы, + لỠ—— 8)!Р. (6.!44) Теперь положим 0 =п)2. Тогда Й=О, з(п8=1, соз8=0, «»,=е,ф, г=ф, О =О, а =Сф. 424 гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
