В.В. Петкевич - Теоретическая механика (1119857), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Теорема Лагранжа об устойчивости положения равновесия Обратимся теперь к теореме Лагранжа, в которой содержится достаточное условие устойчивости положения равновесия. Сами положения равновесия (их может быть несколько) мы найдем, применяя статический принцип виртуальных перемещений (см. ел. )Ч). Из найденных положений выберем то, которое нас интересует, и перенесем в это положение начало координат: в положении равновесия все обобщенные координаты будут равны «сулю.
В качестве невозмущенного состояния примем состояние равновесия (состояние покоя), в котором все обобщенные скорости также равны нулю. Таким образом, мы, исследуя устойчивость иевозмущеиного состояния равновесия, должны будем выяснить, устойчиво ли нулевое решение системы (7Л) с (с7 тй () Следовательно, с формальной стороны задача об устойчивости равновесия и задача об устойчивости движения совпадают. Теорема Л а г р ан ж а. Положение равновесия консерватив. мой голономной системы устойчиво, если в положении ривновесия аотенс(паленая энергия системы имеесп изолированный минимум, еза Гл.
чп. устОЙчиВОсть дВижения. ИАлые кОлеБАния Система консервативна, поэтому обобщенные координаты могут быть выбраны так, чтобы формулы преобразования не содержали время 1 — = 0). Значит, кинетическая энергия си/ дгв '(д/ = стемы будет представлять собой однородную квадратичную функцию обобщенных скоростей с коэффициентами, зависящими от с), но не зависящими от времени: с с Т = Т, = — т, ~~), Асс (с/) с)сс)/. 1 %~ С 11 1 с'(ы знаем, что Т, =О тогда и только тогда, когда все с) = О. В некоторой окрестности точки, изображающей состояние покоя (сс/)<Ь сс)((Ь), кинетическая энергия будет возрастать вместе с ) с)(.
Потенциальная энергия определяется с точностью до постоянной. Выберем эту постоянную так, чтобы в положении равно- весия потенциальная энергия Е/сх с/) равнялась нулю. Следовательно, так как в положении равновесия потенциальная энергия имеет изолироваьный минимум Еи и (/(0) =О, то в некоторой ко- нечной окрестности этого поло- . жения т (/ (д„..., д,) ~ О () д ~ ~ Ь). (Еи Е ) В качестве функции Ляпунов ва выберем функцию Е Т+О, Рис.
7.2. равную полной энергии систе- мы, зависящую от с) и с) — переменных, определяющих состояние движения системы, Очевидно, что Е (с/, с)) есть зиакоопределенная положительная функция, равная нулю в состоянии равновесия и удовлетворяющая всем требованиям, которые предъявляются к функциям Ляпунова' ). Так как система консервативна, то в силу уравнений возму- дЕ щенного движения — „=О. Следовательно, по теореме Ляпунова с/С невозмущенное состояние — состояние покоя — устойчиво. Проиллюстрируем это доказательство, представив условно движение изображающей точки в пространстве (с, с), Е (рис.
7.2). Пусть в области, где )17)(Ь, (с))(Ь, функция Е(с/, с)) возрастает по мере удаления от начала координат (от точки, отве- ') В окрестиоств Ь фуыкцыи 1/(о) моиотоиио воерествет ыо мере уввые- иии от положеаии рввиовесии. 4 «. ТЕОРЕМА ЧЕТАЕВА О НЕУСТОИЧИНОСТИ 439 чающей невозмущенному состоянию покоя) *). Зададим О(е(с». На замкнутом множестве точек е-границы непрерывная функция Е(д, л) достигает наименьшего значения пип Е ~«=Е".
Зададим начальные возмущения де и 4» (точка Ре) так, чтобы )бе( (6, Щ -6, где О(6(е. Очевидно, что будетсправедливо неравенство Ее=Т»+(уе(Ее. Изображающая точка начнет двигаться по поверхности, и ее ордината будет постоянной (Е = Ее). Следовательно, проекция траектории изображающей точки на «плоскость» (д, й) не выйдет за пределы е-границы.
пЕ При наличии полной диссипации — ( О. Поэтому ордината й изображающей точки будет с течением времени убывать, величины д и д будут стремиться к нулю. Устойчивость состояния равновесия в этом случае будет асимптотическойее). $4. Теорема Четаева о неустойчивости. Обращение теоремы Лагранжа А. М. Ляпунов в своей диссертации «Общая задача об устойчивости движения» исследовал также и неустойчивость невозмущенного состояния. Им, в частности, была поставлена задача Обращения теоремы Лагранжа и доказана теорема, содержащая достаточные условия неустойчивости положения равновесия при некоторых предположениях относительно вида силового потенциала.
Н. Г. Четаев обобщил результаты Ляпунова, доказав теорему о неустойчивости, в которой даны достаточные условия неустойчивости невозмушеиного состояния системы при более общих предположениях (361. Пусть возмущенное движение описывается уравнениями (7.6) и в начальный момент заданы величины х«(ге)=х,е. Нулевое решение системы (7.6) отвечает невозмушениому состоянию системы. Выделим малую окрестность начала координат при по- моши неравенства (7.9) )х,)~й и рассмотрим функцию У (х„ хз, ..., х,; г), принимающую положительные значения в некоторой части выделенной окрест- ') Излагая теорию Ляпунова, ыы зсе переыенные обозначали через л (форыулы (7.4)); соответственно, границы их абсолютных величин обо»начали Одяиаковыыи символами. так же и здесь будем писать (ч!сь, (4 ~(А ят.
д. '") подобные иллюстративные рассуждения нельзя рассматривать как доказательство. 44О Гл, уп. устоичивость движения, мАлые кОлеБАния У (хи ..., хи1 1) ) А ) О, (7.10) выполняется следующее неравенство: — ) В) 0 (В =/(А)). (7.11) Заметим, что при указанных условиях кривая У=О не может быть замкнутой в пределах области, Определяемой неравенствами (7.9). Теорема Четаева. Если для дифференциальных уровнений возмущенного движения можно найти функцию, удовлелиаряющую условиям !), 2) и 3), то невозмущенное движение неусгггойчиво. Д о к а з а т е л ь с т в о. Зададим численно малые начальные значения хвг=х,(1в) и допустим, что У (хмь 1,) =— Ув)0. ПРи 1) гв фУнкциЯ У бУДет возРастать, так как а области У ) О, которой принадлежит начальное значение У„ производву ная —, составленная а силу уравнений возмущенного движе- Ж ' ния, положительна. Умножая обе части (7.11) на йг и интегрируя, найдем У(х„() — Ув)3 Вй( В(1 — 1в).
(7.12) Очевидно, что при 1-~.со и У-~СО. Но в области У ) 0 функция У по условию ограничена. Следовательно, неравенство (7.9) будет нарушено — изображающая точка выйдет за преаелы указанной области, несмотря иа то, что начальные значения переменных были весьма малы по абсолютной величине. Невовмущеннов движение (состояние) неустойчиво. ности и за ее пределами. Область положительных значений функции У, которую мы будем называть областью У)0, ограничена кривой У О.
Предположим, кроме того, что в этой области имеется множество точек, сколь угодно близких к началу координат. Перечислим свойства функции У. 1) Область У ) 0 существует при сколь угодно больших значениях 1. 2) В области У)0 функция ограничена. ~Л/ 3) В области У ) 0 производная —, составленная в силу Ж ' уравнений возмущенного движения, принимает положительные значения и для всех значений х„1, удовлетворяющих нера- венству 4 «. твоеемл чатлвВА о неустончивости 441 Если обратиться к геометрической иллюстрации (понимая условность подобного приема), то неустойчивость невозмущенного состояния при условиях, указанных в теореме Четаева, станет очевидной. На рис.
7.3 изображен в некоторый момент времени кусок поверхности, уравнение которой имеет вид У=У(хь ..., х»/', 1) (У(0, О, ..., 0; г)=О). Функция У не является зиакоперемеиной — поверхность пересекает «плоскость» (х„ ..., хм) по «линии», проходящей через начало координат. Допустим, что начальное положение системы изображается точкой Р„ которая может быть расположена сколь угодно близко к началу координат. В силу уравнений движения — )О, поэтому изображающая точка будет двигаться в стоВ1/ рону возрастания функции У.
В области )х,)(й функция У ограничена, следовательно, изображаю.лая ~очка достигнет границы этой области. у(х,г) Огсюда и следует заключение относительно неустойчивости иевозмущеиного состо- / явия. / х. ~ Заметим, что функция / У (х„() может быть знакоопределепной, т. е. поверх- / ха ность может иметь впд, изображенный иа рис. 7.1. Если и силу уравнений депп ения У вЂ” ) О, то изображающая В1/ ги .точка, выходя из начального положения, сколь угодно близкого к началу координат, будет от него удаляться.
Невозмущенное состояние и в этом случае неустойчиво. Обращение теоремы Лагранжа об устойчивости положення равновесия консервативной системы интересовало многих исследователей, однако задача эта до сих пор полностью не решена. Приведем без вывода две теоремы, содержащие достаточные условия неустойчивости положения равновесия. Теорема Ляпунова. Если в положении равновесия консервативной системы потенциальная энергия имеет максимум и это определяется совокупностью членсе наиниэшеео порядка о разложении этой функции, то равновесие неустойчиво. Обобщения теоремы Ляпунова были даны Н.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
