В.В. Петкевич - Теоретическая механика (1119857), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Общее решение системы дифференциальных уравнений возмущенного движения (7.47) есть наложение (суперпозиция) нормальных колебаний, частоты которых называются собственными частотами колебаний консервативной системы. Отметим, что нормальные координаты представляют собой некоторые обобщенные координаты. Отличительная особенность нормальных координат заключается в том, что они независимы не только кинемати чески, ио и динамически — в каждое динамическое уравнение входят только одна координата и ее вторая производная по времени. Вернемся к системе уравнений для амплитуд: (АЛ вЂ” С) Д" =0 460 гл.
оп. нстоичивость движения. милыя колввлния В случае, когда все корни характеристического уравнения (7.46) различны, ранг матрицы (А Лт — С) равен (1 — 1) (Ху — один из простых корней). Значит, по крайней мере один из миноров первого порядка определителя Ь(Лт) отличен от нуля *). Следовательно, системы (7.45) и (7.63) определяют К, или в, с точностью до произвольного множителя. Иными словами, подставив Л=Л в (7А5), мы находим (! — 1) отношений, например, дтп яш д)п кГ ко) кр' которые между собой независимы. Таким образом, система уравнений возмущенного движения в атом случае имеет 1 независимых частных решений. Рассматривая в первом приближении возмущенное движение консервативной системы, мы предполагали, что невозмущенное состояние — состояние покоя — устойчиво. Это позволило нам искать частное решение системы дифференциапьных уравнений возмущенного движения в виде тригонометрических функций времени.
Если заранее мы не внаем, устойчиво или неустойчиво положение равновесия, то частное решение следует искать в виде Кеы. В таком же виде нужно искать частное решение и в тех случаях, когда в уравнения входят производные первого и второго порядков. Обратимся теперь к случаям кратных корней характеристического уравнения. )Лопустим, что Хь(или м1) есть р-кратный корень. В зависимости от структуры Л-матрицы мы найдем либо частные решения рассмотренного выше вида, которым отвечают нормальные колебания с совпадающими частотами, либо частные решения вида ( — ...
К ~м рв 3 Кы лй+Кя (е 1)~+" +К+ьь)е" где Км, н — постоянные, в=р — 1. доказательство втого утверждения можно найти в курсах дифференциальных уравнений ([10[, т. И, ч. 2, [24[, [30[), Мы же здесь ограничимся примером системы с тремя степенями свободы. ') Минор лереоео порядка получается вычеркиванием из определителя одной строки и одноео столбов. Простоа корень не обращает в нуль все миноры йа (Л)1 первого порядка. таи как алесь ~ — ) чав, йЛ )ь ь 462 Гл, чгг, устоичивость дВижения, мАлые кОлеБАния Функции (7.68) и (7.69) линейно независимы и при условии Ь„(х'г) ~ 0 образуют две системы линейно независимых частных решений.
Если характеристическое уравнение кроме двойного корня имеет еще простой корень ха, то этому корню будет соответствовать третья система частных решений, линейно независимая от первых двух. Допустим, что характеристическое уравнение имеет тройной корень *).
Применяя описанный выше прием, мы получим систему частных решений: Чт = ~ —, [О»ус"г]) (7.70) независимую от решений (7.68) и (7.69). Дважды дифференцируя по х, мы увидим, что решения (7.70) будут содержать в виде множителей вторую степень времени г. Если же двойной корень обращает в нуль все миноры первого порядка, то частных решений, содержащих вековые множители вида (7.69), мы не получим. Ранг матрицы ()г-матрицы) в этом случае будет равен единице, следовательно, система трех уравнений (7.66) для множителей К сведется к одному, например к первому: Кги (хга„+си)+ К»" (хга„+етт)+ К,'" (х(ага+с„) =О, где хг есть двойной корень характеристического уравнения. Если х(ага+с»»ФО, то постоянные К)и и Ке' можно выбрать произвольно и выразить через них К',".
Это позволит получить две системы различных частных решений. Третий корень, равный хт, дает систему частных решений, которые будут линейно независимы от первых двух. Как мы видели, характер частных решений определяется структурой )г-матрицы. Структура А-матрицы в свою очередь определяется так называемыми элементарными делителями, введенными Вейерштрассом (6]. Характеристический определитель представляет собой полипом степени г от )г (или степени 2г' от х).
Полинам степени г' можно представить в виде произведения линейных множителей ()ь — )г»), где )» есть корень характеристического уравнения. Обозначим через кгг показатель наивысшей степени ()ь — )г»), которая является множителем всех определителей т'-го порядка (г()). Обозначим, кроме того, через ег (ег~О) целые числа, определяемые равенствами е, =дг — дг г (г' = 1, 2, ...,(). Те из выражений (), — )г»)'г, ()ь — )г»)'а, ..., ()г — )г»)'г, ") В нашем случае караитеристическое уравнение есть уравнение гретьегт стеееии отиосительио х' (или отиосительио А= — и').
4Е4 Гл. уп. устОЙчиВОсть движения. мАлые ЕОлеБАния Уравнения Лагранжа будут иметь вид адфд + аддд72+ сддс)д+ сддд)2 = О, адд~уд + ад ад+ сддс)д+ сддс)2 = О. (7.71) Подставив частные решения дд = Кд 21п (ед1+ а), дд = Кд з(п (ед1+ а) в уравнения (7.71), мы придем к уравнениям для амплитуд: К, (Ла„— с„) + К, (Ла,з — сдд) = О, 7.72) К, (Ла„— сд,)+Кд (Ла„— с„) =О, (7.72 где Л=ьдд. Уравнение частот будет представлять собой квадратное урав- нение относительно Л: (Лап — сдд) (Лодд сдд) (Лодд — сдд) = О. (7.73) Предположим, что корни уравнения (7.73) Л, и Л, различные.
Взяв одно из уравнений (7.72) и подставив Л;, мы найдем ампли- туды К1л и К2' с точностью до общего произвольного множителя. Подставим, например, Лд в первое уравнение: К1л (Лдадд — с„)+ Кдл (Л,а„— с„) = О. Отсюда кш ка~ ! 2 =С. Лдаи — сд, со — Л,ад Заметим, что теоретически можно отбросить любое из уравнений (7.72). Общее решение системы (7.71) запишем в виде дд = Сд (Л,ад, — см) зш (ьдд1 + а,) + С, (),а„— с„) 2 1п (ед21+ а,), 72 = С, (с„— Лдадд) з(п (ьдд1+ ад) + Сд (сдд — )„аы) з(п (ед21+ ад) ° где Сд, Сд, а„а,— произвольные постоянные. и одна система частных решений будет содержать вековые множители.
В заключение приведем несколько примеров. 1. Рассматривается консервативная система с двумя степенями свободы. Положение ее определяется двумя обобщенными координатами, дд и дд. Найти дд(г) и д)2(1), если в устойчивом положении равновесия дд=дд —— О. Запишем функцию Лагранжа 2 2 1 чд й= — ~~ у, (апАА — с;яя/). с=|д=~ в 7, ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИИ МАЛЫХ КОЛЕБАНИИ 466 2. Рассмотрим материальную точку М массы т, подвешенную на упругой нити так, что расстояние точки от начала координат равно удлинению нити, второй конец которой закреплен в точке Од (рис. 7.6). Точка М движется без трения в однородном поле тяжести.
На точку действует еще сила Р„ пропорциональная ~г~, с которой плоскость (х, у) отталкивает точку. ОбозначаЯ чеРез уд и 7, коэффициенты пропорциональности, запишем выражение потенциальной знергин и= — "(х+у)+ + 7 7 ге+туг Рва 7.6. пРедполагаЯ, что 7, 7в)О.
Положение РавновесиЯ опРеделЯетсЯ следующими значениями координат: х=О, у=О, г= —— дня 7» — 7в Полагая уд=х» ув=у» ув=г» составим функцию Лагранжа д. = -и- (хв+уд+ гд) — е' (хв+ у') — 7' 7* гв — туг. Запишем уравнения Лагранжа тх+ 7дх = О, т3+ 7ду О, пдтд+(уд-7е)гд =а где г,=г+ —. Частное решение ищем в виде ндл тд 7в х = К, здп (ед(+а), у = Ке здп (ед(+а), гд = Кв здо (еде + а). Отсюда К,(тоде- 7,) =О, Ке(теде — 7д)=О, Кв(теде-7) =*О (ув уд-те). Обозначим едв через Л и запишем характернстнчеакое уравнение (л — — ") о о о (л — 7») о о о ~л — — ") 76 В.
В» пе»неввч 466 гл. чп. гстоичивость движения. мллыв колевлния Характеристическое уравнение имеет двукратный корень й, = = А, =у,/щ и один простой корень ), =(у, — у,)/т. Нетрудно проверить, что двукратный корень обращает в нуль все миноры первого порядка. Общее решение находим в виде х=С,з(п()/ т'(+а,), у=С,з1п(~/та(+а,), '='""(~ "Р' )-= где фффаь а„а, — вещественные произвольные постоянные. 3. Свободная материальная точка М с массой т движется под действием силы гг, пропорциональной координате г и притягивающей точку к плоскости (х, у) (рис.
7.7). Введем систему отсчета, вращающуюся с постоянной угловой скоростью ы относительно оси Ог, и свяжем с ней оси $, ть ь (ось ь совпадает с осью г). В качестве обобщенных координат выберем относительные координаты точки, полагая 7 61=2 Чг=ти Чг=Ь У Обычным способом строим функцию Лагранжа 2 ((~ + ( ) + ) У 2 ' Рис. 7.7. где у, есть коэффициент пропорциональности в выражении притягивающей силы. Записываем уравнения движения $ — 2ай — оР$ = О, 1+ 2в$ — оэгп = О, 1+71=0 (у =7').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
