В.В. Петкевич - Теоретическая механика (1119857), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Частное решение ищем в следующем виде: с=к,е~, О=К,г~, ь=к, Находим уравнения для множителей Кб Кг(к' — а') — Кг 2ык=О, Кг 2вх+К,(х'-а')=О, К (х'+у')=О. э в, силы диссипвтивныв. гиеоскопичвскив. вынтждвющив 46т Записываем характеристическое уравнение ! (х' — во) ( — 2вк) О (2вх) (ко — во) О = (), О О (хо+то) [ или, раскрывая определитель, (х'+ а')' (х'+ ув) = О. Корни характеристического уравнения будут равны х1 = хв = — ав, х,' = — ув.
Нетрудно проверить, что при подстановке кратного корня не все миноры первого порядка обращаются в нуль. Следовательно, кратному корню будут отвечать две системы частных решений, которые можно получить, положив, например, К,=бм(х(), где Лм — миноры первого порядка, соответствующие элементам пер- вой строки характеристического определителя. Частные решения найдем в следующем виде: $Ы~ = Лм(х)) ен' т)по = Ь1в(х() ех' ~ы~ =О ~"=ф[л„( *)."'1~ Ч"' = [ — [Лвв (хв) е"'][, ~~в1 = О.
~ д (дх х м, Очевидно, что полученные частные решения линейно независимы. Подставив корни х, и х„запишем общее решение в комплексной форме ~ = [Св2ав (ав — у ) + Св [2(а (у' — Зав) + 2ав (а' — у') ф евх, в) = [С в 2(оэ' (ав — тв) + Св [2а (З໠— ув) + 2(ав (а' — ув) (1 ) е'"~, ь = С„е'т'. Здесь С,= А,+(В„где А„В,— вещественные постоянные, вз= — 1. $8. Влияние диссипативных, гироскопических и вынуждающих сил Рассмотрим голономную систему, движущуюся под действием консервативных и диссипативных сил. Предположим, что мы нашли положение системы, в котором ее потенциальная энергия имеет изолированный минимум и которое, следовательно, является устойчивым положением равновесия при наличии одних только консервативных сил.
Перенесем в это положение начало координат (-мерной системы координат и рассмотрим возмущенное движение в малой окрестности начала координат. 16» 468 гл. дси. тстончивость движения. малые колввсдния Диссипативная функция Рэлея определяется формулой 2Ф вЂ”,) ~ ~'', рсдс)суп (4.!34) с где рп — непрерывные функции координат. В главе й1 было показано, что при наличии диссипации — (Т+О) = 2Ф. Следовательно, если диссипация неполная — функция Ф знакопостоянная, то по теореме Ляпунова устойчивость состояния равновесия сохраняется.
Если же диссипация полная и функция Рэлея знакоопределенная отрицательная, то устойчивость станет асимптотической. Для составления уравнений первого приближения нужно заменить коэффициенты Рс~(с)) их значениЯми в начале кооРдинат. Тогда функция Рэлея будет приближенно представлена в виде квадратичной функции с постоянными коэффициентами. Обозначив ря(0) через Ьл, запишем 2Ф = — ~ ~Ч" „Ьсс4с4с, (7.74) с Полезно рассмотреть пример, приведенный в книге Уиттекера «Аналитическая динамика», в котором рассматривается влияние слабого сопротивления среды на нормальные колебания системы с двумя степенями свободы.
Заметим, что выбор именно двух степеней свободы позволяет выявить все главные особенности лвижений систем с большим числом степеней свободы и вместе с тем делает само решение достаточно прозрачным и не очень громоздким. Предположим, что дд и д,— нормалькые координаты. Тогда Т--,' Цс,+4)). и=-,'(«сес+ М). где едд и ад,— частоты нормальных колебаний без диссипации.
К каноническому виду могут быть приведены одновременно две квадратичные функции, поэтому функция Рэлея будет иметь вид 2Ф = — (Ьддс)1 + 26ддс)дйд+ Ь„с)с). (7.75) Запишем уравнения Лагранжа (сд+ Ьддс)д+ Ьддс)д+ сесе =* О, (7.76) Г7 +Ь с) +Ьддс),+едя,=О. Частные решения системы (7.76) ищем в виде функций, подобных всем своим производным по времени, положив К,е"', с), =. К де"'.
(7.77) 5 В, СИЛЫ дИССИПАТИВНЫЕ, ГИРОСКОПИЧЕСКИЕ, ВынуяддАЮщив 4бо Кд(ке+Ьддк+а'с)+Кдьддк =О, К,Ь„к+ К, (х'+ Ь„х+ ад) = О. (7.78) Характеристическое уравнение будет уравнением четвертой степени: (х'+ Ьмх+ ас) (х'+ Ьмх+ а3) — Ьдсдхе О. Предположим, что Ьсу малы (малы силы сопротивления), и отбросим член — Ь)дхе. Тогда характеристическое уравнение распадется на два уравнения: х'+Ьих+со1=0, х'+Ьеяк+а1=0. (7.79) Находим четыре решения: хд, = — — + ф — — а~ х, = — — с- — — сод.
(7.80) ьи /ь„, ь„ь1, 2 У 4 ' ес 2 4 Используя предположение о малости козффициентов Ьсу, запишем кд = — + ссод ьдд 2 где се= — 1. Заметим, что корни дся — — — 2 + ссоа ам (7.81) ьи ьа хе= — — — иод х = — — — са 2 ' 4 2 не дадут новых частных решений. Обратимся к системе (7.78). Подставляя корень х„мы должны будем взять второе уравнение, а для того чтобы подставить х,-первое* ). Итак, К со Ье,хд+ Кя" (хдс+ Ь„х, + а3) = О. Отсюда К!Я к'," (йп ) ( ): — — "+сад) + ьдд( — —" -1- са,)+а,' Ь ( — д'+ са ) где Ад, Вд — вещественные постоянные.
Аналогично, К1" К 31 (-' ) ( ) -( — йе+ '" Оя. Ь вЂ” 2 + Ъ~) (- 2 + Са~) + Ь ( — -й'+ Сад)+ *) Нухеряяяя (д, 3) а (2, 4) кореей характеристического уревеекея уаобеа для аельеейшего. Подставляя в (7.7б) и сокращая на е"', придем к системе урав- нений для амплитуд: 470 Гл, чп.
устоичнвость движения. мАлые кОлеБАния Отбрасывая квадраты и произведения коэффициентов ь17, запишем общее решение ьх — + ьа1~! дт = (А1+ 1В1) [отз - о!1+ йот (Ьее - Ь11)]е( ' г— ь„ 1- —, + .11 — (Аь+ 1Ве) (1 Ьтаоэе) е ьх (- — + а,) Че = — (А1+ 1В1) (1Ь„от!) е( (7.82р (, .] ь.. — + е.)1 + (Аь+ 1Ве) [о!1 — «тт+ ьоте (Ьм — Ь„)]е Общее решение содержит четыре вещественные произвольные постоянные: А„В„А„В,. При желании можно, используя формулу Эйлера еь" '=соз(ат,1)+1з(п(от,1), и = — —,' (рй71+ ХМ), (7.83) где )11 и 111 — вещественные величины. Если система движется в окрестности такого положения при слабой диссипации, то из формул (7.80) следует, что неустойчивость не устраняется при помощи сопротивления (вместо от) надо подставить — рть).
Если диссипацию нельзя считать малой, то, записав характеристическое уравнение в виде (Х вЂ” Х,) (Х вЂ” Ке) (Х вЂ” Х,) (Х вЂ” Х,) = О, (7.84) находим х,х,хань = 111111 ) О, Ь11111+ ЬееР) = к1хеха+ к,каха+ хьхех1+ хах1хе =* !! ! 1 1! =хтх,к,х, ! — + — + — + — ~, 1х, х, хь хь7' ь) прелыолагаех, что разыоеть (ьт1-оь,") ые хала. представить решение в вещественной форме, вводя другие вещественные постоянные: ффа„а.„где С; — множители, входящие в амплитуды, а; — начальные фазы. Мы видим, что малое сопротивление приводит к асимптотическому затуханию колебаний и в первом приближении не влияег на частоты нормальных колебаний системы. Из формул (7.82) мы видим, что изменение координаты д,(1) представляет собой колебание конечной амплитуды с частотой от„ на которое накладывается колебание с частотой оть и с малой амплитудой, пропорциональной Ь„, (Ь=1, 2; а=1, 2) *).
Рассмотрим теперь абсолютно неустойчивое положенв 1равновесия, положив $ а, силы диссипАТИННЫЕ. ГИРОСКОПичеСКИЕ, ВЫНУЖЛАЮШИЕ 471 Допустим, что х, комплексные. Обозначим через х, комплексно сопряженную величину. Умножив и разделив 1/х, на х„найдем « нн, Х,== н» ь11р)+ ь»зг'1 ) 0 Р(Р1 (7.85) Предположим, что нулевых корней нет. Так как х,х,)0 и вся сумма положительна, то заключаем, что по крайней мере один из корней х, имеет положительную вещественную часть.
Следовательно, диссипативные силы не устраняют неустойчивость положения равновесия. Предположим, что наряду с консервативными силами на систему действуют гироскопические силы, которые могут быть выражены с помощью обобщенного потенциала (гл. 1У) ЯУ= ~ Яу,.(д)дь (4. 122) Обобщенная гироскопическая сила равна Г,= ~ у„дь где д1«» д1р' ») Если неустойчивость изолированного положеняя равновесия имеет нечетиун» степень (см.
4 7), то гироскопическая стабилизация невозможна. Прн четной степени возможна, но оиа носит временный характер (пнссипацня, лаже слабая, о течением времени парализует действие гироскопических сил) 1361. Особенность гироскопических сил заключается в том, что работа их на действительных перемещениях равна нулю. Следовательно, силы не изменяют величину полной энергии н поэтому не нарушают устойчивость положения равновесия.
В некоторых случаях, когда положение равновесия неустойчиво, гироскопические силы могут стабилизировать это положение (сообщить ему устойчивость) е). Рассмотрим быстрый волчок, вращающийся вокруг вертикали («спящий» волчок). Если нет собственного вращения, то положение равновесия, в котором центр тяжести выше опоры, абсолютно неустойчиво. Но мы знаем из опыта, что, сооб1цив волчку достаточно большую угловую скорость собственного вращения, мы можем заставить его некоторое время сохранять положение, близкое к вертикальному.
472 гл. чп. гстончнвость движения. мллые колевлния В главе Ч1, где рассматривался случай Лагранжа, было выведено уравнение движения изображающей точки, масса которой равна А/(з: .4 (Р й(УЩЯ М, й(йм,) 1 ~о~ [А| (6 181) Будем определять положение изображающей точки ее декартовыми координатами в неподвижной системе х„ х„ х, и спроектируем уравнение (6.131) на горизонтальную плоскость (х„ х,).
Получим два уравнения: з р )г ~„д д дз д~д и д=! з — х — — ~~ хХ = — Мд+ — хд. А1 хз %д 1 хзхз Схз . и з и ~~ д1= и дз д=1 (7.86) Предполагая, что угол нутации а мал, следовательно, малы х, и х„а х, мало отличается от 1, так как адд хз=1соз0: 1(1 — — ), 2)' запишем уравнения первого приближения х, + 27х, — Рзхд = О, х, — 27хд — 1дзхз = О, С, Маз где 27= — „г„(д'= — „~ . Положилд г=хд+дх„где 1'= — 1. Систе- му (7.87) запишем в виде одного уравнения Š†2гуй †И. Решение ищем в виде г =е"'. (7.88) Подставив в уравнение (7.88), получим к' — 2ду — р' = О. Отсюда Следовательно, оба корня будут чисто мнимыми: хд, 3 =1(7 — 1' уз р ) При достаточно быстром собственном вращении справедливо неравенство )д (7 ° 4 и силы дисснплтивнып, гниоскопичаскне, вынэждяющии 478 Общее решение уравнений первого приближения запишем в комплексной форме г = х, + сх, = (А, + сВ,) ес (ч + ч „— и«) с + (А, + (Вв) ес(ч - сс ч'- и) с .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
