В.В. Петкевич - Теоретическая механика (1119857), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Г. Четаевым в ряде его работ (361. Приведем формулировку основной теоремы Четаева. 442 гл. »чь устоичивость дВижения. ИАлые колеБАния $6. О первом приближении Обратимся к случаям установившегося (автономного) движения, когда правые части уравнений (7.6) не зависят явно ог времени. Разложив функцию Х, (х) по степеням х„запишеьз уравнение в виде »! бх, %ч — »7 Рых, + Х„ (7.13> где все ри — вещественные постоянные, а Х,— не зависящие ог времени голоморфнае функции х, разложения которых начинаются с членов не ниже второго порядкае*). Отбросив в уравнениях все члены, порядок которых выше первого, мы получим систему линейных уравнений с постоянными в) доказательство теорем Ляпунова я Четаеза можно найти з литературе по устойчивости, вв) Функция Х (х) называется вояоморфяой з некоторой облзстя, есля она может быть разложена з втой области з абсолютно сходящийся ряд, расположенный по целым положительным степеням переменных х .
Если ко»ффяцненты рааложеняя функции Хв зависят не только от х, но я от П а рве постоянны, то движение называется Еспюиовививимся в первом приближении. Пусть е положении равновесия д,=О, в)»=0, ..., в)в — — О. Если потенциальная энергия У консервативной система является однородной функцией отклонений д, от положения равновесия и в положении равновесия не имеет мие= 7+у нимума, то гто положение равновесия неустойчиво *). Если мы снова обратимся к гео- метрической иллюстрации н положим Ев (7(0, О, ..., 0)=0, то обнаружим, хв что в окрестности положения равновесия — там, где (7 (О, — будуг «ямы», которые должна обойти изображающая точка.
Следовательно,. мы не сможем назначить сколь угодно малые пределы для последующих отклонений — налицо неустойчивость Рнс. 7.4. положения равновесия. На рис. 7.4 изображен вид такой поверхности. Изображающая точка должна двигаться в «плоскости» (а, в)) так, чтобы «ордината» точки на поверхности была постоянной — это к вынудит изображающую точку пересечь в-границу. Э В.
О ПЕРВОМ ПРИБЛИЖЕНИИ коэффициентами: »1 и«» — ~~ Р,1Х1, 1 (7.14) (7.!6) Тогда систему (7.14) мы сможем записать, применяя сокращенное обозначение, в виде «векторного» уравнения ах —,=Рх. Ф (7.17) Интегральной матриией будем называть матрицу, столбцами которой являются 21 линейно независимых частных решений системы (7.14). Обозначим интегральную матрицу через Х (1). Каждый столбец матрицы удовлетворяет уравнению (7.13), следовательно, матрица Х(1) удовлетворяет уравнению вида — =РХ дХ и ° (7.18) которое называется матричным. Если известна матрица Х(1), то общее решение запишем в виде х=Хх«, где х«(х,«, х,«,..., хм«) — начальный вектор, компоненты которого можно выразить через заданные постоянные.
Следовательно, общее решение системы линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами, записанное выше в матричной форме, представляет собой линейную комбинацию с постоянными коэффициентами частных линейно независимых решений — их «наложение». Обратимся к фактическому нахождению частных решений системы (7.14). Будем искать частные решения в вида функций. подобных своим производным, именно в виде К1 =К1Е"', (7.19) которые Ляпунов называл уравнениями первого приближения.
Системы уравнений вида (7.14) с постоянными либо с переменными коэффициентами удобно для сокрашения записывать в матричной форме. Обозначим через Р матрицу, составленную из коэффициентов системы (7.14): Р=1р 1 (7.15) Очевидно, что это будет квадратная матрица. Через х обозначим матрицу-столбец («вектор»), элементами которой будут хм х„..., х„: 444 ГЛ. УП.
Устончивость ДВИЖенйя. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ где постоянные К, и х могут быть либо вещественными, либэ комплексными. Дифференцируя х, по времени и подставляя хг и хг в уравнения системы (7.14), сокращая затем на общий множитель е"', мы получим систему однородных алгебраических уравнений: гс ~ч~ ~(рм — Ьнх)Кг = О, г 1 (7.20~ где (1, в=1, бм = 4 . (символ Кронекера). (О, в~( Будем в первую очередь рассматривать множители К, в качестве неизвестных. Ненулевое решение мы найдем, если будет разек нулю определитель системы: бе1(рв — б„х)х, 1 О.
(7.21) Л1ы получили уравнение степени 21 относительно х, которое обычно называется,характериспгическим. Ляпунов называл его определяющим- такое название, как мы увидим дальше, связано с тем, что корни этого уравнения определяют характер движения системы. В случаях колебательного движения системы уравнение (7.21) называют частотным †е корнями будут квадраты собственных частот колебаний системы. Характеристическое уравнение (7.21) может иметь кратные корни. Л(ы покажем дальше, что в этом случае будет либо просто совпадение нескольких собственных частот колебаний, либо появятся расходящиеся решения.
Если каким-либо способом мы докажем устойчивость невозмущенного состояния системы, то для приближенного описания возмущенного движения сможем применить уравнения первого приближения. Но при исследовании устойчивости, например, методом Ляпунова нужно строить в явном виде функции Ляпунова, а это очень трудная задача. Поэтому большую ценность имеют приемы, позволяющие судить об устойчивости невозмущенного состояния без построения функции Ляпунова, в частности, по первому приближению.
Приведем без доказательства теоремы Ляпунова об устойчивости установившегося движения. Теорема 1. Если определяющее (характеристическое) уравнекие имеет корни п,олька с отрог(отельными вещественными частями, то невозмущеннов движение асимптотически устойчиво, каковы бы ни были функции Х, в уравнениях возмущенного движения. Теорема 2. Если между корнями характеристического ура» нения находятся такие, вещественные части которых пололси- й а. О пеРВОм пРиБлижении тельны, то невозмущенное движение неустойчиво, каковы бы ни были функции Х, в уравнениях возмущенного движения *) Следовательно, в указанных случаях, пользуясь лишь первым приближением, можно судить о свойствах невозмущенного движения (эти случаи называются обыкновенными).
Особенные случаи характеризуются тем, что характеристическое уравнение не имеет корней с положительными вещественными частями, но среди его корней есть чисто мнимые, вещественные части которых равны нулю. В этих случаях первое приближение недостаточно — требуется принимать во внимание члены высших порядков в разложениях функций Х, (или строить функцию Ляпунова). Приведем еще теорему Ляпунова, относящуюся к особенным случаям. Теорема 3. Если характериспшческое (определяющее) уравнение (7.21), не имея корней с положительными вещественными частями, имеет корни, вещественные части коэпорых равны нулю, пю функции Х„входящие в уравнения (7.13), всегда можно подобрать так, чтобы невозмдщенное движение было устойчивым или неустойчивым, по желанию (111.
Отметим, что для систем с большим числом степеней свободы разыскание корней уравнения (7.21) — весьма трудная задача, их можно вычислить в общем случас лишь приближенно **). Поэтому очень полезны способы, позволяющие установить знаки вещественных частей корней. Необходимые и достаточные условия отрицательности вещественных частей всех корней были найдены Раусом и Гурвицем.
Приведем без вывода условия Гурвица. Пусть дан полипом с вещественными коэффициентами 7(г) =а,г" +а,г"-'+ ... +а„(по)0) Из коэффициентов а; составим матрицу о, оэ О О О О О о, о о о оа аа оэ а, о, оч О от оа пэ о4 оа оэ о~ на главной диагонали которой расположены последовательно коэффициенты а„а„..., а„. Обозначим главные диагональные миноры *) Если в со парни имсшт положительные вещественные часты, то невоз. мущснное движение обсалющпо недспшачпао. ") Трудно найти аналнтичсскоо решенно уравнения (7,21). Числсаноп решение находится просто прн помощи современных вычислительных методов, если авданы числовые значения коэффициентов.
446 гл. чп. Кстоичивооть движения. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ построенной матрицы через 0~.' 1а,, О 0|=ам 0 =~ ~, 0~ — — ~~~ ~~ а ! а1 ао! ~ ач а~~' ав а4 ач а, ач О ... О а а ам, ам ~ ... ал ъ о ... о а, а~ аг ач " О = а„0„,. 0„= а„ а,„ , Элементы аг определителя 0А заменяются нулями, если 1)п. Теорема Гурвиц а. Необходимым и достаточным условием того, чтобы полинам 1(г) имел все корни с отрииательными вещественными частями, являются неравенства О, ) О, О, ) О, ... ..., 0„, ) О, а„) О.
й 6. Уравнения малых колебаний консервативной системы Рассмотрим голономную систему материальных точек н тел, число степеней свободы которой равно 1 и которая движется под действием консервативных сил. Для описания движения такой системы удобно применить уравнения Лагранжа 2-го рода (см. гл.
1Ч) д дЦ дЕ Ыд д -0 (з=1 2,...,1), (4.83) й дд~ дч8 где 1. (д, д) =Т вЂ” У есть классическая функция Лагранжа. Предположим, что, применяя статический принцип виртуальных перемещений (или какой-либо другой способ), мы нашли несколько положений равновесия. Выберем из них то, которое нас интересует, и перенесем в него начало координат, т. е. положим, что в положении равновесия все обобщенные координаты равны нулю. Предположим, кроме того, что потенциальная энергия системы в положении равновесия имеет изолированный минимум, т. е. что избранное положение равновесия устойчиво.
Это дает нам право на приближенное описание возмущенного движения, если, разумеется, начальные возмущения численно малы. Если на точки и тела, образующие систему, наложены связи, то они должны быть идеальными и стационарными (система консервативна). Поэтому обобщенные координаты могут быть выбраны так, что в формулы преобразования координат не войдет время ба, хилвнеиия ИАлых колеБАний и, следовательно, кинетическая энергия будет однородной квадра- тичной функцией обобщенных скоростей: с с 1 Кт Т = Т, = -а- ~~ 1) АссЩ, с сс с где Асс (д) = Асс (д) — непрерывные функции обобс)сенных коорди- нат. В главе 1'ьс было показано, что А„>О, /д" д"!>а,..., ! ..
° »!>О с! (Т, есть определенно положительная функция с)). Потенциальная энергия системы представляет собой однознач- ную непрерывную функцию координат с), имеющую непрерывные частные производные по всем координатам по меньшей мере до второго порядка включительно*). Определяется потенциальная энергия с точностью до постоянного слагаемого, которое можно выб- рать так, чтобы в положении равновесия было У(0, О, ..., О) =О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
