В.В. Петкевич - Теоретическая механика (1119857), страница 75
Текст из файла (страница 75)
При Л-и.+со все функции Л(Л), Лс(Л), ..., Лс с(Л) положительны и возрастают. Доказательство теоремы Сильвестра основывается на равенстве (7.48) и на свойствах функций сЛ(Л), Ьс(Л), ..., Лс с(Л). Заключается оно в подсчете числа перемен знаков этих функций при изменении Л от нуля до некоторого большого положительного значения М, при котором А(си'))О. Из того, что Ас=! и Ас с(ЛП-'>)=О, где ЛР-н ' — сс ~0, сссс следует Ас и(Лсс-сс) <О.
А из неравенств С1с-и (О) ) 0 Ас-и (сУ] ) 0 заключаем, что корень ЛН-'с расположен между корнями уравнения бс-и (Л) =О. Обозначим эти вещественные положительные корни через Л1 и ~4 ". Если О <Л1'-" < Л"- о <Л,"-', то Ас-з(Лс ) ) О, сЛс з(ЛРй ~) < О. Кроме того, бс з(0)<0, Ьс з(У))0. Значит, уравнение бс-з(Л) =0 имеет три вещественных положительных корня, между которыми лежат корни уравнения Ас и(Л) =0: 0<Л!' "<Л1' "<М "<Л," "<Лзк " н т. д. 454 гл. тп, устойчивость движения, малые колваАния Мы имеем последовательность уравнений Лг-т()) =О.
" М-ьч(Л) =О. Льч(А) =О Лю-сы(Л) =О, ... Корни уравнения Л~ ~(А) =О, разделенные корнями предшествующего уравнения, лежат между корнями последующего. Графики всех функций Л,(Х) пересекают ось абсцисс при 0<1< Л7, следовательно, все корни вещественные и положительные. Таким образом, отправляясь от единственного положительного корня уравнения Л~,(Л)=0, мы найдем, что уравнение Л(Х)=0 имеет 1 вещественных и, что очень важно, положительных корней. ,Й) ,(д) Ряс. 7.5.
Рассмотрим иллюстрацию доказательства, положив 1= 3. Запи4пем Л(Л): ~ амХ вЂ” см имд — см амХ вЂ” гм ~ Л (Х) = 02~3.— ем Омх — см Ом3.— ем ° пд,Х вЂ” см амх — см амх — ам Составим определители Л,()): ! ямх — ~ арды — ~м! Л| (й) = аэ~ь — см имх — с Л,(Х) =ам) — с„, Л,=1. Здесь Л(0)<0, Л,(0))0, Л.(0)<0. На рис. 7.5 изображены графики функций Л (Х), Л, (Х), Л, (Х) и указаны корни соответствующих уравнений.
Если уравнение Л(Х) имеет два равных корня, то совпадут точки Л„Х„Л!", Х2" и Л"'. Если кратность корней равна трем, то с перечисленными точками совпадет и точка Х,. Как мы видим, все корни уравнения Л(Х) =0 положительны потому, что Л(0)=( —.1)'бе1(сн), где бе1(сн)>0. Необходимым $ Т, ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИИ МАЛЫХ КОЛЕБАНИИ 455 условием положительности корней является совпадение знаков Ь(0) и Ь( — М), где М есть достаточно большое положительное число. В рассматриваемом случае так и будет: старший член ПОЛИНОМа ЕСТЬ )~гдЕ1(ау), КОтОрЫй Прн А= — М 0 будЕт раВЕН ( — 1)'М'бе((ау), где де( (ау)) О. Если функция — т Р судп1~ не является определенно поло- 1 %1%1 2 .7 .2, Е жительной, то корни уравнения Ь(г1) =0 могут расположиться в промежутке — М ~Л ( Ф (доказательство вещественности оста- ется прежним).
Среди корней могут быть отрицательные и нуле- вые. В этом случае частное решение нельзя искать в виде (7.40). Частными решениями будут функции вида в, = с,еА', а нулевым корням будут отвечать частные решения уг=Аг1+Вг. Очевидно, что в этом случае нельзя пользоваться уравнениями первого приближения — мепюд малых линейных колебаний теряет силу. Обратимся к выражению потенциальной энергии.
Точное выражение потенциальной энергии в некоторой окрестности положения равновесия имеет вид (7(д)= 2 ~ ~~~~~суул,+р(д„..., в,), (7,49) 1 г где бесконечный рядР(д) содержит члены не нижетретьего порядка относительно координат д. Приведем квадратичную функцию —,,~,~; у;д 1 к виду суммы квадратов. 1(ля этого представим себе в 1-мерном евклидовом пространстве центральную поверхность второго порядка («квадрикуь), уравнение которой имеет вид 2~ (д) — ~ Я судн)1 = й'.
(7.50) / Перейдем к новым координатным осям, совпадающим с главными направлениями, — главным осям. Главные оси проходят через центр поверхности и ее вершины, их направления коллинеарны с направлениями нормалей к поверхности. Условие коллинеарности имеет вид в) — =уу (1=1, 2, ..., 1), дв; 456 гл. оп. тстоичивость движения. малыв колевания или ~ч ', сийу = щ. ! Отличное от нуля решение найдем, если (7.51) (т — см) — сеа " -см — с„, (т — сы) ... — се~ ь(у) —= (7.52) — со — с~е ... (т — сп) Очевидно, что Л(у) =у'+...+( — 1)'бе((си), и если положительны йе1(си) и все его главные миноры, то на основании теоремы Сильвестра можно утверждать, что все корни характеристического уравнения (7.52) вещественны н положительны. Выясним их геометрический смысл.
Обе части каждого уравнения (7.51) умножим на дь а затем сложим их почленно: или 2( (д) = у ~ , 'д). (7.53) Если все у) О, то ~~~ (ри))2 с=1 (7.54) (7.55) Обозначая длины полуосей через а„найдем а == (й)0). е е к~в Корни 7, Пуанкаре назвал коэфсрициентами устойчивости, а число отрицательных корней — степенью неустойчивости. Если все у, положительны, то )(д), а значит, и (у(д) опрелеленно положительны в некоторой конечной окрестности начала координат, ') Формулы преобразование ае выписываем, есть квадрат главной полуоси (при у( 0 полуось будет мнимой). С помощью линейного преобразгвання *) переходим к новым переменным, обозначив их через $ь выбрав в качестве осей координат главные оси.
Уравнение поверхности примет вид Х 7Л) =й ° е ! $ т, интегРиРОВАние уРАВнении мАлых кОлеБАнии 457 а в положении равновесия имеют изолированный минимум — поло. жение равновесия устойчиво. Если среди корней у, найдется хотя бы один отрицательный, то положение равновесия неустойчиво [361. Обратимся к уравнениям возмущенного движения (7.29). Как мы видели, характеристическое уравнение (7.42) имеет ( веще. ственных положительных корней, среди которых могут быть и равные.
Следовательно, это уравнение может быть записано в виде (Л- Л,) (Л вЂ” Л,)... (Л вЂ” Л,) = О. Очевидно, что соответствующая Л-матрица имеет диагональную форму (л л! о ... о о (л-л,) ..'. о (7.56) о о ...( — л) Такая форма Л-матрицы получится, если система уравнений Возмущенного движения распадется на ! дифференциальных уравнений вида Я,+ 'Р' Л,х,=О (Л,) О), (7.57» где переменные х„хз,, х, связаны с переменными и„..., !г! формулами линейного преобразования с постоянными коэффициентами. Нетрудно проверить, что уравнения (7.57) мы получим, если функция Лагранжа дается следующей формулой: Ь = -"- ~~ (х,' — Л!х!), (7. 58) ! ! где р) 0 есть некоторый размерный множитель. Заменим временно в выражении кинетической энергии !) через д (для алгебраических операций это несущественно). Тогда мы получим две определенно положительные квадратичные функции переменных д: Т(ч) н (г(!7). На основании сказанного выше можно утверждать, что существует такое линейное неособое преобразование координат д! = д!(х), которое одновременно приводит две квадратичные формы Т (!7» и (7(!7) к каноническому виду *) ! Т = е ~~~ хг, (г = е ~~~~ ~Л;х!.
1 ! *) Мы сохраняем обозначения Т и У. Обычно полагают П= Ц Заметим, что Л! не всегда совпадают с козффиниентами устойчивости у, по величине, так как здесь преобразование включает еще изменение масштаба. 4ЗВ гл. чп. гстоичивость движвния, мллыв колввлиия ! ! ~ч~ т,(а!,!1!+с!,д!) =О. «-! ! Теперь положим (7.59) ,у,д! ~ч', т,аэ=х, ! ! 5 ! ! .!, д! ~ч', т,с!,=Ах. (7.60) (7.61) Формулы (7.60) являются формулами линейного преобразования координат, где у новых переменных х пока не указаны индексы (их будет столько же, сколько различных систем множителей и«,). Сравнивая (7.60) и (7.61), найдем ! ! ) 'Я о! 'Я «п,а!, — — 'У', !7! ')"„т,с!,. != ! «=! Коэффициенты прн одинаковых !7! должны быть равны, поэтому '5; т,()!а„-с!,) =О.
(7.63) Система уравнений (7.63) совпадает с системой (7.41). В силу однородности уравнений множители т, пропорциональны компонентам амплитудного вектора К,. Отличное от нуля решение получим, если бе1 Ра„— с„)'... О. (7.42) Корни характеристического уравнения вещественны и положн- Действительно, в теории квадратичных форм есть замечательная теорема, в которой доказывается, что если имеются две вещественные квадратичные формы от одних и тех же переменных, из которых одна знака-определенная, то существует линейное неособое преобразование, которое приводит одновременно обе формы к каноническому виду [61. Координаты х! называются нормальными, или главными. Рассмотрим переход от некоторых обобщенных координат !7! к нормальным координатам х, с иной точки зрения.
Идея такого подхода указана Лагранжем в «Аналитической механике» и заключается в преобразовании системы уравнений возмущенного движения к виду системы отдельных уравнений гармонических колебаний (7.57). Умножим обе части каждого уравнения системы (7.29) на неопределенный постоянный множитель т, и сложим их почленно. Получим $ Т, ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИИ МАЛЫХ КОЛЕБАНИИ 459 тельны, если возмущенное движение происходит в окрестности устойчивого положения равновесия. Полагая Л=Лт, где Лт есть корень характеристического уравнения, мы найдем из (7.63) величины т<с> (с точностью до произвольных постоянных множителей ст, число которых равно () и, следовательно, из формул (7.60) нормальные координаты хг.
Уравнения возмущенного движения будут иметь вид У~+Лгхг=*О (/=1, 2, ..., 1). (7.64) Если Лу) О, то, положив Лт = ы), запишем общее решение каждого уравнения (7.64) в виде хс = А~ Б!и (в~(+ ав). Если Л~(0, то, положив Лà — — =У), получим х~ = А~е'~+ В~е 'Г". При ЛГ=О будет ,=А,(+В,. (7.45) и к такой же системе для миомсителей т;. (АЛ вЂ” С) и =О, .-Г1 (7.65) где Эти системы линейных однородных уравнений имеют ненулевые решения, если йе1(АЛ вЂ” С) =О, (7.46) Очевидно, что в двух последних случаях, как зто уже было отмечено выше, метод малых линейных колебаний применять нельзя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
