В.В. Петкевич - Теоретическая механика (1119857), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Следовательно, в некоторой конечной Л-окрестности положения равновесия потенциальная энергия будет положительной функцией координат д, возрастающей при удалении от положения равно- весия (см. доказательство теоремы Лагранжа об устойчивости положения равновесия). Важно, чтобы среди обобщенных координат не было цикли- ческих. Возмущенное движение системы мы будем описывать в пер- вом приближении, для чего систему дифференциальных уравнений возмущенного движения запишем в виде системы линейных урав- нений с постоянными коэффициентами.
Для построения теории малых колебаний удобно заменить функцию Лагранжа ее приближенным выражением. Разложим коэффициенты АО(д) в выражении кинетической энергии по сте- пеням д и удержим первые члены разложения. В разложении. функции У(О) сохраним члены второго порядка. Обратимся к функции Т(д, с)). Функция Т обращается в нуль. тогда и только тогда, когда все с) равны нулю, в частности, когда система покоится.
Если же система проходит положение равновесия, то кинетическая энергия не равна нулю **). Заменим *) Это следует хотя бы иа того, что го1 Г,„ О, где г'„, есть активная сила, приложенная к точке М„. *') Если хоть одна иа обобнсенных скоростей отлична ог нуля, например с)с, л 1 а Чт Сдг та то Т Т,= — Андс>О, где Асс= у~ а!о!1 — и) >О (в положеннк равной! дге весна — чь О). дас 448 гл. тп. ястоичивость движвния.
малые колввлния функцию Т приближенным выражением, положив ! ! 1 Т""" —,~, ~ АМ ! !! ! (7.22) где а!~=Ад(0). Запишем разложение потенциальной энергии по степеням д: и(4„..., 4,)-и(0, О, ..., О)+ ~~Р ~~ ~ ®+ ! ! ! + з,,~~~ ~~~ д д ~ осд!+ ... (7.23) ! 1=! Постоянная в выражении потенциальной энергии выбрана так, что и(0)=0. Кроме того, в положении равновесия Положим юи ~ — — — сц = с!!. дд! дд! !о Тогда 1 %! и(!!!...., д,) - — ~~ ~~ с!!с!!!7!. (7.24) ! !! 1 с= ! 1=! Приближенное выражение кинетической энергии (7.22) в области )!))(Л есть знакоопределенная положительная функция обоб- щенных скоростей.
Следовательно, „ ) О, " " ) О, ..., ( ! ~ О. (7.сс! а!, Квадратичная функция (7.24) есть также знакоопределенная поло- жительная функция координат (в области (д((Л). Поэтому см>0, ~с" с )>О, ..., ° ° ° ° ° (>О. (726) с!, ... са( Условимся в дальнейшем не пользоваться символом приближен- ного равенства, так как вся теория малых колебаний использует приближенные уравнения. Приближенное выражение функции Лагранжа будет иметь вид ! ! Ь= —,— "~ ~ ( п4,4,— ~цд,д,). 1 (7.27) Ф 6. УРАВНЕНИЯ МАЛЫХ КОЛЕБАНИИ Из (7.27) находим ! д/. ч~т дб ддв лм с ' дс! — гт а!,!)з, — —,~~ с!,!)!.
з=! ! ! (7.28) Запишем теперь систему уравнений возмущенного движения: 1 Я (а„!7!+сз,д!)=О (з=1, 2, ..., 1), (7.29) Система (7.29) есть система линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Если от системы (7.29) перейти к системе 21 уравнений первого порядка, где неизвестными функциями будуте и !), затем привести ее к нормальному виду, то мы придем к уравнениям типа (7.14). Систему уравнений (7.29) удобно записать в сокращенном виде. С этой целью введем две симметричные определенно положительные матрицы ") ам ... аы с,! ...
см А= ° °, С= ас! ". ал сс! „. сп (7.30) и матрицу-столбец (евектор») (7.31) Тогда систему (7.29) мы сможем записать в сокращенной векторно. матричной форме А!7+ С!7 = О. (7.32) Система материальных точек и тел консервативна, следовательно, Н=,, ) ~ан=О~. Отметим, что здесь дЕ ст Рс = д— = ~, П!с!)!. = 4,= л.'з ! ! (7.34) ') симметричная матрица А=1 ам 1 называется определенно лоложиимльлол, «слн квадратичная форма ~~ ацл;л! определенна положительная. ! ! Кроме уравнений Лагранжа 2-го рода применяются уравнения Гамильтона (см. гл.
Ч) с!! = др ' л! д (а=1, 2, ..., с). (7.33) 450 ГЛ ЧП. УСТОИЧИВОСТЬ Движения. МдлЫЕ КОЛЕБАНия Очевидно, что если все )с)с( будут численно малы, то и )р,( будут малыми. Поэтому мы можем перейти к приближенной записи канонических уравнений, разложив правые части их по степеням с) и р и удерживая главные линейные части этих разложений в). Канонические уравнения будут иметь вид с (7.35) Система (7.35) есть система уравнений в вариациях Пуанкаре (вариациями переменных с) и р Пуанкаре называл то, что мы называем возмущениями). Отметим, что из (7.27) следует с с Н = — ~~ ~~ (а!!Ос!Ос+ сссрсрс) = — ~, д~р + — ~~~, ~, спс)сс)с, (7.36) С 1! ! с=! с=! с=! где дс есть с)с, выраженная через канонические переменные.
Поэтому где А =де((ац)ь ! с, с!с! — алгебраическое дополнение элемента ау. с Система уравнений (7.35) будет иметь вид с Или, если ввести две квадратные матрицы (7.37) ~ ссс! " Лп сс, ... сл и матрицы-столбцы («векторы») (7.38) то систему (7.35) можно записать в сокращенной форме $=ЮР, "„Р= С,7, (7.39) в) В состоянии покоя все ос=О и все рс 0 (последнее видно ив (7,34)), % т. интвггивовлнив гглвнении малых колввхиии 451 й 7.
Интегрирование уравнении малых колебаний Обратимся к системе дифференциальных уравнений (7.29): Я (под~+сод~)=0 (з=1, 2, ..., 1). Частное решение этой-системы ищем в виде функций, подобных своим вторым производным по времени. Например, в виде д,=К,з)п(в1+а) (з=1, 2, ..., 1)„(7.40) где в есть неизвестная, одинаковая для всех координат частота гармонических колебаний, а — одинаковая для всех координат постоянная, ~ К„' — амплитуда колебаний. Постоянные а и К, зависят от начальных условий, постоянная «э — от свойств самой системы. Частное решение мы ищем в указанном виде потому, что, во-первых, положение равновесия по условию устойчиво, а во-вторых, система уравнений первого приближения записана в виде системы уравнений второго порядка.
Схема интегрирования системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами была изложена в начале 9 5: дифференцируя частное решение по времени (здесь дважды), подставляя в уравнения и сокращая на общий множитель з1п(««1+а), мы получим систему уравнений для амплитуд: 'Я (Ха;,— с;,) К«=0 (э=1, 2, ..., 1), (7.41) где л = а». Затем, потребовав, чтобы существовало ненулевое решение, мы придем к характеристическому (определяющему) уравнению с1е1(дад — сц)~ь; ~ = О. (7.42) Характеристическое уравнение, представляющее собой алгебраическое уравнение степени 1 относительно Х, здесь будет уравнением частот.
Если мы введем матрицу-столбец («амплитудный вектор») (7.43) то частное решение системы дифференциальных уравнений возму- щенного движения можно будет представить в виде (7.44) д = К з)п («э(+ а), 4М гл. вгг. истоичивость движвния. мллыв колевлния Тогда систему алгебраических уравнений для амплитуд и уран» некие частот запишем следующим образом: (ЛА — С) К= О, (7.46) бе1 (ЛА — С) = О (Л = шз). (7.46) Пусть Л„Лз, ..., Л,— корни уравнения частот (среди них могут быть кратные — это не изменит вида частного решения)*). Каждому корню Лз соответствует амплитудный вектор с компонентами К)гз, определяемый из системы (7.41) с точностью до постоянного множителя. В силу линейности системы дифференциальных уравнений общее решение будет линейной комбинацией с постоянными коэффициентами частных линейно независимых решений: ! д= У~ сгКггзв!п(шг(+сгг) (шг=)ггЛг).
(7.47) Число произвольных постоянных равно 21, т. е. порядку системы— это постоянные су и ау. Мы видим, что решение будет вещественным, если вещественными будут частоты шу, т. е. если Лг) О. Приведем доказательство теоремы Сильвестра о вещественности корней характеристического уравнения (о положительности Лг), данное Нансоном, несколько видоизменив изложение 1331. Обозначим врелгенно (аггЛ вЂ” сц) через агу. Рассмотрим симметричный определитель цгг г'ы - с'ц азг азз ... азг б(а)= гзгг сггз ... агг Обозначим через Ьз определитель, полученный из гЛ(а) вычерки- ванием первых й строк и первых й столбцов: азз ам ...
ам с'зз г'зз " гззз цза " цзг Л = ° ° ° ° ° , ..., Ь , = „, Лг = 1. ам .. ссц агз агз .. агз Легко проверить, что (7Л8) ') Дальше мы рассмотрим зависимость вида частного решение ог харак. тере кратных корней характеристического уравиенни. ~о равенство применимо к любому из определителей бз. Оче- видно, что да два дмп г' дагз дазз 3 Ти ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИИ МАЛЫХ КОЛЕБАНИИ 463 Поэтому, если Ьи(Л) =О, то прн том же значении Л знаки определителей сЛ и Ьи будут различны.
Определитель А(Л) есть полипом от Л степени 1. Определитель Ьз — полипом степени (1 — й). Коэффициент при старшем члене в полиноме Ь(Л) равен дискриминанту функции Т. Коэффициенты при старших членах во всех определителях Аз(Л) равны главным минорам определителя с(е1(дс ). Следовательно, все коэффициенты при старших членах полиномов Ьз(Л) положительны. Далее, при Л=О мы получим Ь (0) ( — 1)' с(е( (ссс), где де1(сс~) есть дискриминант определенно положительной квадратичной функции У(с1). Величины сЛА(0) равны соответствующим главным минорам этого определителя, умноженным на ( — 1)'-".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
