В.В. Петкевич - Теоретическая механика (1119857), страница 71
Текст из файла (страница 71)
З г. основы втового мвтода ляпгновл Сформулируем определение условной устойчивости. Невозмущенное движение называется условно устойчивым, если всякому положительному г соопметствует пиков б (0(6(в], что при всех х,а, удовлетворяющих условиям ~хю~~б, б(х,а)~0, где ~~ есть функция начальных возмущений, обращающаяся в нуль, когда все х„равны нулю, неровенспма ~х,(г) ) (г будут выполняться для всякого г ) (а.
Если начальные значения не удовлетворяют условиям 1~(х„) )О, то налицо будет неустойчивость. Значит, условная устойчивость представляет собой неустойчивость (но не абсолютную). Рассмотрим простой пример. Пусть материальная точка дви- жется в однородном поле тяжести по абсолютно гладкой поверх- ности, имеющей вид седла. Уравнение поверхности запишем в декартовых координатах, направив ось г вертикально вверх: г = Ах' — Вуа, где А ) О, В ) О. В качестве невозмущенного состояния рас- смотрим состояние покоя (положение равновесия в начале коор- динат).
Очевидно, что малые колебания около положения равно- весия возможны, если начальные возмущения подчинены следующим условиям: ~ха~-=б, ~ха)(р, ив=О, уа=О, где 6 и р — численно малые положительные величины. Приведем еще один пример. Рассмотрим систему с двумя степенями свободы (см. гл.
!7, рис. 4.8). Положение системы определяется двумя координатами: углом отклонения маятника тр и координатой центра масс бруска х, (х, — циклическая координата), Пусть иевозмущенное состояние опять будет состоянием покоя (тр=О, ф=О, х,=сонэ(). Очевидно, что это состояние будет устойчивым, если ! чта ~ ~ 6, )фа ~ < р, х, = О. Следовательно, при наличии циклической координаты возможна условная устойчивость состояния равновесия. Отметим, что в суждениях относительно устойчивости невозмущенного состояния мы пока опираемся, во-первых, на определение устойчивости, а во-вторых, на интуитивное представление о том действительном (возмущенном) движении, которое возникает в результате малых начальных возмущений.
В своей диссертации «Общая задача об устойчивости движения» А. М. Ляпунов указывает на то, что невозмущенное движение может быть устойчиво по отношению к одним функциям переменных, определяющих состояние движения, и неустойчиво по 16 а. В. петкевич — маз 434 гл, чп, устОИЧИВОСТЬ Движения, мАлыЕ КОЯЕБАния отношению к другим. Он приводит следующий пример. Движение материальной точки, притягиваемой неподвижным центром по закону тяготения, в случае круговой орбиты устойчиво по отношению к ее радиусу-вектору и по отношению к ее скорости, но неустойчиво по отношению к прямоугольным координатам. Эллиптическое движение неустойчиво и по отношению к радиусу- вектору, но устойчиво по отношению к величине Р 1+есоьф' где г есть радиус-вектор точки в возмущенном движении, а все остальные величины — параметр р, эксцентриситет е и полярный угол ф — относятся к невозмущенному движению.
Эллиптическое движение точки устойчиво по отношению к ее прямоугольным координатам или каким-либо другим координатам, если начальные возмущения не изменяют полной энергии (условная устойчивость при консервативных возмущениях). Часто поэтому вместо самих переменных, определяющих состояние движения системы, вводят некоторые функции от о, а' и ! и рассматривают разности значений этих функций в возмущенном и невозмущенном движениях. Выбор функций связан с возможностью опытного измерения их величин.
Число таких функций может быть любым. Отметим еще, что во многих случаях рассматриваемая задача, а следовательно, и уравнения (7.6) имеют смысл в течение ограниченного времени. Функции Х,(х, 1) будут определены лишь при 1,~1(Г. Поэтому в подобных случаях определение устойчивости следует формулировать так: невозмущенное движение называется устойчивым, если всякому положип1ельному числу з соответствует такое положительное число б(е, что при начальных возмущениях, удовлетворяющих условиям 1х,ь! ~б, будут справедливы неравенства !х,(1) ((з для всех значений 1 в промежутке (1„!). Аналогичное изменение нужно внести и в определение неустойчивости [!Ц. Рассмотрим функцию Ляпунова и введем некоторые определения.
Функция Ляпунова 1г (х, 1), определенная при 1) 1ь, ) х, (1) ) (Ь (Ь)0), представляет собой вещественную, непрерывную и однозначную функцию всех переменных, имеющую непрерывные частные производные первого порядка по всем переменным. 435 4 2. ОСНОВЫ ВТОРОГО МЕТОДА ЛЯПУНОВА Функцию )г (х, 1) будем называть знакопоетоянной, если прн любых значениях переменных в указанной области она сохраняет знак, принимая, в частности, и нулевое значение.
Функцию )г (х), не зависящую от г, будем называть знакоопределенной, если она при любых допустимых значениях переменных принимает значения одного знака и обращается в нуль тогда и только тогда, когда все х,=О. Если функция у'(х) принимает только положительные значения, то будем говорить, что она знакоопределенная положительная; если только отрицательные, то знакоолределенная оп2рииательная ").
Если функция )г зависит от х и 1, то знакоопределенной будем называть ее при условии, что можно найти такую определенно положительную функцию 15'(х), не зависящую от времени, чтобы выполнялось одно из двух неравенств: )г ) йу или — )г ) К. Далее, если функция Ляпунова у' не зависит от времени, то в силу ее непрерывности мы всегда сможем, задавая сколь угодно малое положительное число )с, поставить ему в соответствие такое малое положителыюе число й, что при ~х,)(й будет ()г ) =-)с.
Функции Ляпунова 1'(х, 1), зависящие от времени, подчиним такому же требованию; функция )г(х, 1) должна быть такой, чтобы прн любом 1)12 мы могли, задавая сколь угодно малое положительное число А, поставить ему в соответствие такое число й, что при ( х, ~ ~ й будет ~ )г (х. 1) ~ =: Х. Приведем пример. Функцию 1'(х, 1) положим равной 2! )г=(1+21П21) ~ х,' (2! — число переменных х,). (7.8) 2! Функцию )у'(х) выберем в виде 5, 'х,'. Тогда )г=»йг, 9=1 ГА Если, задавая число А, мы положим й= ~Г 4— , то нетрудно проверить, что и (1+з!и'1) )~~ х,'(Х.
5 ! 3 "" "'"Р"" Р. фУ й ~ 2' и], буду, „р„„„: ! ной, последнему требованию не удовлетворяет. ") Часто говорят короче: либо копределенно положительиаяа, либо копре деленно отрицательнаяа. 15* 436 Гл, ч!1, устоичивОсть дВижения. мАлые кОлеБАния Потребуем, кроме того, чтобы функция У (х, Г) удовлетворяла при любом 1 следующему требованию: всякому положительному числу Л можно поставить в соответствие такое число Н, что при ! У !)Л будет гпах !х,!)Н '). Если снова обратиться к примеру (7.8), го, задавая Л, найдем "л Прибегнем к иллюстрации. На рис.
7.! условно изображены две поверхности, уравнения которых имеют вид У = У (х, 1,) и ЧУ = ((7 (х). Время рассматривается как параметр. Ординаты поверхности У (х, 1) в любой момент времени не ниже, чем ординаты поверхности В' (х) (на рис. 7.! изображен вид поверхности У (х, 1) в момент времени ! 1 = 1, **). Поверхности могут быть несимметричными Относительно оси ! ! Р ординат. ! 1У 1(,<ьу" Обратимся к теореме Ляпуно- ва, которая дает достаточное 1 ! условие устойчивости невозмущен- ного движения. Р Теорема Л я ну нова. Если Рис. 7.1.
дифференциальные уравнения воз- мущенного движения таковы, что можно найти знакоопределенную функцию У (х, 1), производная которой по времени в силу этих уравнений была бы или знало- постоянной функцией противоположного знака с У, или тождественно равной нулю *«*), то невозмущенное движение устойчиво.
ву Пусть У (х, 1) есть знакоопределенная функция, а — — отрицательная или тождественно равная нулю; согда найдется такая, не зависящая от 1 определенно положительная функция ((у(х), что при 1~1„!х,((Л будет У(х, !)~((У(х), — «О. Покажем, что для всякого положительного в(Л можно найти такое б(в))0, что при !х„!мс.:б будет !Х«(1) !(В (!) Уе). ) Эго означает, что в области /л !(А функция У(л, 1) при любом Г возрастает прв удалевив ст качала коордииат. ««) Буквальио подобную иллюстрацию можно понимать, т о л ь к о если число степеней свободы системы равно единице. «««) В этом случае функция У (л, 1) есть ивтеграл системы диффереициаль ных уравнеиий возмущенного движения. 437 Ф 3. ТеоРемА ЛАГРАнжА Точки, координаты которых удовлетворяют условию ~х~ е, образуют заминутое множество.
Непрерывная функция (сс на этом замкнутом множестве достигаег минимума с)7* (наименьшее из наибольших значений функции Я7 в области О~~х,!(е). Начальные возмущения подчинены условию )7 =)7 (х«, (~)())7*. По свойству функции )с найдется такое б)0, что при ~хс« ~(б будет |)с,~~ Я7«. Запишем равенство С СО=) г вр о=) ш Так как Значит, ! х,(() (( е — изображающая точка на «плоскости» (х,, х,)— ие выйдет за пределы е-границы. Теорема доказана. $3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
