В.В. Петкевич - Теоретическая механика (1119857), страница 66
Текст из файла (страница 66)
П, ~ 3) Построим график функции Р(в) — кубическую параболу, забыв на время, что в=сов 8 и, следовательно, ~ в ~(1. Старший член полинома равен ии' (п)0). Поэтому при и-~-оо ординаты будут отрицательны. Далее, Р( — 1) = — 0А+т)А(0, Р(ис) )О, Р(+1) = — ()А — т)А(0 и, наконец, при в — ~+Со Р(в)- +Со. Следовательно, график функции Р(и) будет иметь вид, показанный на рис.
6.12. Рис. 6.!2. Три точки пересечения кривой с осью абсцисс отвечают трем корням кубического уравнения Р(и) =О. Очевидно, что из) 1 есть вещественный корень, который имеет всякое кубическое уравнение, коэффициенты которого вещественны. Корни и, и из по абсолютной величине меньше единицы — они определяют область действительного движения, так как при и, =.в и, Р(и)~0. 408 Гл. Ть мехАникА АБсОлютнО тВВРдОГО телА Если точки твт и тле сливаются (уравнение Р(ти)=0 имеет кратный корень), то мы будем иметь регулярную прецессию в случае Лагранжа.
Дальше мы покажем, что регулярная прецессия в случае Лагранжа представляет собой частное решение уравнений движениЯ, В этом слУчае, очевидно, сит =1ия=тие. Аналогичный график был построен для сферического маятника (см. рис. 2.6 гл. П, 0 6). Отличия заключаются в обозначении и отсчете углов и, кроме того, в том, что уравнение (6.115) несколько сложнее по сравнению с аналогичным уравнением для сферического маятника (2.68). На основании общей теории можно утверждать, что, так как тит и тия — пРостые коРни УРавнениЯ Р(ти) =О и в,(1ие(1ия е), то ти(!) изменяется периодически в пределах от и, до птя, Как было показано, период колебаний функции в(!) равен интегралу УГ Р(ий (6.1 17) Следовательно, и угол нутации изменяется периодичеаки в пре.
делах 0,~0(У) =цо„ причем 0 (! + т ) = 0 (!). Для более детального выяснения характера движения тела в случае Лагранжа рассмотрим траекторию точки пересечения оси собственного вращения г с поверхностью сферы единичного радиуса, центр которой в неподвижной точке, Обозначим точку пересечения оси г с поверхностью сферы через Р, ее сферические координаты будут углы 0 и ф (напомним, что угол 0 мы здесь отсчитываем от положительного направления оси ра). Запишем уравнение (6.116) в виде — = р'Р(1и), о) а уравнение (6.113) в виде Ф~ Р— чтя о) 1 — ве' (6.118) (6.1 19) *) Может оказаться, что один иа корнея вт или еа ранен начальному аначентно сее Исключая с(1, мы придем к дифференциальному уравнению сферической траектории точки Р: )с — ма Лв (1 — ве) УЛ ~(и) ' З В.
СЛУЧАИ ЛАГРАНЖА 11ри в=в, и в=пЪ обращается в нуль дифференциал йа. Область, в которой движется точка Р, есть шаровой пояс, вырезанный из сферы двумя конусами, у которых углы при вершине равны 28, и 28м а общая вершина совпадает с неподвижной точкой тела.
Если при ш,(в(1)~ш, й~ФО, то траектория точки Р касается по очереди верхней и нижней параллелей, а сама точка движется все время в одну сторону. Траектория точки Р может коснуться меридиана„если уф=0 (если 1А — Ув=0). Обозначим соответствующее значение и через в' (в' = (А1у). Нетрудно показать, что скорость прецессии не может обратиться в нуль на нижней параллели, т.
е. что ш,(ш'(~о,. Для етого удобно несколько иначе построить график функции Р (ш). Обозначим — ~/у /) Рис. 6.13. (гл — пв) (1 — ва) через Р, (ш) и — (р — Уш)" через Р, (в). Таким образом, Р(ш) Р,(ш)+Р,(ш). Построим график функций Р, (ш) и Р, (и) на одном чер|еже (рис. 6.13). Выразив Е, через начальные значения проекций угловой скорости и через ш„ найдем 2Ео — Сг) л = Ро+8о+ пша. Предположим, что в начальный момен1 времени угол нутации был острым. Тогда, так как п)0, найдем, что т)0.
Выше мы предположили, что г, О, следовательно, У)0. Если с,)0, то и р)0. График функции Р,(ш) есть кубическая парабола, проходящая через точки ш= — 1, в=+1 и через точку ш,=т/п. Очевидно, что ж Р1+П ША = — + ШО~ ШО. и л График функции Р, (в) — квадратичная парабола, касающаяся оаи абсцисс в точке ш= цР р(т. При вделанных выше предпо. 410 ГЛ. Ч1. МЕХАНИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА ложениях шс)0. Точка ш, всегда располагается левее точки ш' (при любом знаке (А) — она лежит там, где ординаты графиков функций Р, и Р, равны по величине.
Что касается точки ш,— второго корня уравнения Р(сэ) =О, то она может оказаться правее точки в' и тогда скорость прецессии обращается Б нуль внутри шарового пояса. Если точка ш, окажется левее точки ш', то в этом случае скорость прецессии в нуль не обращается. Если же второй корень совпадает с величиной ш', что возможно лишь при совпадении трех точек в', ш, и в„то скорость прецессии будет обращаться в нуль на верхней параллели. Одновременно со скоростью прецессии на верхней параллели будет обращаться в нуль и скорость нутации (с(ш~,=О). Поэтому траектория точки Р будет иметь точки возврата. В этом случае 1А и1 и ' что, впрочем, нетрудно усмотреть непосредственно иэ уравнения Р(в)=0. Для того чтобы представление о характере траектории точки Р было полным, нам остается выяснить, как меняется угол прецессии.
Очевидно, что если скорость 'СА прецессии нигде не обращается в нуль или обращается в нуль лишь на верха С' ли С. ней параллели, то угол прецессии все время возрастает. и С Можно показать, что и в том слули С чае, когда скорость прецессии меняет Ф знак, обращаясь в нуль на некоторой СРЕДНЕЙ ПаРаЛЛЕЛИ, ПРИ Ш = Сис = (А~и, приращение угла прецессии за полный период изменения угла нутации будет ,МА положительным. М С этой целью проследим за поведе- нием вектора нииетического момента 0 Рис. 6.14.
(рис. 6.!4). Прежде всего заметим, что на основании теоремы об изменении кинетического момента скорость конца вектора 0 равна моменту силы тяжести относительно неподвижной точки: Вектор ЯИ, перпендикулярный к плоскости (у„з), направлен по линни узлов, Значит, вектор 0 вращается всегда з одном направлении вокруг оси Оуи (при 6(п12 направление вращения 41! 5 Е. СЛУЧАЙ ЛАГРАНЖА положительное). Вектор б можно представить в виде геометричесмой суммы 0=0'+ЙАй, где С' есть составляющая вектора 0 в плоскости (у„г), мА8— составляющая вдоль линии узлов, периодически изменяющая свое направление.
В крайних положениях точки Р при в =в, и в = в, а = О, следовательно, кинетический момент будет равен вектору 0'. При в = в' обращается в нуль скорость прецессии и проекция б, (постоянная) может быть записана в виде бз=бгесозй =Сгев'. Отсюда мы заключаем, что б, = Сге) бз = Сгев'. Обе проекции б, и бз положительные, поэтому угол р во все время движения меньше, чем угол а (углы а и р переменные). Рис.
6.15. Расположение вентора б' в плоскости (у„г) говорит о том, что угол между вертикальными плоскостями (у„г) и (у„б) не , может быть больше прямого. Следовательно, несмотря на то, что угловая скорость вращения плоскости (у„г) (скорость прецессии) в некоторые моменты времени обращается в нуль и меняет знак, эта плоскость за полный период изменения соя 8 в поворачивается на такой же угол, как и плоскость (уз, С) (см. [71). На рис.
6.15 изображены три вида траекторий точки*): а) — ФО; с!ф г!! б) — =О при в=вз; лф щ в) — „=О при в=во, ') Траектория точки Р на сфере будет замкнутой, если период изменения угла путанна соизмерим с 2п. В противном случае точки траектории с течением времени всюду плотно заполнят шаровой пояс — движение тела в случае Лагранжа условно-периодическое. 412 гл. тк махлникл лвсолютно твз дого талл В частном случае, когда корни и, и шв уравнения г(гв)=О совпадают, движение тела будет представлять собой регулярную прецессию. Для того чтобы выяснить условие, при котором будет осуществляться такое движение, составим уравнение Лагранжа для угла нутации. Находим частные производные от функции Лагранжа: д1.
д1. да ' дз —. = А6, — = Афв з(п В соз  — С (ф соз 9+ ф) ф з(п 9+ Мя) з(п 9. Уравнение Лагранжа будет иметь вид 6 — з(пВ (ф соз — тф) — — зги В=О, (6.120) где т=Сга/А, и 2Мд1/А. Если угол нутации не будет изменяться, то постоянными будут скорости прецессии и собственного вращения. Положив 9 =0, из (6.120) находим Фвсоз Во — тФо+ — п-О. 2 Рассматривая регулярную прецессию, удобно постоянную г, выразить через угловые скорости прецессии и собственного вращения. Умножив обе части уравнения (6.121) на А и подставляя г = ф соз 9+ ф, (6.122) мы получим (А — С) фе соз Во — Сфофе+ Мй( =О. (6.123) Если параметры тела заданы — известны величины М, 1, А, С и тело с одной неподвижной точкой совершает регулярную прецессию под действием силы тяжести вокруг вертикали, то постоянные Ва, фа и ф, связаны условием (6.123).
Мы видим, что регулярная прецессня в случае Лагранжа описывается частным р е ш е и и е м уравнений движения. (В случае Эйлера, при условии А = В, регулярная прецессия представляла собой о б щ е е р е ш е н и е — ось прецессии определял произвольно направленный вектор кинетического момента.) Более подробно регулярную прецессию осесимметричного тела при отличном от нуля моменте внешних сил мы рассмотрим в следующем параграфе. Рассмотрим движение так называемого быстрого волчка'). Предположим, что в начальный момент времени (1,=0) даны следующие условия: фа=О, 6, О, ф) 0 (скорость собственного ') Волчок (веретено, детский кубарь и пр.) при большой скорости собшвениого вращения совершает движение, блиакое к движению тела в- случас Лагранжа.
Если пол не слишком гладкий, то перемещением опоры волчка можно пренебречгь считая ее неподвижяой. 4 В. СЛУЧАЙ ЛАГРАНЖА вращения большая), О (во ( п(2, Следовательно, РВ=О, До=0. Га=фое па= овод )а=Рва Функция г (в) будет иметь вид Р (в) = (ва — в) (л (1 — в') — у' (во — в)]. (6.124) График функции г" (в) изображен на рис. 6.16.
Значения в, и ва находим, решая квадратное уравнение П (1 — Во) — уо (Во — В) = О. (6.125) Получим Нетрудно проверить, что ва)+1, ва(во. Из уравнения (6.126) находим во — ва =от(1 — в1) и с— ,, (1 — в() (6.126) С ~ю Очевидно, что при достаточно большой скорости собственного вращения (большое Г,) разность во — в, будет сколь угодно малой величиной. Обратимся к оценке скорости прецессии. Подставим в формулу (6.113) выражение постоянной йс аоа 1а — ™ во — в — — — У КГ 1 — ва 1 — ол ' Рос. 6,16 Величина скорости прецессии колеблется от нуля при в =во до наибольшего значения ПРИ В=В;1 шах1 — ~ =у— Г с11У' 1 ва — ва л Ал (6. 127) '1 и 1в-в, 1-ва у Сга Мн видим, что при большом значении Га ось волчка медленно процессирует вокруг вертикали.
Покажем, что скорость собственного вращения мало отличается от Го. Из уравнения (6.114) имеем кт Ф1 — = го — — в. оа в' Следовательно, лв, Ал =го> ~ — ~ '=Го- — '* го- — вх (6.128) И = ~) Ф аа ва са в юа Сго 414 ГЛ. Ть МЕХАНИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА Таким образом, при больших значениях го движение быстрого волчка будет близким к регулярной прецессии в случае Лагранжа. Ось собственного вращения, совершая малые колебания, будет медленно прецессировать вокруг вертикали.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
