В.В. Петкевич - Теоретическая механика (1119857), страница 63
Текст из файла (страница 63)
з з, кинвмлтичвскив и диилмичвскив зелвнвиия ззг дТ дф Ар (ф зш В соз ~р — В зш ~р)+Вд( — ф з1п В зш~р — 8 сов ~р) (А-В)рд, Арф соз 8 зш у+ Вд ф соз В соз ~р — Сгф з(п В, дТ дТ О, ° =Сг, 8 = Арсоз<р-Вдз1п~р дТ дв д'Т дз Ар зш В зш ~р+ Вд зш 8 соз у+ Сг соз 8 = Ару, + Вуу, + Сг у,. Очевидно, что —.=б, д'Т где б„есть проекция кинетического момента на неподвижную ось у,. Обобщенные силы будут равны: Я, =%,— моменту внешних сил относительно оси собственного вращения, Дз=йй„-моменту внешних сил относительно линии узлов, Яз — ЙН„, — моменту внешних сил относительно неподвижной оси прецессии у,. Запишем уравнения Лагранжа 2-го рода: С вЂ” — (А — В) рд=%„ д А — + (С вЂ” В) дг1 сох ~р — ~ — „+(А — С) гр~ з1п ~р = др й = ЙЙ„= ЙЧ„соз ср — И„з 1п ~р, (6.63) Первое из уравнений Лагранжа совпало с третьим динамическим уравнением Эйлера.
Второе представляет собой комбинацию с переменными коэффициентами первых двух уравнений Эйлера. Третье уравнение Лагранжа есть уравнение для проекции кинетического момента на неподвижную ось у,-ось прецессии. Динамические уравнения Эйлера в виде (6.60) не являются уравнениями Лагранжа 2-го рода, так как углы поворота тела вокруг ортогональных осей не могут быть выбраны в качестве обобщенных координат. Но, разумеется, уравнения (6.63) могут быть получены из (6.60) и, наоборот, от (6.63) можно перейти к симметричной записи уравнений в виде (6.60).
!в~ гию как сложную функцию углов Эйлера и их производных, не подставляя выражения р, д, г в формулу (6.66). Находим частные производные кинетической энергии: ввв гл, ш мвхлникл хвсолютно тввгдого твлл $ 4. Случай Эйлера. Регулярная прецессия (применение метода Гамильтона в Якоби) Рассмотрим движение тела с одной неподвижной точкой, предполагая, что распределение плотности по объему и форма тела могут быть любыми. Следовательно, эллипсоид инерции, центр которого совпадает с неподвижной точкой, трехосный.
Эйлер дал полное аналитическое решение задачи в случае, когда момент всех внешних сил относительно неподвижной точки равен нулю. В этом случае динамические уравнения Эйлера будут однородными и могут быть проинтегрированы независимо от кинематических. Предположим, что А =» В ~ С, и запишем динамические уравнения А „~ +(С вЂ” В)4г=О, 4р  — +(А — С)гр=О, лч С вЂ” + ( — А) рд = О. Ф лс (6.64) В случае Эйлера будут сохраняться постоянными вектор кинетического момента и кинетическая энергия. Из уравнения следует а из уравнения находим а= о з(=а„ с(Т=О (6.66) Т = сопз( — —.
Ь 2' (6.66) (6.67) (6.68) А~Р + В 9~+С г = Воэ Ар'+ Вс)'+Сг' И. Из (6.67) и (6.68) мы можем выразить, например, р и г через д. Исключая г, найдем А (А — С) р'+ В (В - С) Ч" б( — ИО. Следовательно, мы имеем четыре интеграла, которые могут быть получены и из уравнений (6.64).
Задачу можно свести к вычислению эллиптических квадратур, если, используя главные оси инерции, записать интегралы кинетического момента и кинетической энергии в виде ддэ $ Е СЛУЧАИ ЭИЛВРА Затем исключим р: В ( — А) ()'+ С (С вЂ” А) гз ~ Оо — йА Введем две вспомогательные величины Р и з, положив 01 А Р—, — =з. Л' О, А >Р>С. Далее находим В ( — С) р = А(А С) (и — ((2)2 — Р,— (л* — ()'), В (А — В) С (А — Т) (6.70) (6.71) Рда П( — С),, П(А В) з В( — С) ' Б(А — У) з ' Вычислим разность аз — (пз: 0(А — Р) 0(0 — С)1 0 (А — С)( — Д) г((А — В) ВВ(Й вЂ” Г)~ В (А — В) ( — С) з Следовательно, знаки (и' — л(2) и ( — Р) совпадают. Предположим, что В'= Р; тогда п2)т2. Отсюда ()2 -=.
а2 < аз. Обратимся ко второму динамическому уравнению Эйлера( — = — — Гр ((() А — С Ф В (6.64) Подставим выражения р и г из (6.70) и (6.71): ф- )/-~: — „2: — (У ( ' — 2'( ( ' — 2'(. (2.22( Из (6,7Ц видно, что 2 В) не обращается в нуль и, следовательно, сохраняет начальный знак. Уравнение (6.72) позволяет судить Очевидно, что Р имеет размерность момента инерции, з — угловой скорости. Смысл этих величин мы выясним несколько позже Постоянные б, и Ь можно теперь выразить через з и Р: Ре ЭР2 (6.69) Таким образом, мы запишем уравнения в следующем виде; А(А — С) р'+В( — С)()2=Р(Р-С) зз, В ( — А) д2+ С (С вЂ” А) г' =* Р (Р— А) У.
Так как А)В)С и Р)0, то ззо ГЛ. Ть МЕХАНИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА о характере изменения д(1): д(1) изменяется периодически в пределах от ( — лт) до (+ пт). Период колебаний д(г) вычисляется с помощью эллиптического интеграла АС ( По ( — С) (А — В) ) У(пге — ое) (ле — де) ,,= )/ (см. гл.
П, 2 3). !(з (6.70) следует, что с тем же периодом колеблется р(1) (при д = +. лг, р = 0). Из первого динамического уравнения Эйлера (6.64) можно заключить, что при д)0 — р -» 0 (( — С) > О, г > 0). Из второго динамического уравнения видно, что при — ) 0 по йг р(0«). Поэтому перед радикалом в уравнении (6.72) выбран знак «плюсь. Положим г)=лего, те)и«=те (т«~1), .е / 0 (А — О) ( — С) АВС Тогда, разделяя переменные в уравнении (6.72), приходим к эллиптическому интегралу первого рода Й (( — 1«) = (6.73) где т есть модуль эллиптического интеграла. Обращеяие интеграла позволит выразить р, д, г через эллиптические функции Якоби.
Далее, из кинематических уравнений Эйлера можно найти углы Эйлера и получить полное аналитическое решение. Для того чтобы найти определенное частное решение, нужно задать шесть постоянных: сре, бе, фе. ре, де, г, (вместо последних трех можно задать ф„бе, фе) *'). Вычисление углов Эйлера мы детально рассмотрим в более простом случае регулярной прецессии. В прекрасном курсе Суслова [31] приведен другой прием разделения переменных в случае Эйлера.
Обратимся к качественному исследованию движения тела с одной неподвижной точкой в случае Эйлера. Качественное исследование (геометрическая картина) дано в работе Пуансо *""). ') Эго можно унидеть, если качественно построить графики периодических функций д(0 и р(Г). **) См., например, 12). "") Исслехоианиа Пуансо былнопубликопеиы спусм сто лет после публи. кении Эйлера. 391 $ Ь СЛУЧАИ ЭИЛВРА х р Я вэ в в г 17 в' 17 в' (6.74) Здесь в=~в!. Подставив в (6.18), найдем Ар'+ Вд'+Се'= й' — ",. ов"= я ов'=е Отсюда Т= и ~,. (6.76) Рив 6.7. П. Плоскость и, касающаяся вллипсоида инерции в точке Оь, перпендикулярна в каждый момент времени к вектору кинетического момента О. Уравнение плоскости, касающейся эллипсоида в точке Оч, имеет вид АХх+ ВУу+ СХг = й', (6.76) где Х, У, Š— координаты какой-либо точки плоскости, х, у, г— координаты точки касания.
Подставив (6.74) в (6.76), получим АХр+ ВУд+ СЛг = й' в . (6.77) Очевидно, что (6.77) есть уравнение плоскости, ортогональной к вектору О, проекции которого на главные оси инерции тела равны Ар, Вд и Сг. П1. Расстояние д = 00' от центра вллипсоида до плоскости и определяется формулой й = —. УГ~ !о~ ' Пуансо остроумно предложил следить не за движением самого тела, а за движением эллипсоида инерции с центром в неподвижной точке — поверхности, уравнение которой, отнесенное к главным осям инерции, имеет простой вид А '+Ву +Сге=йз. (6. 18) На рис.
6.7 изображены эллипсоид инерции и плоскость и, касающаяся эллипсоида в точке пересечения его поверхности с мгновенной осью — в точке Оч, называемой полюсом. Исследование Пуансо опирается на три вспомогательные теоремы. вч 1. Кинетическая энергия тела ровна — —, еде Я=00*.
да ° Докажем это предложение. Пусть координаты точки 0* будут х, у, г. Тогда ЗЗ2 гл. Рг. ИехАникА Авсолютно твендого телА Очевидно, что й=)ссоза, но так как соза= —, (ма) 2Т ! м ~ ~ а ~ ' еЛ б'1' и, кроме того, я ~е1 'г'2Т то Я ° 2Т У2Т =й —. 'еПО( ~г)1 (6.78) Трн теоремы Пуансо относятся к любому случаю движения тела с одной неподвижной точкой. В случае Эйлера, когда м)е = 0 и, следовательно, постоянны кинетический момент О и кинетическая энергия Т, плоскость и будет неподвижной в про. странстве.
В самом деле, плоскость и перпендикулярна к неподвижному вектору 0е и ее расстояние до неподвижной точки постоянно: й й — ==. Уь ,й~ У~' (6.79) Покажем, что величина угловой скорости пропорциональна расстоянию )7 от неподвижной точки до полюса. Иа (6.76) находим ~в~ )г2Т )'й Я ь А Следовательно, ! еГ 1 = А ГГ. УА Если ввести величину з, то с помогцью формулы (6.69) получим ~вг~ —, й =-й. 5)'0 5 (6.80) Покажем, что проекция мгновенной угловой скорости на направление вектора Ое равна з: Ого 1 Е~ СОЗа — З.
~ ае! Итак, в случае Эйлера вллипсоид инерции катится (и вертится) без скольжения по неподвижной плоскоспги и, перпендикулярной к повтоянному вектору кинетического момента, Величина мгновенной угловой скорости пропорциональна расстоянию от неподвиясной точки до полюса, а проекция ее на направление кинетического момента постоянна '). ') Плоскость и есть аналог неподвижной плоскости в евдачак о лиижеивг материальной точки в центральном силовом поле.
% 4. случАЙ эплнРА Проекции мгновенной угловой скорости на главные оси инерции р, д, г зависят от времени. Значит, вектор ет перемещается относительно осей, жестко связанных с телом. Нетрудно показать, что вектор ш движется и относительно неподвижных осей координат. Находим Таким образом, скорость конца вектора ш относительно неподвижных осей координат геометрически равна скорости относительно подвижных осей, скрепленных с телом. Следовательно, в разные моменты времени разные точки поверхности эллипсоида инерции совпадают с полюсом. Геометрическое место точек О* на поверхности эллипсоида инерции называется полодигй (путь полюса). Геометрическое место точек плоскости и, с которыми совпадает точка О*, — ггрполо.
дигй о). Геометрическое место мгновенных осей, образованное из отрезков прямых, принадлежащих телу, представляет собой конус с вершиной в неподвижной точке и называется подвижным аксоидом («акс» — ось). Линия пересечения подвижного аксоида а поверхностью эллипсоида инерции и есть полодия. Геометрическое место неподвижных прямых, с которыми по очереди совпадает мгновенная ось, есть также конус с вершиной в неподвижной точке, называемый неподвижным аксоидом.
Гер. полодия есть линия пересечения этого конуса с плоскостью и. В каждый момент времени подвижный и неподвижный аксоиды касаются друг друга по образующей, с которой совпадает мгновенная ось. Следовательно, подвижный аксоид катится без скольжения по неподвижному. Запишем уравнение эллипсоида инерции, отнесенное к главным осям инерции, Ах'+ Ву'+ Сг' = й'. (6.18) В интеграле (6.67) выразим р, д, г через координаты полюса: А'х'+ Вау'+ С'гв = О', — = й»Р. 8» » Умножим обе части (6.18) на Р и вычтем почленно: А (А — Р) х»+ В ( — Р) у»+ С (С вЂ” Р) г' О.
(6.81) Мы получили уравнение семейства конических поверхностей (подвижных аксоидов) с общей вершиной в неподвижной точка. ') Зто название означает «змеевидная» и отражает первоначальное иепра. вильное представление об »той кривой как о кривой о точками перс«нов. В нашем курсе мы не будем исследовать »ерполодии. ГЛ. РЬ МЕХАНИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА я ви а полодий удобно рассмотреть пересечение йля уяснения вида полодий ндикулярными к главным чение конусов плоскостью, перпендикуляр сти г=г, мы л получим семейство эллипсов — — г .
(6.82) А (А — Р) х'+ В ( — Р) у'= С (Р— С) г(. В то положим х=х,. В плоскости, перпенди- ) кулярной к к оси х семейство эллипсов — В ' С (Р— С) г' = А (А — Р) х|. (6.83) В(Р— В)у + л — г = наконец, Р= В, то из (6.68) найдем, что конические е плоскости пересекающиеся по оси у поверхности распадутся на две плоскости, .в l А (А — 0) (6.84) г=~х у с(в — с) ' и по дв м эллипсам, 1 и 2 Эти плоскости пересекут эллипсоид п у (см. рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
